Drepte paralele. Aplicații

În figura de mai jos a este paralelă

cu b și se știe că măsura unghiului

1 este de 75 de grade Aflați măsurile

celorlalte unghiuri având în vedere

că dreapta a este paralela cu dreapta

b iar dreapta d este o secantă

sau format în punctele de intersecție

opt unghiuri observăm că unghiul

1 și unghiul 5 sunt unghiuri corespondente

aceste două unghiuri vor fi unghiuri

congruente Așadar măsura unghiului

5 va fi egală cu măsura unghiului

1 adică 75 de grade Așadar unghiul

1 unghiul 5 sunt unghiuri corespondente

Și de aici va rezulta că măsura

unghiului 1 este egală cu măsura

unghiului 5 și egală cu 75 de grade

apoi unghiurile 4 și 5 sunt unghiuri

interne de aceeași parte a secantei

și știind că aceste unghiuri sunt

suplementare scrie că unghiul 4

și unghiul 5 sunt unghiuri Interne

de aceeași parte a secantei va

rezulta că măsura unghiului 4 plus

măsura unghiului 5 este egală cu

180 de grade din această relație

exprima măsura unghiului 4 aceasta

este egală cu 180 de grade minus

măsura unghiului 5 egal mai departe

cu 180 de grade minus 75 de grade

adică 105 grade unghiurile 1 și

8 sunt unghiuri externe de aceeași

parte a secantei acestea vor fi

și ele suplementare mai scrie că

unghiul 1 preună cu unghiul 8 sunt

unghiuri externe de aceeași parte

a secantei rezultă că măsura unghiului

8 plus măsura unghiului 1 va fi

egală cu 180 de grade rezultă că

măsura unghiului 8 va fi egală

cu 180 de grade minus măsura unghiului

1 egal mai departe cu 180 de grade

minus 75 de grade egal 105 grade

unghiurile 3 și 5 sunt unghiuri

alterne interne va rezultată măsura

unghiului 3 va fi egală cu măsura

unghiului 5 Așadar unghiurile 3

și 5 sunt unghiuri alterne interne

rezultă că măsura unghiului 3 va

fi egală cu măsura unghiului 5

și egală cu 75 de grade unghiurile

4 și 6 sunt de asemenea unghiuri

alterne interne ma rezultă că măsura

unghiului 6 este egală cu măsura

unghiului 4 și egală cu 105 grade

unghiurile 2 și 6 sunt unghiuri

corespondente ele vor fi de asemenea

congruente unghiul 2 și unghiul

6 formează o pereche de unghiuri

corespondente rezultă că măsura

unghiului 2 este egală cu măsura

unghiului 6 shigella mai departe

cu 105 grade mai trebuie să aflăm

măsura unghiului 7 observăm că

unghiurile 3 și 7 sunt unghiuri

corespondente va rezulta că măsura

unghiului 7 este egală cu măsura

unghiului 3 Așadar măsura unghiului

7 este egală cu măsura unghiului

3 și egal mai departe cu 75 de

grade Să vedem dacă am aflat toate

măsurile măsura unghiului 5 este

de 75 de grade măsura unghiului

4 este de 105 grade apoi am aflat

măsura unghiului 8 tot 105 grade

apoi am aflat măsura unghiului

3 egală cu 75 de grade măsura unghiului

6 egală cu 105 grade măsura unghiului

2 egală cu 105 grade și măsura

unghiului 7 egală cu 75 de grade

existau și alte modalități de calcul

a unor măsuri de exemplu unghiul

3 este opuse la vârf cu unghiul

o d sunt unghiuri congruente unghiurile

5 și 8 sunt adiacente suplementare

la fel unghiurile 2 și 3 oricare

din aceste variantă Este corectă

continuăm cu a doua problemă Aflați

măsura unghiului x din figura de

mai jos știind că dreapta a este

paralela cu dreapta b mai întâi

voi nota punctele de intersecție

dintre aceste drepte cu a și b

pe dreapta a mai fixăm un punct

C pe dreapta b o să mai fixez încă

două puncte deși e iar pe secantă

o să mai considerăm un alt punct

f timp atunci când două drepte

paralele sunt intersectate de o

secantă se formează perechi de

unghiuri congruente acestea pot

fi alterne interne alterne externe

corespondente observăm că unghiurile

c a b și d b e sunt unghiuri corespondente

Așadar măsura unghiului DAB ef

va fi egală cu măsura unghiului

c ab adică x grade să scriem cele

discutate până acum unghiul c ab

cu unghiul d b e f Formeaza o pereche

de unghiuri corespondente Așadar

va rezulta că măsura unghiului

dbf este egală cu măsura unghiului

c a b shigella cu X grade observăm

că unghiurile dab e f și f b e

sunt unghiuri adiacente suplementare

Așadar împreună ele formează un

unghi alungit care are măsura de

180 de grade Unghiul DAB e f împreună

cu unghiul f b i sunt unghiuri

adiacente suplementare de unde

rezultă că măsura unghiului d b

f plus măsura unghiului f b i va

fi egală cu 180 de grade dacă înlocuim

aceste măsuri cu x respectiv cu

5 x vom obține următoarea relație

x plus 5x va fi egal 180 deocamdată

nu o să mai scriu gradele putem

da factor comun pe x și obținem

x pe lângă 1 plus 5 egal cu 180

x ori șase egal cu 180 ca să aflăm

necunoscuta x împărțim această

relație cu șase în ambii membri

și vom obține x egal cu 180 împărțit

la 6 x va fi egal cu 30 de grade

și ultima problemă Fie a b c și

d patru puncte necoliniare astfel

încât ab și cd sunt două segmente

care au același mijloc o Arătați

că AD este paralel cu bc avem patru

puncte necoliniare iar o este mijlocul

segmentului AB și a segmentului

CD trebuie să arătăm că a d este

paralelă cu bc scrie mai întâi

teza și concluzia dacă o este mijlocul

segmentului AB înseamnă că segmentul

a o este congruent cu segmentul

OB ia segmentul de o a fie congruent

cu segmentul o c trebuie să arătăm

că a d este paralelă cu bc pentru

a arăta aceste două drepte sunt

paralele putem Să arătăm de exemplu

ca aceste două drepte formează

împreună cu o secantă o pereche

de unghiuri alterne interne congruente

Dacă vom considera secanta ab atunci

unghiurile alterne interne și unghiurile

de AO și ce b o Dacă vom reuși

Să arătăm că aceste două unghiuri

sunt congruente atunci va rezulta

că a d este paralelă cu bc având

dreptele AD și BC iar a b o secantă

ma rezultat că unghiurile de AO

și ce b o sunt unghiuri alterne

interne ne propunem să demonstrăm

că aceste două unghiuri sunt congruente

pentru a demonstra congruență lor

vom arăta că Triunghiurile a d

o și c b o a sunt unghiuri congruente

știm din ipoteză că a o este congruent

cu OB tot din ipoteză știind că

de o este congruent cu o c și observăm

că aceste două triunghiuri au o

pereche de unghiuri opuse la vârf

acestea sunt unghiurile a o d și

ce o b iar ele vor fi congruente

unghiul aod este congruent cu unghiul

b o c din unghiuri opuse la vârf

din aceste trei relații va rezulta

conform cazului de congruență latura

unghi latura că triunghiul aod

este congruent cu triunghiul b

o c ia din congruență acestor două

triunghiuri rezultă și congruența

unghiurilor d a o și ce b o Acestea

fiind și unghiuri alterne interne

va rezulta că dreapta a d este

paralelă cu bc