Noțiunea de șir

în această lecție o să discutăm

despre șiruri un șir nu este altceva

decât o listă de numere aranjat

pentru anumită ordine trebuie însă

făcute distincția între un șir

și o mulțime între o mulțime elementele

apar o singură dată și nu contează

ordinea în care sunt scrise în

schimb în Trușești fiecare termen

ocupă un loc bine precizat primul

al doilea termen al treilea și

așa mai departe iar între un șir

este posibil ca un termen să apară

de mai multe ori ia artă în acest

exemplu avem termeni care se repetă

putem să stabilim astfel o relație

de corespondență între mulțimea

numerelor naturale nenule și mulțimea

numerelor reale și să notăm această

funcție Cooper definită pe n stelat

cu valori in R cu F de n egal x

n astfel un șir este o funcție

care Asociază fiecărui număr natural

nenul n o valoare reală pe care

am notată cu x n x n se numește

termenul general al șirului sau

termenul de rang n În exemplul

nostru de mai sus primul termen

este X1 egal cu F de 1 și în cazul

nostru acest termen este 1 al doilea

termen va fi X2 egal cu F de 2

și egal cu 2 al treilea termen

al șirului este X3 adică f de 3

și acesta este egal cu 2 ori mai

scriem încă un termen al patrulea

termen al șirului adică f de 4

este egal cu 3 și așa mai departe

noi vom lucra cu șiruri Infinite

de aceea fiecare termen începând

cu al doilea va avea un succesor

și predecesor succesorul termenului

x n va fi x indice n plus 1 iar

predecesorul acestui termen va

fi x indice n minus 1 Aș vrea să

facem o mică observație Atenție

la notații trebuie făcută distincția

între x indice n plus 1 și x indice

n plus 1 prima notație se referă

la termenul de rang n plus 1 iar

a doua notație se referă la termenul

de rang n la care se adaugă valoarea

1 există mai multe variante de

a nota un șir Haideți să le scriem

de exemplu putem să notăm șirul

x n astfel n număr natural nenul

sau Sau mai simplu xn între două

paranteze rotunde pentru că de

obicei Se subînțelege faptul că

n este număr natural și este suficient

să scriem doar x n în unele cărți

în locul parantezelor rotunde se

folosesc acolade șirurile se pun

nota și cu alte litere a n b n

y m și așa mai departe De obicei

șirurile sunt funcții definite

pe mulțimea numerelor naturale

nenule dar nu este obligatoriu

pentru că putem să avem și termen

de RON zero așa dar unele șiruri

vor fi funcții definite pe mulțimea

numerelor naturale să mai scriem

câteva exemple de șiruri șirul

a n având termenii 1 3 1 3 1 puncte

puncte un alt șir b n unu unu supra

doi unu supra trei unu supra patru

și așa mai departe și un alt șir

c n 0 0 0 8 0 puncte puncte un

astfel de Sheeran Care toți termenii

au aceeași valoare se numește șir

constant și acum Haideți să vedem

Care sunt modurile prin care putem

să definim un șir un prim mod ar

fi prin enumerarea termenilor Deci

șirul este definit descriptiv de

exemplu avem șirul a n 1 4 9 16

25 36 și așa mai departe pot recunoscut

Probabil că este vorba de șirul

pătratelor perfecte șirurile mai

pot fi definite prin regulă de

calcul de exemplu pentru șirul

pătratelor perfecte regula de calcul

pentru termenul de rang n va fi

n la pătrat unde n este un număr

natural mai mare sau egal cu 1

această expresie analitică ne permite

să calculăm orice termen al șirului

pentru Fiat definește o corespondență

între numărul de ordine n al termenului

și termenul corespunzător a&d exemplu

al 15-lea termen al șirului este

a indice 15 și acesta va fi egal

cu 15 la pătrat egal cu 225 această

formulă de calcul sau lege care

definește un șir poate fi exprimată

pe baza unei relații de recurență

adică un termen al șirului se exprimă

în funcție de unul sau mai mulți

termeni precedenți de exemplu dacă

avem șirul x n cu X 0 egal cu 0

X1 egal cu 1 și apoi termenul de

rang n x indice n este egal cu

x indice n minus 1 plus x indice

n minus 2 oricare ar fi n mai mare

sau egal cu doi observăm Așadar

că în acest șir fiecare termen

se obține însumând cei doi termeni

precedenți de exemplu pentru n

egal cu doi avem termenul x 2 egal

cu x indice 2 minus unu adică x

1 plus x indice 2 minus 2 adică

x0 și egal mai departe cu 1 plus

0 egal cu unu apoi X3 va fi egal

cu x 2 plus X1 egal cu 1 plus 1

egal cu 2 și așa mai departe Haideți

acum să enumerăm câțiva termeni

ai cestui șir avem Așadar 0 1 1

2 urmează 1 plus 2 3 2 plus 3 5

3 plus 5 8 5 plus 8 13 și așa mai

departe acesta este Șirul lui Fibonacci

poate că ați auzit deja de acest

șir este foarte interesant și merită

studiat pentru că el se regăsește

peste tot în natură găsiți pe internet

foarte multe lucruri interesante

despre acest șir poate o să fac

și eu cândva un film despre Șirul

lui Fibonacci să vedem mai negociem

Haideți acum să trecem la reprezentarea

grafică a unui șir și vom luăm

Ca exemplu tot șirul pătratelor

perfecte nenule vă plac pătratele

perfecte nu cu un iar plăcea Iată

avem șirul având formula termenului

general a n egal cu n la pătrat

unde n este număr natural mai mare

sau egal cu 1 și avem aici un sistem

de axe ortogonale să nu uităm că

șirurile sunt funcții definite

pe mulțimea numerelor naturale

sau pe n stelat cu valori în R

prin urmare pe axa absciselor o

să avem numere naturale iar pe

axa ordonatelor o să avem valorile

acestor funcții în cazul în care

n este egal cu 1 avem primul termen

al șirului a 1 egal cu 1 la pătrat

Adică 1 Iată aici avem 1 al doilea

termen al șirului este 2 la a doua

4 Aici este 4 al treilea termen

este 9 al patrulea termen al șirului

este 16 A5 este 25 A6 este 36 și

așa mai departe prin urmare reprezentarea

grafică a acestui șir în sistemul

de axe ortogonale este mulțimea

acestor puncte albastre