Echivalența propozițiilor și a predicatelor. Egalitatea mulțimilor

toate teoremele din matematică

sunt de fapt implicații implicații

de propoziții sau implicații de

predicate de exemplu avem următoarea

teoremă dacă un punct aparține

mediatoarei unui segment atunci

el este egal depărtat de extremitățile

segmentului denota această propoziție

cu p un punct aparține mediatoarei

unui segment și această propoziție

cu q Ia zi este egal depărtat de

extremitățile segmentului în acest

caz avem implicația pe implică

q Dani este adevărată și această

teoremă dacă un punct este egal

depărtat de extremitățile unui

segment atunci el aparține mediatoarei

segmentului în acest caz avem implicația

q implică pe prima teoremă se mai

numește teoremă directă iar a doua

teoremă se numește teorema reciprocă

avem o implicație în ambele sensuri

o astfel de implicații se numește

echivalență iar în acest caz cele

două teoreme pot fi scrise sub

forma unei singure teoreme cu ajutorul

expresiei dacă și numai dacă astfel

un punct aparține mediatoarei unui

segment Dacă și numai dacă este

egal depărtat de extremitățile

segmentului în lecția aceasta o

să discutăm despre echivalența

propozițiilor și a predicatelor

și o să vedem ce legătură există

între echivalență și în calitatea

mulțimilor Fiind date două propoziții

pe și q echivalența acestora se

notează astfel și Aceasta este

o propoziție adevărată dacă și

numai dacă cele două propoziții

au aceeași valoare de adevăr prin

urmare echivalența propozițiilor

este adevărată atunci când ambele

propoziții sunt false sau când

ambele propoziții sunt adevărate

în celelalte cazuri echivalența

este falsă citi mustre pe echivalent

cu q sau p Dacă și numai dacă q

să vedem câteva exemple avem o

prima propoziție pe 15 împărțit

la 5 este egal cu 3 aceasta este

propoziția adevărată 20 este divizibil

cu 5 este propoziție adevărată

atunci echivalența celor două propoziții

se citește astfel 15 împărțit la

5 este egal cu 3 dacă și numai

dacă 20 este divizibil cu 5 din

moment ce ambele propoziții sunt

adevărate înseamnă că echivalența

acestora este o propoziție adevărată

4 este mai mic decât 2 avem o propoziție

falsă 8 este multiplu de 3 avem

o propoziție falsă atunci propoziția

pe echivalent cu q este o propoziție

adevărată pentru că cele două propoziții

au aceeași valoare de adevăr 5

este număr natural este o propoziție

adevărată 4 plus 3 egal cu 10 este

o propoziție falsă prin urmarea

echivalență acestor propoziții

va fi falsă să vedem în continuare

Ce înțelegem prin echivalența a

doua predicate Fiind date două

predicate pe x și q de x spunem

că predicatul p este echivalent

cu predicatul q dacă propoziția

oricare ar fi x pdx echivalentă

cu ciudă x este o propoziție adevărată

să facem un exemplu avem predicatul

p de x x minus 2 este egal cu 0

unde x este număr natural și predicatul

q de x 4x minus 4 este egal cu

4 unde x este număr natural să

verificăm dacă are loc echivalența

acestor două predicate trebuie

să verificăm dacă această propoziție

este adevărată oricare ar fi x

număr natural în cazul în care

x este egal cu 2 atunci propoziția

p d 2 adică 2 minus 2 egal 0 este

o propoziție adevărată însă observăm

că și propoziția q de 2 este propoziția

adevărată pentru că avem 4 ori

2 8 minus 4 egal cu 4 din urmă

are în cazul în care x este egal

cu 2 propozițiile p și q au aceeași

valoare de adevăr să vedem acum

ce valoare de adevăr au aceste

propoziții în cazul în care x este

diferit de 2 adică x aparține mulțimii

numerelor naturale minus elementul

2 dacă x este diferit de 2 atunci

această propoziție pe de x va fi

întotdeauna o propoziție falsă

pentru că orice valoare a lui x

diferită de 2 se obține o propoziție

falsă la fel obține și în cazul

propoziției q de x dacă x este

diferit de 2 și propoziția q de

x este o propoziție falsă Așadar

observăm că dacă x este diferit

de 2 cele două propoziții au aceeași

valoare de adevăr prin urmare această

relație de echivalență este adevărată

oricare ar fi x număr natural cu

alte cuvinte spunem că cele două

predicate sunt predicate echivalente

observăm că mulțimea de adevăr

a predicatului p de x este formată

din elementul 2 și mulțimea de

adevăr a predicatului q de x este

formată din numărul 2 am văzut

așa dacă cele două propoziții sunt

adevărate numai în situația în

care x este egal cu 2 ce observam

între cele două mulțimi dacă notăm

această mulțime cu ei și această

mulțime cu b observăm că are loc

o egalitate între cele două mulțimi

și vom scrie altfel mulțimea a

este egală cu mulțimea b dar să

nu uităm că relația de echivalență

este de fapt o dublă implicație

predicatul implică logic predicatul

q dacă a este inclusă în b și predicatul

q implică logic predicatul p Dacă

B este inclusă în a putem spune

astfel că două mulțimi A și B sunt

egale dacă a este inclusă în b

și b este inclusă în a să reținem

Așadar că două predicate sunt echivalente

dacă mulțimile lor de adevăr sunt

egale în continuare să facem două

aplicații Se dau următoarele două

propoziții propoziția pe oricare

ar fi x din intervalul 0 plus infinit

3x minus 18 este mai mic decât

0 și propoziția q există x și y

numere reale astfel încât modul

din x minus 5 plus y minus 3 totul

la pătrat să fie egal cu 0 stabiliți

valoarea de adevăr a propozițiilor

p q p echivalent cu q non p echivalent

cu q mai întâi O să stabilim valoarea

de adevăr a propoziției pe trebuie

să vedem dacă această inegalitate

are loc pentru orice număr x din

intervalul 0 plus infinit în cazul

în care x este egal cu 8 atunci

3 ori 8 minus 18 este egal cu 24

minus 18 adică 6 Dar 6 nu este

mai mic decât zero prin urmare

această inegalitate nu este verificată

pentru orice număr x din acest

interval Așadar Propoziția este

o propoziție falsă trecem la propoziția

q trebuie să verificăm dacă există

numerele x și y ale astfel încât

aceasta egalitate să fie adevărată

știm că întotdeauna modulul unui

număr real este mai mare sau egal

decât 0 și la fel se întâmplă și

cu pătratul unui număr real pentru

că această sumă să fie egală cu

0 trebuie ca fiecare dintre aceste

expresii să fie egală cu 0 trebuie

ca modul de x minus 5 să fie egal

cu 0 asta înseamnă că x minus 5

este egal cu zero adică x este

egal cu 5 și apoi trebuie ca II

minus 3 la pătrat să fie egal cu

0 mai exact y3 egal cu 0 y egal

cu 3 iată că am găsit cel puțin

un număr real X și un număr real

yn300 propoziție să fie adevărată

prin urmare Propoziția existențială

este o propoziție adevărată am

stabilit astfel când valoarea de

adevăr a propoziției pe este 0

valoarea de adevăr a propoziției

q este 1 și am să stabilim valoarea

de adevăr a propoziției pe echivalent

cu q observăm că cele două propoziții

nu au aceeași valoare de adevăr

și atunci valoarea de adevăr a

echivalentei acestora va fi 0 să

vedem la cu valoarea de adevăr

a propoziției nunte dacă p este

falsă nu în pe este adevărată și

acum putem să scriem valoarea de

adevăr a propoziției non p echivalent

cu q nunta este adevărată q este

adevărată normare cele două propoziții

au aceeași valoare de adevăr și

atunci valoarea de adevăr acestei

propoziții este 1 un ultim exercițiu

fie predicatul p de x 1 este mai

mic decât 2x plus 3 mai mic sau

egal decât 7 unde x este număr

întreg și predicatul q de x x pe

lângă x minus 1 pe lângă x minus

doi este egal cu 0 x număr întreg

Arătați că predicatul p de x este

echivalent cu predicatul q de x

pentru a arăta că cele două predicate

sunt echivalente o Să arătăm când

mulțimile lor de adevăr sunt egale

pentru a determina mulțimea de

adevăr a predicatului p trebuie

să rezolvăm această inecuației

pe care o să mai scriu încă o dată

1 mai mic decât 2x plus 3 mai mic

sau egal decât 7 mai întâi o să

îl scădem pe 3 și obținem 1 minus

3 adică minus 2 mai mic decât 2

x mai mic sau egal decât 7 minus

3 adică patru împărțim această

inegalitate la 2 minus 2 împărțit

la 2 este minus 1 2 x împărțit

la 2 este x 4 împărțit la 2 este

2 din moment ce x este număr întreg

înseamnă că x poate la valorile

0 1 și 2 și atunci mulțimea de

adevăr a predicatului p de x este

această mulțime formată din numerele

0 1 și 2 pentru a afla în mulțimea

de adevăr a predicatului q trebuie

să vedem care sunt acele numere

întregi pentru care x pe lângă

x minus 1 pe lângă x minus 2 este

egal cu 0 un produs este egal cu

0 dacă cel puțin unul dintre factori

este egal cu 0 și atunci avem trei

posibilități Fie x este egal cu

0 și x minus 1 este egal cu 0 și

obținem că x este egal cu 1 x minus

2 este egal cu 0 și atunci x este

egal cu doi Deci acest produs este

egal cu 0 dacă x este 0 1 sau 2

și atunci mulțimea de adevăr a

predicatului q de x este mulțimea

formată din elementele 0 1 și 2

observăm astfel că cele două mulțimi

sunt egale dacă notăm prima mulțime

de adevăr cu a și a doua mulțime

cu b observăm Așadar că a este

egal cu b putem să spunem că predicatul

p este echivalent cu predicatul

q