Logaritmi (aplicații)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această secvență o să discutăm
despre primele trei proprietăți
ale logaritmilor și apoi vom face
câteva aplicații am văzut în lecția
trecută că pornind de la relația
a la x egal cu b atunci exponentul
x se mai numește logaritmul în
baza a a numărului b cu alte cuvinte
x este numărul la care trebuie
să ridicăm baza logaritmului pentru
a obține numărul b baza logaritmului
trebuie să fie întotdeauna un număr
strict pozitiv și diferit de 1
iar b trebuie de asemenea să fie
un număr strict pozitiv și acum
să vedem cod ar fi prima proprietate
alung aritmiilor în cazul în care
x este 0 avem a la puterea 0 egal
cu 1 de aici rezultă 0 este egal
cu logaritm în bază a din 1 să
reținem Așadar această relație
Deci logaritm în orice bază din
1 este egal cu 0 de exemplu logaritm
în bază 3 din 1 lași 0 sau logaritm
în baza radical din 5 din 1 va
fi egal cu zero în cazul în care
x este 1 avem a la puterea întâia
egal cu a de aici va rezulta că
1 este egal cu logaritm în bază
a din a aceasta este a doua proprietate
a logaritmilor mai putem citi astfel
logaritmul bazei este egal cu 1
de exemplu logaritm în baza 1 supra
2 din 1 supra 2 va fi egal cu 1
sau logaritm în baza 3 din 7 din
radical din 7 va fi egal cu 1 în
continuare voi Scrie o egalitate
evidentă a la puterea n este egal
cu a la puterea n acum dacă acesta
a la n este numărul b din această
formulă iar n este x obținem egalitatea
n egal logaritm în bază a din a
la n Este evident această relație
pentru că exponentul la care trebuie
să ridic pe a pentru a obține a
la n este chiar and de exemplu
logaritm în baza 7 din 7 la a doua
va fi egal cu 2 să reținem Așadar
aceste trei formule logaritmice
logaritm în bază a din 1 este egal
cu 0 logaritm în bază a din a este
egal cu 1 sau mai spunem că logaritm
în bază a este 1 și Ultima relație
logaritm în bază a din a la n este
egal cu An să facem în continuare
câteva aplicații vom calcula următorii
logaritmi avem logaritm în bază
3 din 81 trebuie să ne gândim Care
este Puterea la care trebuie să
le ridicăm pe 3 pentru a obține
81 ca să ne fie mai ușor Încercăm
să scriem pe 81 ca o putere a lui
3 numărul Alin în baza 3 din 3
la a patra și egal cu 4 urmează
logaritm în baza 2 din 1 supra
32 la fel Încercăm să scriem numărul
unu supra 32 ca o putere a lui
2 și vom avea logaritm în baza
2 din 2 la puterea minus 5 iar
rezultatul va fi minus 5 urmează
logaritm în baza 9 din 3 Încercăm
să scriem numărul 3 ca o putere
a lui 9 vom avea logaritm în baza
9 din radical din 9 pentru că 3
este radical din 9 acum o să scriem
pe radical din 9 ca o putere cu
exponent rațional și avem 9 la
1 pe 2 iar rezultatul logaritmului
va fi 1 supra 2 urmează logaritm
în bază 3 din radical din 3 va
fi egal cu logaritm în bază 3 din
3 la puterea unu pe doi și egal
cu 1 pe 2 logaritm în baza 9 din
radical din 3 nu mai avea logaritm
în baza 9 mai întâi o să scriem
pe radical din 3 ca o putere cu
exponent rațional și Avem 3 la
puterea 1 pe 2 egal cu logaritm
în bază nouă acum să scriem pe
3 ca o putere a lui 9 3 este radical
din 9 la puterea 1 pe 2 egal cu
logaritm în baza 9 radical din
9 este 9 la 1 pe 2 și pentru că
avem încă o putere aici 1 pe 2
înmulțim exponenții egal cu logaritm
în baza 9 din 9 la 1 pe 4 iar rezultatul
va fi 1 supra 4 la punctul 6 avem
logaritm în baza radical din 5
din 1 supra 5 va fi egal cu logaritm
în bază radical din 5 trebuie să
scriem pe 5 cu ajutorul numărului
radical din cinci unu supra radical
din cinci la pătrat egal cu logaritm
în baza radical din 5 fracția 1
supra radical din 5 la a doua este
radical din 5 la minus 2 și de
el cu minus 2 urmează logaritm
în baza 2 din radical de ordinul
5 din 8 o să îl scriem pe 8 ca
o putere a lui 2 vom avea radical
de ordinul 5 din 2 la a treia acum
scriem radical ca o putere cu exponent
rațional radical de ordinul 5 din
2 la a treia este egal cu 2 la
puterea 3 supra 5 rezultatul va
fi egal cu 3 supra 5 ultimul logaritm
avem logaritm în baza 6 din 0 aici
mă las pe voi și mai facem un exercițiu
Să se determine numărul real x
pentru care există logaritmul logaritm
în baza 2 x din x plus 3 supra
5 minus x trebuie Așadar să punem
toate condițiile de existență a
acestui logaritm așa cum spuneam
mai devreme baza logaritmului trebuie
să fie un număr strict pozitiv
și diferit de 1 Deci nu pune mai
întâi condiția 2x strict mai mare
ca 0 și 2 x diferit de 1 din prima
relație avem că x trebuie să fie
strict pozitiv iar din a doua relație
avem că x e diferit de 1 pe 2 din
cele două relații va rezulta că
x aparține intervalului 0 infinit
minus 1 pe 2 sau x aparține intervalului
deschis 0 1 supra 2 reunit cu 1
supra 2 plus infinit în continuare
punem condiția ca această fracție
să fie număr strict pozitiv Deci
x plus 3 supra 5 minus x trebuie
să fie strict mai mare ca 0 și
fiind vorba de o fracție mai trebuie
să punem și condiția ca numitorul
să fie diferit de 0 Așadar punem
condiția ca 5 minus x să fie diferit
de 0 din această relație rezultă
x diferit de 5 în continuare vom
studia semnul acestei expresii
folosind semnul funcție de gradul
întâi voi face Așadar un tabel
avem pe prima linie x apoi x plus
3 apoi 5 minus x și fracția x plus
3 supra 5 minus x minus infinit
plus infinit expresia de la numărător
se anulează când x este minus 3
expresia de la numitor 5 minus
x se anulează când x este 5 fracția
x plus 3 supra 5 minus x se anulează
când numărătorul este 0 Deci când
x este minus trei și fracția nu
există când numitorul este zero
adică x egal cu 5 în continuare
folosim semnul funcție de gradul
întâi Funcția de gradul întâi are
semn contrar lui a până la rădăcină
apoi semnul lui a a în cazul acesta
este unu Deci semn contrar lui
unu va fi minus până la rădăcină
apoi Plus a doua expresie de gradul
întâi 5 minus x a este minus unu
Deci negativ semn contrar lui a
va fi plus urmează minus acum studiem
semnul fracției minus cu plus este
minus plus cu plus este plus plus
cu minus este minus fracția trebuie
să fie strict pozitivă Așadar ne
uităm în acest interval iar din
această relație va rezulta că x
trebuie să aparțină intervalului
deschis minus trei cinci avem Așadar
cele trei condiții de existență
a logaritmului prima a doua și
a treia x trebuie să fie diferit
de cinci dar observăm că această
condiție deja se regăsește în condiția
numărul 2 întrucât aici am pus
interval deschis la cinci pentru
a răspunde cerinței din problemă
trebuie acum să intersectăm aceste
intervale Așadar din relațiile
1 și 2 obținem că x aparține intervalului
0 1 pe 2 reunit cu 1 pe 2 infinit
Iar acest interval se intersectează
cu intervalul minus 3 5 să facem
și eu axa 0 1 2 3 4 5 minus 3 minus
1 minus 2 minus 3 1 pe 2 avem Așadar
intervalul de la 0 la 1 supra 2
și 1 pe 2 infinit să reținem Așadar
că punctul 1 pe 2 nu face parte
din acest interval apoi avem intervalul
minus 3 5 interval deschis minus
3 5 cele două culori se suprapun
în această zonă de la zero și până
la 5:00 însă trebuie să scoată
numărul unu pe doi din intervalul
0 5 în consecință x aparține intervalului
0 1 pe 2 reunit cu 1 pe 2 5 aceasta
este soluția problemei