Determinism predictibil în fizica clasică. Spaţiul fazelor - atractori.
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în prima lecție despre elemente
de bază ale teoriei haosului vom
prezenta câteva noțiuni legate
de fizica clasică sau mecanica
clasică ce vor fi folosite în lecția
viitoare pentru a introduce principiile
teoriei House în particular von
discutat despre determinismul predictibil
ala mecanici clase clasice și despre
spațiul fazelor și atractori determinismul
predictibil al fizicii clasice
mecanica clasică e deterministă
prin aceasta înțelegem că cunoașterea
stării unui sistem fizic la un
moment dat a 0 în particular în
mecanică Asta înseamnă cunoașterea
vectorului poziție a vectorului
viteză și a vectorului accelerație
la acel moment dat a 0 implică
cunoașterea tuturor stărilor la
orice alt moment dat prin rezolvarea
ecuațiilor din care motiv este
cuarț II se numesc și coase de
propagare în timp acesta este determinism
ecuațiile ne furnizează posibilitatea
ca odată ce am măsurat starea unui
sistem la moment dat A 0 să putem
de duce care va fi starea lui sau
care a fost starea lui în orice
alt moment dat pe acesta acest
determinism se numește te termini
înspre dick tibil deoarece prin
rezolvarea acestor ecuații soluțiile
care se obțin sunt convergentei
și stabile Care sunt motivele vom
Da imediat și exemple concrete
prin care să explicăm aceste noțiuni
Care sunt motivele pentru care
mecanica clasică și fizica clasică
în general Spre exemplu electromagnetismul
are aceleași proprietăți de a fi
determinist predictibil motivele
sunt două în primul rând ecuațiile
fundamentale sunt ecuații diferențiale
liniar liniar ecuație liniar înseamnă
că puterea derivatelor ce apare
acestei ecuații este întotdeauna
un acest lucru este foarte important
pentru că face ca o modificare
mică în condițiile inițiale sau
în parametri ecuațiilor să nu implice
o variație foarte mare în soluții
de centru un fel la medie curry
mici în parametri și condiții inițiale
acestei ecuații ne vor da tot modificări
mici sau medii ale soluțiilor aceasta
sune este cuprinsă acestei noțiuni
sunt cuprinse în ideea de stabilitate
față de parametri și condiții inițiale
Haideți să dăm un exemplu simplu
pentru a discuta mai concret oscilator
armonic pe care îl am studiat intensiv
atât în lecțiile de unde mecanice
cât și în alte lecții ecuația de
bază autorului mecanică este masa
ori accelerația egală cu forța
elastică este screen de explicit
avem următoarea ecuație masă muncită
cu derivata de ordinul 2 a elongații
în raport cu timpul Plus Constanța
elastică înmulțită cu elongația
egal cu 0 în primul rând să nu
uităm că această ecuație este diferențială
avem derivate dar liniar Asta înseamnă
liniară nu înseamnă că ordinul
derivate trebuie să fiu unul trebuie
să faceți diferența între ordinul
derivate Care este 2 și puterea
derivatei Care este unul deci derivată
de ordinul doi alungați în raport
cu timpul are puterea 1 și acest
lucru este important după cum bine
știm această ecuație rezultând
soluția pentru elongație ca funcție
de timp Care este scrisă aici amplitudine
înmulțită cu sinus de omega-3 plus
și 0 unde pulsația Omega este definită
ca radical din ca împărțit la m
și faza inițială fie 0 Este legată
de condițiile inițiale și anume
y0 și vezer derivând această soluție
obținem ecuația pentru viteză ca
funcție de timp și anume Omega
a cosinus de omega-3 plus size
putem elimina timpul ca și variabilă
din aceste Două ecuații și obținem
ecuația elongații ca funcție de
viteză care este ecuația unei elipse
se introduce așa numitul spațiu
al fazelor Care este sistemul cu
2n dimensiuni poziții viteze deci
de aceea 2 n n numărul de uși la
Tour Spre exemplu în cazul acesta
dacă avem loc la Torre vom avea
un sistem cartezian cu 2n ax2 n
dimensiuni pentru fiecare ou și
la vând o pereche de axana pentru
elongația lui și una pentru viteza
vitez evoluția în timp a acestui
sistem va genera o traiectorie
unică În acest spațiu afară Deci
Aceasta este o modalitate geometrică
prin care putem vizualiza evoluția
temporală a Stării unui sistem
în cazul oscilatorului armonic
acest spațiu al fazelor va conține
o traiectorie Care este o elipsă
De ce este spațiul cu axele y dimensiunea
elipsei pe axa vitezei va fi Omega
ei și pe axa elongație va fi a
amplitudinea a Haideți să continuăm
discuția acestui spațiu al fazelor
un mic comentariu înainte de a
de aceeași lucru Spațiul fazelor
este folosit în teoria haosului
și mai puțin în fizică eclat introducem
folosind noțiuni simple de fizica
clasică și în care aceste traiectorii
din spațiul fazelor fie foarte
simple pentru a înțelege noțiunile
dar tocmai pentru că ele sunt așa
de simple în cazul fizici clasicele
sunt mai puțin folosite Deci rare
ori vom folosi spațiul fazelor
pentru a studia oscilatorului armonic
de de și după cum vedeți o putem
face dar comportarea pe care obținem
este suficient de simplă pentru
a nu insista foarte mult totuși
aceste noțiuni devin foarte importante
esențiale în studiul comportamentelor
haotice și de aceea le introduci
nici spațiu fază roșii în particular
noțiunea de atractor din spațiu
fază iarăși vom da două definiții
și apoi vom folosi un exemplu pentru
a explica definiție se numește
tractor în spațiul fazelor setul
de puncte care corespund unor stări
din spațiul fazelor spre care evoluează
un sistem adică spre care se îndreaptă
toate traiectoriile vedeți așa
cât de puternic este puternică
este această noțiune Adică dacă
putem găsi un astfel de punct sau
set de puncte spre care toate traiectoriile
de volți întimp ale tuturor sistemelor
de un anumit fel se îndreaptă în
final aceasta acest aceștia tractor
vor avea o putere de predictibilitate
foarte mare putem Spune unde se
duc toate sistemele de Acel tip
se numește bazinul a tractorului
mulțimea stărilor inițiale din
care sistemul evoluează către acela
tractor de unde plecăm ca să ajungem
în acel a tractor în acel punct
final al evoluției ca să explicăm
concret din nou folosim un exemplu
simplu și anume cea a lui și laturile
armonic amortizat adică pe lângă
forța elastică avem și o forță
rezistivă acest exemplu acestor
armonică amortizat iarăși a fost
discutat în cadrul lectiilor de
oscilații mecanice ecuația de vine
masa ori derivată de ordinul doi
alungați în raport cu timpul plus
Constanta r a forței rezistive
mulți tăcu viteza care este derivată
de ordin întâi a elongații în raport
cu timpul Plus Constanța elastică
muncită cu elongație egal cu zero
iarăși ca și comentariu aceasta
este ecuație diferențială liniar
diferenția diferențiale sau derivatele
au ordine diferite dar puterea
lor este întotdeauna 1 derivată
de ordinul doi are puterea 1 derivate
de ordin unu are puterea unu și
derivată de ordinul 0 dacă vreți
adică funcția în Cine e de t are
tot puterea 1 aceasta este ecuație
diferențială liniar după cum bine
știm atunci când o rezolvăm obținem
următoarea soluție pentru elongația
ia funcție de ten și anume amplitudinea
lut egal cu zero la momentul t0
egal cu zero înmulțit cu o exponențială
de minus al fateh unde Alfa se
numește coeficient de amortizare
și este definit ca e r împărțit
la 2 m mulți cu funcția sintactică
sinus de omega-3 plus Pfizer din
această ecuație pentru ai de te
se poate deriva imediat și cu atia
pentru vedete care este derivată
în raport cu Timpul nu o scriu
pentru că e mai complicată ce este
important este că o dată ce avem
ecuațiile pentru de test și vede
te putem desena traiectoria în
spațiul fazelor acestui sistem
oscilatorul armonic amortizat de
ce avem viteza pe o axă și elongație
pe ceva ta Deci avem niște condiții
inițiale 0 y 0 și plecăm ca și
în cazul Roșia torului armonic
pe OLX deoarece această lipseste
amortizată ia se transformă într
o spirală Deci vom obține ceva
de genul acesta în final oscilațiile
sunt complet amortizate elongația
devine zero oscilatorul se oprește
și viteza de vinde vine și a0 deci
în final din acestei ecuații obținem
că starea finală a sistemului este
originea spațiului fals în concluzie
a tractorul sistemului este acest
punct toate traiectoriile uși laturilor
amonit si amortiza ți această traiectorie
poate pleca din alt punct iniția
deci putem pleca Spre exemplu din
această stare inițial și dezvolta
o altă traiectorie dar toate aceste
traiectorii se vor termina în final
în același punct de aceea pentru
orice oscilator armonic amortizat
care are orice masă orice constantă
a forței de rezistive orice constantă
elastică și orice condiții inițiale
adică igrec 00 starea finală este
unic acest punct toate se termină
în acest punct de aceea el se numește
a tractorul oscilatorului armonic
amortizat două comentarii din nou
Evident această afirmație în este
destul simplă adică Bineînțeles
că știam că un oscilator armonic
amortizat se termină în punctul
de elongații și viteză 0 Deci eu
afirmații trivial totuși ideea
de bază este că în acest spațiu
al fazelor în care studiem evoluția
temporală sistem la aceste traiectorii
de evoluție ne putem defini astfel
de puncte care în cazuri ne triviale
adică mult mai greu de anticipat
undeva În ce stare Văzând finală
va ajunge sistemul aflarea acestora
tractor derivarea lor sau simularea
lor măcar pe calculator va avea
o putere predictivă pretinde predictibilitate
foarte mare bazinul la tractorul
este mulțimea stărilor inițiale
din care sistemul evoluează către
acest tratat turna tractor deci
de Unde putem pleca pentru a ajunge
aici ar putea părea că bazinul
a tractorului acesteia tractor
pentru o latură armonic amortizat
este tot spațiul fazelor totuși
timp că nu este adevărat pentru
că dacă inundație este prea mare
Spre exemplu știm că oscilatorul
nostru își pierde proprietatea
de a fi elastic intrând în regim
de plasticitate și în acel în acel
caz Deci pentru elongații inițiale
prea mari de fapt nu mai ajungem
în starea 00 pentru viteză și elongație
și datorită faptului că oscilatorul
sau resortul își pierde elasticitatea
el se oprește undeva în alte situații
în altă poziție deci a fractură
va fi diferit și bazinul de în
bazinul a tractorului În consecință
este limitat există numai un anumit
spațiu din sau sub spațiu din spațiul
fazelor în care ajunge în final
în acest punct există mai multe
tipuri de atractori în cazul fizicii
clasice el poate fi static Deci
acest atractor este cel mai simplu
tip de tractor este un tractor
fix de la re o poziție fixă în
spațiul fazelor putem aveam și
atractor periodici care dă cu anumită
perioadă și schimbă poziția totuși
în teoria haosului după cum vom
vedea lecția viitoare nu avem De
obicei nici unul din aceste tipuri
de atractori Cia tractor cu comportare
mult mai impredictibilă ultimul
discuții în această lecție este
cea în legătură cu sensibilitatea
la la condițiile inițiale ale ecuațiilor
de propagare și ale traiectoriilor
din spațiu față în consecință această
se referă la evoluția sistemului
care poate fi complet diferită
pentru condiții inițiale aproape
identice Haideți haideți să dăm
un exemplu iar simplu de mecanica
clasică pentru a înțelege acest
concept fundamental Deci Să considerăm
un o cuvă în care în vârful unuia
dintre cele două ramuri pune mobilă
cărei dăm o lăsăm liberă sau îi
dăm o mică un mic timpul inițial
freza Evident ce se va întâmpla
bila va cădea și va executa o oscilație
armonică în jurul punctului de
echilibru Care este punctul de
înălțime minimă sau de la baza
acestei cuv această traiectorie
va fi una cu o mică sensibilitate
la condiții inițiale asta înseamnă
că dacă schimbăm condiții inițiale
punem bila un pic mai jos obținem
aceeași traiectorie cu aceeași
perioadă cu aceea catie Deci soluțiile
ecuațiilor de propagare vă și practică
același aceasta se numește o comportare
a sistemului cu o sensibilitate
mică la condiții inițiale schimbarea
condițiilor inițiale schimbă bineînțeles
Oare cum soluțiile finale sau comporta
traiectoriile în spațiul fazelor
ale sistemului dar nu întru în
mod semnificativ diferit Haideți
să modificăm acum situația și să
adăugăm următoarea conformare conformație
sau formă acum vei noastră Deci
ocupă mai complexe în care avem
două minime majore dar și un minim
mai mic în acest caz vedem că Sistemul
nostru clasic își schimbă mod fundamental
sensibilitate la condițiile inițiale
adică să notăm cu y coordonata
orizontal dacă plecăm din acest
punct sistemul va oscila în cuva
din dreapta sau un dar în acest
Vale din dreapta dar dacă modificăm
y0 foarte puțin și plasăm bila
un pic mai spre stânga Atunci ia
vă oscila în Valea Mică în să notăm
Băile unu doi și trei Deci la o
mică modificare a lui y 0 în loc
de oscilația din cu parametri corespunzător
din Valea trei funcții oscilația
din Valea doi mai mult decât atât
dacă păstrăm aceeași poziție ușor
modificată către stânga deci același
y0 aici ca poziția inițială dar
în loc de o mică viteză inițială
vom imprima o viteză inițială v0
foarte mare atunci din nou se modifică
comportamentul sistemului și anume
numai obținem oscilație în Valea
2 ci pur și simplu vila va trece
prin Valea 2 și va ajunge în Valea
1 Unde în funcție de mărime acestui
v0 și la sau va avea suficientă
energie cât să revină în doi În
consecință pentru acest tip de
sistem sensibilitatea la condițiile
inițiale este foarte mare la mici
variații ale lui y 0 și v0 putem
obține comportamente cu totul diferite
și în consecințe În consecință
traiectorii în spațiul fazelor
cu totul diferite