Drepte paralele. Criterii de paralelism
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
drepte paralele criterii de paralelism
două drepte situate în același
plan care nu au nici un punct comun
se numesc drepte paralele după
cum observăm dreapta a intersectată
cu dreapta b este mulțimea vidă
deoarece aceste două drepte nu
au nici un punct comun iar pentru
a scrie că a este paralelă cu b
bun folosi această notație există
o axiomă foarte importantă axiomă
lui Euclid Eu cred dar fost în
matematicieni grec care a pus bazele
geometriei pe care noi o studiem
azi la școală în cartea sa numită
elemente iar aceasta este una dintre
cele mai importante axiome pe care
le ai nunțat printr un punct exterior
unei drepte se poate duce o singură
paralelă la acea dreaptă fiind
dat punctul A în exteriorul dreptei
D putem duce o singură paralelă
care să treacă prin punctul A Așadar
vom scrie că punctul A nu aparține
dreptei d dreapta d prim este paralelă
cu dreapta d astfel încât punctul
a să aparțină dreptei D prim relația
de paralelism are o proprietate
care se numește tranzitivitatea
și anume dacă o dreaptă a este
paralelă cu o dreaptă b iar b este
paralel cu c atunci dreapta a va
fi paralelă cu dreapta c în continuare
o să vorbim despre două drepte
intersectate de o secantă Dacă
două drepte distincte a și b sunt
intersectate de o a treia dreapta
c atunci dreapta c se numește secantă
cele trei drepte formează în punctele
de intersecție opt unghiuri distingem
câteva categorii de unghiuri în
funcție de Poziția lor față de
aceste drepte avem unghiuri alterne
interne Acestea se găsesc în părți
diferite ale secantei ambele în
interiorul dreptelor a și b de
exemplu unghiurile 3 cu 5 sau 4
cu 6 unghiurile alterne externe
se găsesc în părți diferite ale
secantei ambele în exteriorul dreptelor
a și b de exemplu unghiurile unu
cu șapte sau doi cu opt mai avem
și unghiuri corespondente acestea
sunt situate de aceeași parte a
secantei unul în partea inferioară
a uneia dintre drepte iar celălalt
în partea exterioară a celelalte
drepte de exemplu unghiurile 1
cu 5 2 cu 6 3 cu 7 și 4 8 unghiurile
interne de aceeași parte a secantei
după cum le arată și numele sunt
situate în interiorul dreptelor
a și b de aceeași parte a dreptei
c de exemplu unghiurile patru cu
cinci sau trei cu șase unghiurile
externe de aceeași parte a secantei
sunt situate în afara dreptelor
a și b de aceeași parte a dreptei
c de exemplu unghiurile 1 și 8
respectiv 2 și 7 în cazul în care
dreptele a și b sunt paralele aceste
perechi de unghiuri vor fi congruente
sau suplementare nunta în continuare
următoarea teoremă Dacă două drepte
sunt paralele atunci ele formează
cu orice secantă unghiuri alterne
interne congruente adică unghiul
3 va fi congruentă cu unghiul 5
respectiv unghiul 4 va fi congruent
cu unghiul 6 apoi se formează unghiuri
alterne externe congruente unghiul
1 va fi congruent cu unghiul 7
iar unghiul 2 va fi congruent cu
unghiul 8 unghiuri corespondente
congruente unghiurile 1 și 5 o
fi congruente la fel unghiurile
2 cu 6 apoi mai avem unghiurile
3 și 7 care vor fi de asemenea
congruente respectiv 4 cu 8 unghiurile
interne de aceeași parte a secantei
vor fi suplementare de exemplu
unghiurile 3 și 6 vor fi suplementare
Acest lucru se poate deduce din
faptul că unghiurile 3:05 fiind
alterne interne și congruente iar
unghiurile 5 și 6 fiind adiacente
și suplementare A rezultat că și
unghiurile 3 cu 6 Murphy suplementare
apoi unghiurile externe de aceeași
parte a secantei vor fi și acestea
suplementare adică unghiul unu
împreună cu unghiul 8 mod forma
un unghi cu măsura de 180 de grade
iar unghiurile 2 cu 7 vor fi de
asemenea unghiuri suplementare
este valabilă și reciproca acestei
teoreme Dacă două drepte formează
cu o secantă unghiuri alterne interne
congruente sau unghiuri alterne
externe congruente sau unghiuri
corespondente congruente sau unghiuri
interne de aceeași parte a secantei
suplimentare respectiv unghiuri
externe de aceeași parte a secantei
suplementare atunci dreptele sunt
paralele ma folosit aceste criterii
de paralelism în rezolvarea de
probleme mai exact dacă va trebui
să arătăm într o problemă că două
drepte sunt paralele vom arăta
de exemplu ca cele drepte formează
cu o secantă o pereche de unghiuri
alterne interne congruente sau
nu face referire la alte perechi
de unghiuri care sunt congruente
sau suplementare în continuare
să vedem ce înseamnă distanța dintre
două drepte paralele avem următoarea
teoremă două drepte distincte perpendiculare
pe o a treia sunt paralele între
ele unde mostra această teoremă
în ipoteza Se știe că dreapta a
este diferită de dreapta b a este
perpendiculară pe c și b este perpendiculară
pe dreapta c trebuie să demonstrăm
că dreapta a este paralela cu dreapta
b mai faci alăturat demonstrația
având în vedere că dreapta a este
perpendiculară pe dreapta C în
punctul de intersecție sa format
un unghi drept pe care îl am notat
cu unul în mod Analog dreapta b
fiind perpendiculară pe dreapta
c a s a format un unghi drept pe
care îl am notat cu doi nu scrie
acest lucru afine perpendiculară
pe c rezultă că măsura unghiului
1 va fi egală cu 90 de grade apoi
b fiind perpendiculară pe ce va
rezulta că măsura unghiului 2 este
tot de 90 de grade observăm Așadar
că cele două unghiuri au aceeași
măsură de cele verific unghiuri
congruente unghiul 1 este congruent
cu unghiul 2 însă observăm că dacă
dreapta c este secantă a dreptelor
a și b unghiurile 1 și 2 sunt unghiuri
corespondente ele fiind și congruente
va rezulta conform teoremei enunțate
mai devreme că dreptele a și b
sunt paralele Așadar unghiurile
1 și 2 sunt corespondente Ia zi
în aceste două relații Ba rezultă
că dreapta a este paralela cu dreapta
b dacă notăm aceste puncte de intersecție
cu a și b atunci vom defini distanța
dintre dreptele a și b ca fiind
lungimea segmentului AB două drepte
paralele care intersectează alte
două drepte paralele determina
pe acestea segmente congruente
dreapta a este paralela cu dreapta
d și dreapta Ce este paralelă cu
dreapta d am notat cu a b c și
d cele patru puncte de intersecție
ale acestora drepte ipoteză vom
scrie că a este paralel cu b c
este paralel cu d trebuie să arătăm
că Segmentul ab este congruent
cu segmentul CD și că segmentul
a d este congruent cu c b pentru
demonstrația acestei teoreme omului
punctele d și b astăzi sau format
două triunghiuri Triunghiul adb
și triunghiul cdb am arătat că
aceste două triunghiuri sunt congruente
iar din congruența acestora va
rezulta și congruența segmentelor
menționate așadar comparăm triunghiul
adb cu triunghiul cbd să vedem
Ce elemente congruente au aceste
două triunghiuri Dacă dreapta a
este paralela cu dreapta b și Considerăm
dreapta d b o secantă atunci sau
format două unghiuri alterne interne
congruente acestea sunt unghiurile
c d b și a b d scrie că unghiul
ABD este congruent cu unghiul cdb
fiind unghiuri alterne interne
aceste două triunghiuri au o latură
comună dreapta a d v DB este congruent
cu DB fiind o latură comună acum
dacă Considerăm dreptele paralele
c și d cu secanta d b sa format
o nouă pereche de unghiuri alterne
interne congruente acestea sunt
unghiurile adb și cbd unghiul adb
va fi congruent cu unghiul cbd
fiind alterne interne din aceste
relații va rezulta conform cazului
de congruență unghi latura unghi
că triunghiul adb este congruent
cu triunghiul cbd iar din această
relație de congruență va rezulta
că segmentul ab va fi congruentă
cu segmentul c d a b cu c d și
mai rezultă că segmentul ad va
fi congruent cu CB