Forţa rezistivă. Amortizarea oscilaţiilor. Compunerea oscilaţiilor paralele.
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
În ce an a treia Lecție despre
oscilații și unde mecanice vom
discuta despre oscilațiile amortizate
și despre compunerea oscilațiilor
paralele oscilațiile amortizate
ale unui oscilator întrun medium
au loc datorită forțelor de frecare
dintre o și la torul respectiv
și mediul de obicei de tip Fruit
prin care el se mișcă această forță
de frecare este prezentat în această
ecuație Ea este proporțională cu
viteza de mișcare și bineînțeles
se opune acestei mișcări de aceea
are sensul minus Constanța de proporționalitate
dintre forța de frecare și viteză
se notează cu iar și ia depinde
de geometria de forma o și la torului
și de natura mediului prin care
are loc oscilația Cât de vâscos
este acest meci odată ce avem o
formulă pentru forța de frecare
putem scrie formula fundamentală
a dinamicii Care este masa ori
accelerația egală cu Forțele care
acționează în cazul oscilator armonic
avem o forță de tip pe elastic
Care este minus ca înmulțită cu
melodia oscilației plus această
nouă forță de frecare care acționează
și asupra corpului această ecuație
poate fi rescrisă în felul următor
pentru a fi rezolvată Deci trecând
în partea stângă a ecuației toți
membrii din partea dreapta avem
cai y Care este o funcție de timp
bineînțeles plus nervi dar viteza
prin definiție este Delta Delta
yu6 împărțit la Delta t m viteza
este variația Lunca ții în unitatea
de timp și na mai rămas M A deci
plus m ori accelerația pe care
voi in felul urmator Delta variația
dublă elongații împărțită la timp
egal cu zero bineînțeles pentru
Delta tinde la 0 aceasta acest
tip de ecuație nu ați mai văzut
încă o scriu numai întrecere fără
a face nicio demonstrație din ea
numai pentru a vă sugera Cum putem
extrage dintre astfel de ecuație
ecuația pentru de te deci am și
simplu scrie viteza ca variația
lui y ca funcție de timp iar accelerația
Care este variația vitezei va fi
variația dublă a alunga Asiei în
raport cu timpul această cantitate
o vinde column când veți face calcul
diferențial acestea sunt diferentiale
de ordinul întâi și ordinul doi
derivate de ordin întâi și ordinul
doi ale wrong Asiei Nu nu le știți
încă dar numai ca să vedeți cum
se rezolvă această ecuație pe scurt
avem o ecuație diferențială de
ordinul doi în care singura necunoscută
este yyy8 II ca funcție de timp
dar din nou aceasta este doar un
comentariu Nu trebuie să știți
deocamdată aceste lucruri dar în
felul acesta se rezolvă în calculul
diferențial această ecuație obținem
următoarea soluție nația ca funcție
de timp va fi o amplitudine înmulțită
cu o funcție exponențială e la
minus al fateh și înmulțită apoi
cu o funcție sinusoidală de timp
De ce avem în funcția sinusoidală
tipică cu care suntem obișnuiți
pentru o mișcare oscilatorie armonică
dar în particular pentru oscilații
amortizate avem în amplitudine
un factor de pandant de timp această
exponențial dacă Reprezentăm grafic
această funcție am uitat să definesc
Alfa Deci Alfa coeficientul exponențial
a din din această formulă este
definit ca raportul dintre R și
2 m b c Constanța din de proporționalitatea
forței de frecare și m este masa
oscilatorului Deci Alpha este definit
ca aer împărțit la 2 m și se numește
coeficient de amortizare după când
spuneam dacă Reprezentăm grafic
această soluție pentru elongația
unei oscilații armonice amortizate
obținem această formă de ce nu
verde cu culoarea verde obținem
sau desemnăm această valoare a
lui y de tip ca funcție de timp
bineînțeles cu roșu punct întrerupt
cu linie roșie întreruptă în am
desenat doar funcția din fața funcției
sinus Deci cu roșu avem A e la
minus Alpha Tec o funcție care
scade exponențial în timp ia se
numește anvelopa oscilații și după
cum ne așteptăm în vedem că vedem
Că întradevăr avem o funcție sinusoidală
Deci avem o oscilație periodică
dar efectul amortizării apare în
este de scris de această anvelopă
ce scade exponențial în care vedem
că amplitudinea aceste oscilații
scade în timp Nici acesta este
efectul forței de frecare care
duce la oscilații amortizate amplitudinea
scade în timp exponențial după
această lege oscilațiile sunt de
mai multe tipuri din acest punct
de vedere primul tip bineînțeles
este cel discutat până acum cel
al oscilațiilor libere sau ne disipative
în care nu avem forțe de frecare
sau disipative care pot amortiza
oscilația în acest tip de oscilație
energia totală se conservă după
cum am văzut în lecția trecută
bineînțeles și alte al doilea tip
este cel.ro și la ți lor amortizate
pe care le am discutat acum care
se mai numesc și disipative pentru
că energia totală se consumă Deci
oscilatorul încetează energie mediului
cu care interacționează prin forța
de frecare iar al treilea triptip
de oscilații este cel al lui și
lați lor forțate sau întreținute
despre care vom mai discuta în
curând și în care furnizăm energie
din exterior pentru compensarea
pierderilor deci oscilațiile sunt
amortizate în acest caz sau ar
fi amortizate pentru că există
o forță de frecare semnificativă
dar noi furnizăm din exterior pentru
o anumită metodă energia care sar
consuma și se consumă și felul
acesta păstrăm energia totală a
oscilatorului constantă obținând
un tip de oscilație caracteristicelor
libere Dar bineînțeles având în
același timp o disipare de energie
aceste aceste de oscilații se numesc
forțat sau întrețin să mergem acum
la compunerea oscilațiilor paralele
Deci Considerăm 25 armonice care
sunt paralele în sensul că forțele
elastice au aceeași direcție precum
vedem în această schemă Deci ce
vedem este un corp care este atașat
la două resorturi și bineînțeles
el Atunci este supus la două forțe
elastice care produc elongații
complementare Adică când unul din
resort se întinde celelalte strânge
și Deci forțele elastice au sensuri
opuse dar au aceeași direcție și
presupunem pentru simplicitatea
calculelor că frecvențele proprii
ale celor două resorturi sunt egal
vă reamintesc Omega este egal cu
radical din ca pe m asta înseamnă
că cele două resorturi au aceeași
constantă elastică Haideți să calculăm
în acest caz ecuațiile mișcării
acestui oscilator format compus
format din două și la soare Deci
plecăm de la ecuația pentru fiecare
elongație pentru fiecare din cele
două resorturi cel 27 are în care
am pus condiția ca frecvențele
să fie sau pulsatiile să fie egal
în lecția 6 de curent alternativ
am studiat proprietățile funcțiilor
sinusoidale Deci Haideți să scriu
undeva lecția 6 de curent alternativ
vreau pe care vă invit soare vedeți
acolo am demonstrat că atunci când
adunăm două funcții sinusoidale
obținem tot o funcție sinusoidală
de aceeași Pulsar Deci elongația
mișcării oscilatorii compuse va
fi a sinus de omega-3 plus și 03
pentru a o Descrie complet trebuie
să calculăm a amplitudinea și fie
0 pentru aceasta folosind diagrama
fazorială Deci aceasta este diagrama
fazorială a acestor mișcări oscilatorii
Deci vectorul sau vectorul A1 descrie
elongația y1a 2 descrie elongația
y2 și bineînțeles suma lor vectorială
Deci A1 plus A2 adunate vectorial
va reprezenta fazorul a Ce descrie
elongația mișcării oscilatorii
compuse deci tot ce trebuie să
faci este să fac să calculăm proprietățile
aceste sume vectoriale a 2 fazori
A1 și A2 pentru aceasta proiectăm
această ecuație pe cele două axe
când proiectăm ecuația vectorială
această ecuație vectorială pe axa
o x obținem următoarea ecuație
a cosinus de fi 0 este egal cu
a 1 cosinus de fi 0 1 plus a 2
cosinus de 0 2 meci pentru fiecare
Vector calculăm proiecția și bineînțeles
proiecția va fi dată de cosinusul
unghiului la fel pe o putem scrie
că a ținut deschis 0 este egal
cu a 1 sinus de pi zero unu plus
A2 sinus de 0 2 observăm că dacă
împărțim a doua ecuații la prima
ecuație una din cele două necunoscute
și anume amplitudinea se simplifică
și rămâne încă o singură necunoscută
și zeci obținem ecuația pentru
fi 0 și anume că tangentă de fi
0 sinus împărțit la cosinus tangentă
egală cu raportul dintre mărimile
din dreapta acestor Două ecuații
pentru a calcula magnitudinea a
folosim următoarea identitate trigonometrică
și anume că între un triunghi și
anume În cazul acesta în acest
triunghi dacă notăm cu unghiul
teta unghiul opus laturii a și
bineînțeles această latură va fi
A1 putem scriu următoarea ecuație
a pătrat este egal cu a 1 pătrat
plus A2 pătrat minus 2 a 1-a 2
cosinus de data aceasta este o
ecuație general valabilă între
Laturile unui triunghi și unghiul
opus laturii a în cazul acesta
putem însă observa că unghiul teta
Care este acest unghi meci teta
este acest unghi teta este egal
cu 180 de grade minus unghiul Delta
fi Deci notăm unghiul dintre fazori
iau 1 și a 2 cu Delta fii sau Delta
fi 0 mai exact și atunci unghiul
teta este egal cu 180 de grade
sau pai Radian minus dar dar știm
că cosinus de Deci în concluzie
cosinus de tata este egal cu cosinus
de pi minus Delta fi Care este
egal cu minus cosinus de Delta
fii cosinus de 180 de grade minus
unu unghi Alfa este minus cosinus
de a fost o relație generală în
care după cum am spus Delta fizzer
definit ca și zero unu minus fie
zero doi zece am introdus această
nouă mărime și în concluzie putem
înlocui minus cosinus de teta cu
cosinus de Delta fie 0 și obținem
pentru magnitudinea sau Maximul
lui amplitudinea lui elongație
compuse următoarea ecuație radical
din 1 pătrat plus A2 pătrat plus
doi a 1-a 2 cosinus Delta fie 0
unde Delta fie zero este fie zero
unu minus și zero doi și felul
acesta am obținut ecuațiile pentru
elongația mișcării oscilatorii
compuse în acest caz paralele de
aceeași frecvență Haideți să vedem
proprietățile A deci aceasta este
cu ață pentru amplitudinea și avem
următoarele cazuri particulare
în cazul în care Delta fi 0 care
din nou este prin definiție fie
zero unu minus fie zero doi În
cazul în care acest unghii relativ
inițial este un multiplu impar
de 90 de grade în acest caz cosinusul
va fi 0 oscilațiile se numesc în
cuadratură pentru că cosinusul
Pfizer obține imediat că am Pitu
din ea este egal cu radical din
suma pătratelor altitudinii de
individuale de aici numele de cuadratură
un alt caz particular este acela
un și relațiilor în fază în care
Delta fi 0 este cu multiplu par
de 180 de grade adică 0 367 departe
în acest caz cosinus de 0 este
egal cu plus unu și atunci obținem
a unui pătrat plus A2 pătrat plus
2 1 2 care este a 1 sau 2 la pătrat
Deci obținem că în acest caz amplitudine
este suma pietonilor și de individuale
și de aceea oscilație se numesc
în față și bineînțeles avem cazul
opus oscilațiile în opoziție de
fază în care Delta fi 0 este o
multiplu impar de pe adică 180
de grade 270 de grade 180 de grade
3 ori 180 de grade și așa mai departe
cest caz cosinus de Delta fie zero
va fi minus unu judeci obținem
a unui pătrat plus a 2 pătrat minus
2 a1 a2 Care este 1 minus 2 la
pătrat judeci în acest caz amplitudinea
oscilației compuse este modulul
diferenței dintre amplitudinea
oscilațiilor individuale Acestea
fiind cazurile particulare mai
important ale oscilațiilor compuse
paralele oscilațiile paralele cu
amplitudini egal și faze inițiale
nule Haide să discutăm despre acest
caz pentru că vom vedea în lecția
viitoare când vom discuta despre
bătăi în oscilații Cum anume acest
caz este relevant Deci Considerăm
amplitudine gali și faze inițiale
nu lipsesc în acest caz Care este
un caz de simplificat avem următoarele
Două ecuații pentru elongații individuale
y1 este a sinus de Omega 1 t y
2 este a sinus de Omega 2 t de
cină cest caz avem frecvențe sau
pulsații proprii diferite dar celelalte
celelalte doi parametri ai oscilației
și anume altitudinea sunt egali
în cazul faze și egal cu 0 șunca
simplificat totuși în care ne îndreptăm
către discuția situații în care
pulsatiile nu sunt egale bun în
acest caz putem scrie Bineînțeles
că y de ten Care este suma celor
două este egal cu a înmulțit cu
sinus de Omega 1 t plus sinus de
Omega 2 t ere apoi face apel sau
folosim următoarele următoarele
identitate trigonometrică sinus
de Alfa plus sinus de B este egal
cu 2 cosinus de Alfa minos Betta
împărțit la 2 sinus de Alfa plus
Betta împărțit la 2 judeci în concluzie
dacă notăm cu o anumită valoare
un anumit parametru această cantitate
și anume notăm cu Delta Omega Omega
1 minus Omega 2 împărțit la 2 și
cu Omega Omega 1 plus Omega 2 împărțit
la 2 obținem următoarele ecuații
pentru inundația oscilație compuse
ai de te va fi 2 înmulțit cu a
cosinus de Delta Omega adică diferența
împărțită la 2 înmulțit cu test
sinus de Omega adică sumă am pățit
la 2:00 munții tăcute