Noțiunea de permutare
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
transmiterea informațiilor secrete
a preocupat Dintotdeauna omenirea
fiecare dintre noi am dorit la
un moment dat să transmite mesaje
pe care să le poată descifra doar
anumite persoane ce spuneți de
următorul mesaj ce credeți că transmite
dacă folosim Codul lui Cezar care
este una dintre cele mai simple
și mai cunoscute tehnici de criptare
fiecărei litere din textul inițial
îi corespunde o literă din alfabet
decalată cu el poziții în cazul
acesta cu trei pentru decriptare
folosim linia a doua a acestui
tabel în corespondență cu linia
întâi acestui tabel iar pentru
criptare folosim linia a doua în
corespondență cu linia a treia
astfel literei l din text li corespunde
litera i literei p din text îi
corespunde litera m și așa mai
departe Hei ce spuneți ați reușit
să decodificat mesajul cu câte
poziții este de cala a cifrul din
imagine este vorba tot de cifrul
lui Cezar Vă aștept răspunsurile
în secțiunea comentarii codificare
a mesajelor are la bază o noțiune
importantă și anume noțiunea de
funcție bijectivă cu ajutorul acesteia
în defini în această secțiune noțiunea
de permutare pentru a înțelege
noțiunea de permutare avem nevoie
să știm ce este o funcție Ce înțelegem
prin funcție bijectivă Ce reprezintă
o mulțime ordonată și Ce înseamnă
noțiunea de cardinal al unei mulțimi
finite de reamintim că o funcție
este o corespondență sau un procedeu
prin care fiecărui element dintre
o mulțime A numită domeniu îi corespunde
în mod unic un element dintre o
mulțime b numită codomeniu numim
funcție bijectivă o funcție care
este injectivă și surjectivă astfel
cu alte cuvinte două elemente distincte
din domeniul o imagine diferite
în codomeniu și toate elementele
din codomeniu sunt imagini ale
unor elemente din domeniu Fie mulțimea
ordonată înțelegem o mulțime finită
a nu se stradă cu o ordine bine
determinată f de dispunere a elementelor
sale a fi este o funcție bijectivă
definită pe mulțimea formată din
elementele 1 2 3 respectiv N cu
valori în a&a are n elemente un
exemplu de mulțime ordonată este
mulțimea formată din elementele
1 2 3 unde pe primul loc am așezat
elementul 1 pe al doilea loc a
majorat elementul doi și pe al
treilea loc am așezat elementul
trei de asemenea o altă mulțime
ordonată este și mulțimea formată
din elementele 3 1 2 unde pe primul
loc am așezat elementul 3 ca al
doilea elementul 1 și pe al treilea
elementul 2 un alt exemplu este
și mulțimea formată din elementele
a c d b unde pe primul loc se află
litera A pe al doilea loc litera
C pe al treilea loc litera d și
pe al patrulea loc litera B atenție
mulțimea ordonată nu se referă
la așezarea în ordine crescătoare
respectiv descrescătoare a elementelor
unei mulțimi prin cardinalul unei
mulțimi înțelegem Numărul de elemente
al acelei mulțimi o problemă de
numărare des întâlnită este aceea
de a determina Câte numere de patru
cifre distincte se pot forma cu
elemente din mulțimea 1 2 3 4 un
număr de patru cifre distincte
se poate reprezenta sub formă a
b c d iar un exemplu de număr care
Space condițiile este 3124 Adică
o mulțime ordonată formată din
elementele acestei mulțimi a determina
numărul acestor numere de patru
cifre distincte revine la a determina
numărul funcțiilor bijective construite
de la mulțimea formată din elementele
a b c d cu valori în mulțimea formată
din elementele 1 2 3 4 funcții
care trebuie să fie directive deoarece
cifrele trebuie să fie distincte
pentru exemplul dat observăm corespondența
f d a este egal cu 3 f d b este
egal cu 1 f d c este egal cu doi
iar ef de d este egal cu 4 putem
reprezenta această funcție forma
următoare a 3 lui b e corespunde
1 lui c e corespunde 2 iar lui
d e corespunde 4 Dacă vom înlocui
cifrele a b c d cu Poziția lor
în cadrul numărului putem obține
următoarea reprezentare cifra a
ocupă poziția 1 în cadrul numărului
și atunci lui unu e facem să corespundă
3b ocupă poziția doi Deci lui 2
să corespundă 1 ce ocupă poziția
a trei ceea ce înseamnă că lui
3 ivone corespunde doi Evident
lui 4-a corespunde 4 în concluzie
numărul acestor numere este egal
cu numărul funcțiilor bijective
si se pot construi de la o mulțime
cu patru elemente la o mulțime
cu patru elemente adică 4 factorial
numere 1 înmulțit cu 2 înmulțit
cu 3 înmulțit cu 4 24 de numere
generalizând putem considera mulțimea
formată din elementele a1 a2 Ioan
unde n este un număr natural nenul
putem defini astfel permutarea
ca fiind oricare mulțime ordonată
formată cu elementele mulțimii
A fiind o mulțime ordonată o permutare
are următoarea expresie a 1-a e
2-a n unde e unul e doi e n aparțin
mulțimii formate din elementele
1 2 en și oricare doi indici Dintre
aceștia trebuie să fie diferiți
această ordonare a elementelor
mulțimii a presupune de fapt Definirea
unei funcții bijective f de la
mulțimea A cu valori în mulțimea
A prin relația f d a k egal cu
a indice ik Iar acest k care intervine
este un număr din mulțimea de la
1:00 numerelor naturale de la 1
până la funcție care poate fi reprezentată
și sub forma următorului tabel
1 îi corespunde ai Unul lui ei
doi îi corespunde ai doi iar lui
a n i corespunde a e n în același
timp se observă și următoarea corespondență
lui 1-a corespunde Ion lui 2-a
corespunde E2 iar lui îi corespunde
en Adică o funcție pe care o putem
nota cu Sigma definită de la mulțimea
numerelor naturale 1 2 n cu valori
în aceeași mulțime descrisă de
relația Sigma de ca egal cu Ica
iar că apa este un element al acestei
mulțimi funcție care la rândul
Ei poate fi scrisă sub următoarea
formă lui unul din corespunde E1
lui 2-a corespunde e2m îi corespunde
e n astfel această permutare este
bine de scrisă de această funcție
bijectivă din acest motiv studiul
permutărilor mulțimilor finite
a cu n elemente se poate face prin
intermediul funcțiilor bijective
sigmatel defini acum permutarea
de grade n a mulțimii A formată
din elementele 1 2 n ca fiind orice
funcție bijectivă Sigma definită
pe mulțimea A cu valori în mulțimea
A mulțimea permutărilor de grade
n se notează cu s indice n iar
elementele sale se notează cu litere
grecești Alfa Beta Gamma Deltă
și așa mai departe cardinalul lui
s e n este egal cu n factorial
adică este numărul permutărilor
unei mulțimi ordonate cu n elemente
iar o permutare Sigma se notează
în acest mod lui unui corespunde
Sigma de 1 2 2 corespunde Sigma
de 2 iar lui n i corespunde Sigma
de n Să considerăm acuma câteva
situații pentru n egal cu unu mulțimea
A este formată din un singur element
și atunci mulțimea permutărilor
va fi formată din singur element
permutarea în care lui unui corespunde
1 iar S1 cardinalului S1 este egal
cu 1 factorial adică 1 pentru n
egal cu doi mulțimea a va conține
două elemente și anume 1 2 iar
S2 va conține două turme mutari
lui unui corespunde unui 2 corespunde
2 cardinalul lui S2 este egal cu
doi factori al adică doi În cazul
în care e n este egal cu 3 mulțimea
A este formată din elementele 1
2 3 iar S3 este formată din șase
permutări descrise în felul următor
permutarea care lasă neschimbat
fiecare element acum lui unul să
corespundă tot unul Dar lui 2-a
corespunde trei iar lui trei a
corespunde doi lui unul să corespundă
2 lui 2 să îi corespunde 1 iar
lui trae să corespundă tot 3 2
1 corespunde doi lui 2-a corespunde
trei iar lui trei a corespunde
unui unui corespunde trei lui 2
corespunde 1 2 3 corespunde doi
și ultima lui unui corespondent
Ray lui 2 corespunde doi iar lui
trei a corespunde 1 cardinalul
lui S3 așa cum spuneam este 3 factorial
adică șase printre permutările
de grade an există două permutări
particulare și anume o permutare
care Asociază fiecărui element
elementul însuși pentru orice ca
număr din mulțimea formată din
elementele 1 2 n această permutare
reprezintă permutarea identică
notată astfel lui unui corespunde
1 lui 2 corespunde 2 iar lui n
i corespunde și spuneam că se numește
permutare identică al doilea exemplu
este permutarea care Asociază fiecărui
element ca apa elementul însuși
în situația în care acesta este
diferit de E respectiv este diferit
de z și elementului ca apa îi Asociază
elementul e dacă acest k este egal
cu j și îi Asociază elementul j
dacă acest k este egal cu e tare
obținută se notează cu Delta și
are următoarea structură unui corespunde
1 lui 2 corespunde doi lui e e
va corespunde j lui k i va corespunde
k lui j e vaco Răspunde E iar lui
n îi corespunde tot Gen dacă ar
fi Considerăm transpoziția 1 3
în mulțimea permutărilor de ordin
3 Delta 1 3 ar avea următoarea
formă a 1-a corespunde trei lui
2-a corespunde doi iar lui trady
corespunde unu astfel de permutare
poartă numele de transpoziție și
o mai puteți întâlni și notată
în acest mod de ce în cazul acesta
este transpoziția unu trei observăm
că transpoziția i j este aceeași
și este egală cu transpoziția j
e următorul videoclip vom vorbi
despre operațiile cu permutări
respectiv proprietățile acestor
operații putem spune că cifrul
sau Codul lui Cezar este o permutare
de ordin 26 dacă doriți să transmiteți
un mesaj utilizând Codul lui Cezar
dar cu pasul 2 Vă aștept în secțiunea
comentarii