Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Noțiunea de permutare

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
25 voturi 792 vizionari
Puncte: 10

Transcript



transmiterea informațiilor secrete

a preocupat Dintotdeauna omenirea

fiecare dintre noi am dorit la

un moment dat să transmite mesaje

pe care să le poată descifra doar

anumite persoane ce spuneți de

următorul mesaj ce credeți că transmite

dacă folosim Codul lui Cezar care

este una dintre cele mai simple

și mai cunoscute tehnici de criptare

fiecărei litere din textul inițial

îi corespunde o literă din alfabet

decalată cu el poziții în cazul

acesta cu trei pentru decriptare

folosim linia a doua a acestui

tabel în corespondență cu linia

întâi acestui tabel iar pentru

criptare folosim linia a doua în

corespondență cu linia a treia

astfel literei l din text li corespunde

litera i literei p din text îi

corespunde litera m și așa mai

departe Hei ce spuneți ați reușit

să decodificat mesajul cu câte

poziții este de cala a cifrul din

imagine este vorba tot de cifrul

lui Cezar Vă aștept răspunsurile

în secțiunea comentarii codificare

a mesajelor are la bază o noțiune

importantă și anume noțiunea de

funcție bijectivă cu ajutorul acesteia

în defini în această secțiune noțiunea

de permutare pentru a înțelege

noțiunea de permutare avem nevoie

să știm ce este o funcție Ce înțelegem

prin funcție bijectivă Ce reprezintă

o mulțime ordonată și Ce înseamnă

noțiunea de cardinal al unei mulțimi

finite de reamintim că o funcție

este o corespondență sau un procedeu

prin care fiecărui element dintre

o mulțime A numită domeniu îi corespunde

în mod unic un element dintre o

mulțime b numită codomeniu numim

funcție bijectivă o funcție care

este injectivă și surjectivă astfel

cu alte cuvinte două elemente distincte

din domeniul o imagine diferite

în codomeniu și toate elementele

din codomeniu sunt imagini ale

unor elemente din domeniu Fie mulțimea

ordonată înțelegem o mulțime finită

a nu se stradă cu o ordine bine

determinată f de dispunere a elementelor

sale a fi este o funcție bijectivă

definită pe mulțimea formată din

elementele 1 2 3 respectiv N cu

valori în a&a are n elemente un

exemplu de mulțime ordonată este

mulțimea formată din elementele

1 2 3 unde pe primul loc am așezat

elementul 1 pe al doilea loc a

majorat elementul doi și pe al

treilea loc am așezat elementul

trei de asemenea o altă mulțime

ordonată este și mulțimea formată

din elementele 3 1 2 unde pe primul

loc am așezat elementul 3 ca al

doilea elementul 1 și pe al treilea

elementul 2 un alt exemplu este

și mulțimea formată din elementele

a c d b unde pe primul loc se află

litera A pe al doilea loc litera

C pe al treilea loc litera d și

pe al patrulea loc litera B atenție

mulțimea ordonată nu se referă

la așezarea în ordine crescătoare

respectiv descrescătoare a elementelor

unei mulțimi prin cardinalul unei

mulțimi înțelegem Numărul de elemente

al acelei mulțimi o problemă de

numărare des întâlnită este aceea

de a determina Câte numere de patru

cifre distincte se pot forma cu

elemente din mulțimea 1 2 3 4 un

număr de patru cifre distincte

se poate reprezenta sub formă a

b c d iar un exemplu de număr care

Space condițiile este 3124 Adică

o mulțime ordonată formată din

elementele acestei mulțimi a determina

numărul acestor numere de patru

cifre distincte revine la a determina

numărul funcțiilor bijective construite

de la mulțimea formată din elementele

a b c d cu valori în mulțimea formată

din elementele 1 2 3 4 funcții

care trebuie să fie directive deoarece

cifrele trebuie să fie distincte

pentru exemplul dat observăm corespondența

f d a este egal cu 3 f d b este

egal cu 1 f d c este egal cu doi

iar ef de d este egal cu 4 putem

reprezenta această funcție forma

următoare a 3 lui b e corespunde

1 lui c e corespunde 2 iar lui

d e corespunde 4 Dacă vom înlocui

cifrele a b c d cu Poziția lor

în cadrul numărului putem obține

următoarea reprezentare cifra a

ocupă poziția 1 în cadrul numărului

și atunci lui unu e facem să corespundă

3b ocupă poziția doi Deci lui 2

să corespundă 1 ce ocupă poziția

a trei ceea ce înseamnă că lui

3 ivone corespunde doi Evident

lui 4-a corespunde 4 în concluzie

numărul acestor numere este egal

cu numărul funcțiilor bijective

si se pot construi de la o mulțime

cu patru elemente la o mulțime

cu patru elemente adică 4 factorial

numere 1 înmulțit cu 2 înmulțit

cu 3 înmulțit cu 4 24 de numere

generalizând putem considera mulțimea

formată din elementele a1 a2 Ioan

unde n este un număr natural nenul

putem defini astfel permutarea

ca fiind oricare mulțime ordonată

formată cu elementele mulțimii

A fiind o mulțime ordonată o permutare

are următoarea expresie a 1-a e

2-a n unde e unul e doi e n aparțin

mulțimii formate din elementele

1 2 en și oricare doi indici Dintre

aceștia trebuie să fie diferiți

această ordonare a elementelor

mulțimii a presupune de fapt Definirea

unei funcții bijective f de la

mulțimea A cu valori în mulțimea

A prin relația f d a k egal cu

a indice ik Iar acest k care intervine

este un număr din mulțimea de la

1:00 numerelor naturale de la 1

până la funcție care poate fi reprezentată

și sub forma următorului tabel

1 îi corespunde ai Unul lui ei

doi îi corespunde ai doi iar lui

a n i corespunde a e n în același

timp se observă și următoarea corespondență

lui 1-a corespunde Ion lui 2-a

corespunde E2 iar lui îi corespunde

en Adică o funcție pe care o putem

nota cu Sigma definită de la mulțimea

numerelor naturale 1 2 n cu valori

în aceeași mulțime descrisă de

relația Sigma de ca egal cu Ica

iar că apa este un element al acestei

mulțimi funcție care la rândul

Ei poate fi scrisă sub următoarea

formă lui unul din corespunde E1

lui 2-a corespunde e2m îi corespunde

e n astfel această permutare este

bine de scrisă de această funcție

bijectivă din acest motiv studiul

permutărilor mulțimilor finite

a cu n elemente se poate face prin

intermediul funcțiilor bijective

sigmatel defini acum permutarea

de grade n a mulțimii A formată

din elementele 1 2 n ca fiind orice

funcție bijectivă Sigma definită

pe mulțimea A cu valori în mulțimea

A mulțimea permutărilor de grade

n se notează cu s indice n iar

elementele sale se notează cu litere

grecești Alfa Beta Gamma Deltă

și așa mai departe cardinalul lui

s e n este egal cu n factorial

adică este numărul permutărilor

unei mulțimi ordonate cu n elemente

iar o permutare Sigma se notează

în acest mod lui unui corespunde

Sigma de 1 2 2 corespunde Sigma

de 2 iar lui n i corespunde Sigma

de n Să considerăm acuma câteva

situații pentru n egal cu unu mulțimea

A este formată din un singur element

și atunci mulțimea permutărilor

va fi formată din singur element

permutarea în care lui unui corespunde

1 iar S1 cardinalului S1 este egal

cu 1 factorial adică 1 pentru n

egal cu doi mulțimea a va conține

două elemente și anume 1 2 iar

S2 va conține două turme mutari

lui unui corespunde unui 2 corespunde

2 cardinalul lui S2 este egal cu

doi factori al adică doi În cazul

în care e n este egal cu 3 mulțimea

A este formată din elementele 1

2 3 iar S3 este formată din șase

permutări descrise în felul următor

permutarea care lasă neschimbat

fiecare element acum lui unul să

corespundă tot unul Dar lui 2-a

corespunde trei iar lui trei a

corespunde doi lui unul să corespundă

2 lui 2 să îi corespunde 1 iar

lui trae să corespundă tot 3 2

1 corespunde doi lui 2-a corespunde

trei iar lui trei a corespunde

unui unui corespunde trei lui 2

corespunde 1 2 3 corespunde doi

și ultima lui unui corespondent

Ray lui 2 corespunde doi iar lui

trei a corespunde 1 cardinalul

lui S3 așa cum spuneam este 3 factorial

adică șase printre permutările

de grade an există două permutări

particulare și anume o permutare

care Asociază fiecărui element

elementul însuși pentru orice ca

număr din mulțimea formată din

elementele 1 2 n această permutare

reprezintă permutarea identică

notată astfel lui unui corespunde

1 lui 2 corespunde 2 iar lui n

i corespunde și spuneam că se numește

permutare identică al doilea exemplu

este permutarea care Asociază fiecărui

element ca apa elementul însuși

în situația în care acesta este

diferit de E respectiv este diferit

de z și elementului ca apa îi Asociază

elementul e dacă acest k este egal

cu j și îi Asociază elementul j

dacă acest k este egal cu e tare

obținută se notează cu Delta și

are următoarea structură unui corespunde

1 lui 2 corespunde doi lui e e

va corespunde j lui k i va corespunde

k lui j e vaco Răspunde E iar lui

n îi corespunde tot Gen dacă ar

fi Considerăm transpoziția 1 3

în mulțimea permutărilor de ordin

3 Delta 1 3 ar avea următoarea

formă a 1-a corespunde trei lui

2-a corespunde doi iar lui trady

corespunde unu astfel de permutare

poartă numele de transpoziție și

o mai puteți întâlni și notată

în acest mod de ce în cazul acesta

este transpoziția unu trei observăm

că transpoziția i j este aceeași

și este egală cu transpoziția j

e următorul videoclip vom vorbi

despre operațiile cu permutări

respectiv proprietățile acestor

operații putem spune că cifrul

sau Codul lui Cezar este o permutare

de ordin 26 dacă doriți să transmiteți

un mesaj utilizând Codul lui Cezar

dar cu pasul 2 Vă aștept în secțiunea

comentarii

Teorie- noțiunea de permutareAscunde teorie X

Definiție.  Fie o mulțime finită cu n elemente, n număr natural nenul,

begin mathsize 14px style A equals open curly brackets a subscript 1 comma space a subscript 2 comma space... comma space a subscript n space close curly brackets end style.

Se numește permutare a mulțimii A, oricare mulțime ordonată formată cu elementele acesteia.

Definiție. Se numește permutare de grad n a mulțimii A={1,2,..., n}, orice funcție bijectivă

begin mathsize 14px style sigma colon A rightwards arrow A end style

Mulțimea permutărilor de grad n se notează cu Sn, iar numărul de elemente al acesteia este |Sn|=n!.

Permutările de grad n se notează de obicei cu litere grecești și se reprezintă sub forma

                         begin mathsize 14px style sigma equals open parentheses table row 1 2 cell... end cell k cell... end cell n row cell sigma left parenthesis 1 right parenthesis end cell cell sigma left parenthesis 2 right parenthesis end cell cell... end cell cell sigma left parenthesis k right parenthesis end cell cell... end cell cell sigma left parenthesis n right parenthesis end cell end table close parentheses end style

Exemple:

Dacă n=1, A={1}, |S1|=1!=1, iar

begin mathsize 14px style S subscript 1 equals open curly brackets open parentheses table row 1 row 1 end table close parentheses close curly brackets end style

Dacă n=2, A={1,2}, |S2|=2!=2, iar

begin mathsize 14px style S subscript 2 equals open curly brackets open parentheses table row 1 2 row 1 2 end table close parentheses comma open parentheses table row 1 2 row 2 1 end table close parentheses close curly brackets end style

Dacă n=3, A= {1,2,3}, |S3|= 3!=6, iar

begin mathsize 14px style S subscript 3 equals open curly brackets open parentheses table row 1 2 3 row 1 2 3 end table close parentheses comma open parentheses table row 1 2 3 row 1 3 2 end table close parentheses comma open parentheses table row 1 2 3 row 2 1 3 end table close parentheses comma open parentheses table row 1 2 3 row 2 3 1 end table close parentheses comma open parentheses table row 1 2 3 row 3 1 2 end table close parentheses comma open parentheses table row 1 2 3 row 3 2 1 end table close parentheses close curly brackets end style

Definiție.Se numește permutare identică de grad n, permutarea

begin mathsize 14px style e equals open parentheses table row 1 2 cell... end cell k cell... end cell n row 1 2 cell... end cell k cell... end cell n end table close parentheses end style

Definiție. Se numește transpoziție permutarea care lasă neschimbate toate elementele cu excepția elementelor i, j pe care le schimbă între ele, notată cu

 begin mathsize 14px style delta subscript i j end subscript equals open parentheses table row 1 2 cell... end cell cell i minus 1 end cell i cell i plus 1 end cell cell... end cell k cell... end cell cell j minus 1 end cell j cell j plus 1 end cell cell... end cell n row 1 2 cell... end cell cell i minus 1 end cell j cell i plus 1 end cell cell... end cell k cell... end cell cell j minus 1 end cell i cell j plus 1 end cell cell... end cell n end table close parentheses end style

Exemple. Dacă n=4, 

begin mathsize 14px style delta subscript 23 equals open parentheses table row 1 2 3 4 row 1 3 2 4 end table close parentheses equals left parenthesis 23 right parenthesis end style     begin mathsize 14px style delta subscript 12 equals open parentheses table row 1 2 3 4 row 2 1 3 4 end table close parentheses end style

 

 

 

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri