Inecuații exponențiale

în rezolvarea inecuațiilor exponențiale

vom utiliza monotonia funcției

exponențiale să ne reamintim câteva

aspecte teoretice funcția f definită

pe r cu valori în intervalul 0

plus infinit f de x egal cu a la

x unde a este strict mai mare ca

0 și diferit de 1 este o funcție

strict crescătoare în cazul în

care baza este supraunitară Așadar

dacă a este mai mare ca 1 din faptul

că ăla x 1 este mai mic decât a

la x doi vom avea tx1 este mai

mic decât x 2 în cazul funcție

este crescătoare relația de ordine

dintre exponenți se păstrează iar

dacă bază este subunitară atunci

funcția exponențială este strict

descrescătoare așa dar în cazul

în care Alex 1 este mai mic decât

alea ex2 vom avea X1 mai mare decât

X2 vom utiliza aceste în rezolvarea

inecuațiilor ce urmează prima inecuației

2 la puterea a 3 x plus 5 este

mai mic decât 2 la puterea 2x minus

9 bază este 2 supra unitară În

consecință funcția este strict

crescătoare și atunci relația de

ordine dintre exponenți se păstrează

vom avea a 3x plus 5 mai mic decât

2x minus 9 x este mai mic decât

minus 9 minus 5 x mai mic decât

minus 14 soluția inecuației este

intervalul minus infinit minus

14 următoarea inecuației 7 la x

plus 7 la x plus 2 mai mic sau

egal decât 50 7 la x plus 7 la

x ori 7 la a doua mai mic sau egal

decât 50 de factor comun 7 la x

pe lângă 1 plus 7 la a doua este

49 mai mic sau egal decât 50 50

ori 7 la x este mai mic sau egal

decât 50 împărțim la 50 și vom

obține 7 la x mai mic sau egal

decât 1 1 se poate scrie 7 la puterea

zero Orice număr ridicat la puterea

0 este 1 avem o funcție exponențială

cu baza supraunitară în consecință

vom avea relația x mai mic sau

egal decât 0 soluția va fi intervalul

minus infinit 0 următoarea inecuației

3 radical din 6 ori 6 la puterea

x minus trei este mai mare sau

egal decât 1 pe 2 o să scriem pe

radical din 6 ca putere a lui 6

avem trei ori 6 la unu pe doi ori

6 la x minus trei este mai mare

sau egal decât 1 pe 2 3 ori 6 aici

adunăm exponenții și vom avea x

minus 3 plus 1 pe 2 este egal cu

x minus 5 pe 2 Așadar obținem 6

la puterea x minus 5 supra 2 mai

mare sau egal decât 1 pe 2 împărțim

inegalitatea la 3 6 la puterea

x minus 5 pe 2 este mai mare sau

egal decât 1 supra 6 o să scrie

m și numărul 1 pe 6 ca o putere

a lui 6 6 la X minus 5 pe 2 este

mai mare sau egal decât 6 la minus

1 am obținut în ambii membri două

puteri cu aceeași bază supraunitară

În consecință funcția este strict

crescătoare Deci vom avea x minus

5 pe 2 mai mare sau egal decât

minus 1 obținem x mai mare sau

egal decât minus 1 plus 5 pe 2

x mai mare sau egal decât 3 supra

2 soluția va fi intervalul 3 pe

2 plus infinit următoarea inecuației

1 supra 5 la 2 x înmulțit cu 1

supra 25 la x pătrat este mai mic

sau egal decât 25 ori 1 supra 5

la puterea minus 3x formăm aceeași

bază în ambii membri vrem să scriem

Toate aceste puteri cu baza 1 supra

5 vom avea 1 pe 5 la puterea a

2 x ori 1 supra 25 se scrie 1 pe

5 totul la a doua și pentru că

avem aici un x pătrat vom avea

1 pe 5 la 2 x pătrat mai mic sau

egal 25 este egal cu 5 la a doua

iar 5 la a doua se poate scrie

1 supra 5 la minus 2 ori 1 supra

5 la minus 3x acum Avem puteri

cu aceeași bază și putem aduna

exponenții 1 supra 5 la puterea

a 2 x plus 2x pătrat este mai mic

sau egal decât 1 supra 5 la puterea

minus 2 minus 3x avem aceeași bază

în ambii membri atenție bază este

subunitară 1 pe 5 Așadar relația

de ordine dintre exponenții se

va schimba vom avea a 2x plus 2x

pătrat este mai mare sau egal decât

minus 2 minus 3x 2x pătrat plus

2x plus 3x plus 2 este mai mare

sau egal cu 0 2 x pătrat plus 5x

plus 2 este mai mare sau egal cu

0 voi continua alăturat pentru

a rezolva această inecuații de

gradul al doilea vom rezolva mai

întâi ecuația 2x pătrat plus 5x

plus 2 egal cu 0 Delta este 25

minus 4 ori 2 ori 225 minus 16

este 9 x 1 este minus 5 plus 3

supra 4 egal cu minus 1 supra 2

și x 2 este minus 5 minus 3 supra

4 egal cu minus 2 un facem continuare

tabelul de semn avem x Funcția

de gradul al doilea 2 x pătrat

plus 5x plus 2 de la minus infinit

la plus infinit am obținut rădăcinile

minus 2 și minus 1 pe 2 această

expresie se anulează pentru x egal

cu minus 2 respectiv x egal cu

minus 1 pe 2 Funcția de gradul

al doilea are semnul lui a în afara

rădăcinilor A este 2 pozitiv Deci

în afara rădăcinilor avem Semnul

plus și semn contrar lui a între

rădăcini pe noi ne interesează

că această expresie să fie mai

mare sau egal cu 0 obținem valori

mai mari sau egal cu 0 pe aceste

intervale În consecință obținem

x aparține intervalului minus infinit

minus 2 închis la minus 2 pentru

că avem mai mare sau egal reunit

cu intervalul minus 1 supra 2 plus

infinit soluția inecuației va fi

intervalul minus infinit minus

2 reunit cu intervalul minus 1

pe 2 plus infinit următoarea inecuației

3 la puterea 2x minus 12 ori 3

la x plus 27 este mai mic ca 0

3 la 2 x se poate scrie 3 la x

totul la a doua minus 12 ori 3

la x plus 27 mai mic ca 0 în continuare

vom face o substituție Vom nota

3 la x cute obținem astfel ecuația

de gradul al doilea cu necunoscuta

de la a doua minus 12 t plus 27

mai mică 0 pentru a rezolva această

ecuație vom rezolva mai întâi ecuația

de gradul al doilea de la a doua

minus 12 t plus 27 egal cu 0 Delta

este 144 minus 4 ori 27 egal cu

144 minus 108 ne dă 36 1 este 12

plus 6 supra 2 18 pe 2 este dar

cu 9 pe 2 este 12 minus 6 supra

2 6 pe 2 este 3 nu o să mai facem

tabelul de semn Funcția de gradul

al doilea are semnul lui a în afara

rădăcinilor și Stem contra lui

a între rădăcini a este unul pozitiv

semn contrar va va fi între rădăcini

pe noi ne interesează semnul contrar

Așadar obținem t aparține intervalului

3 9 interval deschis deoarece inegalitatea

este strictă dacă Revenim la notația

făcută obținem că 3 este mai mic

decât 3 la x mai mic decât nouă

vom Scrie numerele 3 și 9 ca puteri

ale lui 3 3 la unuia este mai mic

decât 3 la x și mai mic decât 3

la a doua funcția exponențială

cu baza supraunitară este strict

crescătoare Așadar vom avea 1 mai

mic decât x mai mic decât doi În

consecință x aparține intervalului

1 2 soluția inecuației este intervalul

deschis 1 2