Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (II)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această secvență vom continua
exercițiile de raționalizarea numitorului
Dar pentru început aș vrea să prezint
câteva formule de calcul prescurtat
pe care le vom aplica în rezolvarea
exercițiilor expresia a la a doua
minus b la a doua se descompune
în factori astfel a minus b pe
lângă a plus b cunoașteți această
formulă încă din clasele mai mici
a treia minus b la a treia se va
Descompune în factori astfel a
minus b pe lângă a la a doua plus
a b plus b la a doua pentru a verifica
acest aspect putem să facem calculele
Haide să desfacem parantezele și
avem a la a treia plus a la a doua
b plus a b la a doua și acum înmulțim
pe b cu fiecare termen din paranteză
și avem minus a la a doua b minus
a b la a doua minus b la a treia
se reduc niște termeni Iată a la
a doua B cu minus a la a doua b
și a b la a doua minus ab la a
doua în final de rămâne a la a
treia minus b la a treia în consecință
formula scrisă Este corectă pentru
a la a patra minus b la a patra
vom avea următoarea descompunere
în factori a minus b pe lângă a
la a treia plus a la a doua b plus
a b la a doua plus b la a treia
Haideți să verificăm Dacă este
corect această formulă desfacem
parantezele și avem ala a patra
plus a la a treia b plus a la a
doua b la a doua plus b la a treia
minus a la 3 la b minus a la a
doua b la a doua minus a b la a
treia minus b la a patra se reduc
termenii a la a treia b minus a
la a treia b avem apoi a la a doua
b la a doua minus a la a doua b
la a doua și ab la a treia minus
ab la a treia în final rămâne a
la a patra minus b la a patra ia
atașa de Artă și această relație
scrisă Este corectă pentru a la
a cincea a minus b la a cincea
vom avea următoarea descompunere
a minus b pe lângă a la a patra
plus a la a treia b plus a la a
doua b la a doua plus b la a treia
plus de la a patra pentru a reține
mai ușor la acest formule Iată
câteva aspecte importante în a
doua paranteză exponenții lui b
cresc Iată aici avem 1 care poate
fi considerat de la zero apoi Bella
întâia b la a doua de la a treia
și Bela a patra exponenții lui
a sunt în ordine descrescătoare
avem ala a patra a la a treia a
la a doua a la 1:01 adică a la
zero și întotdeauna suma exponenților
este 4 în mod asemănător putem
deduce și formula pentru a la 6
minus b la a șasea Mama mea a minus
b pe lângă a la a cincea plus a
la a patra b plus a la a treia
b la a doua plus b la a doua b
la a treia plus a patra plus de
la a cincea și în cazul acesta
expune lui a sunt în ordine descrescătoare
puterile lui b cresc iar suma exponenților
este 5 Haideți acum să scriem descompunerea
în factori pentru expresia a la
n minus b la n Boom avea a minus
b pe lângă a la n minus 1 plus
a la a minus 2 b plus a la minus
3 b la a doua plus puncte puncte
plus penultimul termen va fi a
b la a minus 2 iar ultimul termen
este b la n minus unu acum în cazul
în care avem într un exercițiu
un numitor de forma radical de
ordinul n din A minus radical de
ordinul n din b pentru a elimina
radicali va trebui să această expresie
cu conjugata a astfel încât să
obținem radical de ordinul n din
ei totul la n care este egal cu
a de asemenea radical de ordinul
n din b la n la fiecare b prin
urmare Înmulțind această expresie
cu conjugată a vom obține în final
a minus b și astfel vom reuși să
eliminăm radicalii conjugat aceste
expresii va fi următoarea ne uităm
la Formula scrisă mai sus în cazul
acesta a este radical de ordinul
n din a iar b va fi radical de
ordinul n din b prin urmare conjugată
va fi următoarea radical de ordinul
n din a la n minus 1 plus radical
de ordinul n din a la n minus 2b
radical de ordinul n din a la n
minus 3 b la a doua plus așa mai
departe radical de ordinul n din
a b la n minus 2 plus radical de
ordinul n din b la n minus unu
așa dar atunci când avem numitori
de forma aceasta radical de ordinul
n din A minus radical de ordinul
n din b moment pe fiica ei cu conjugată
acestei expresii care este dată
de relația scrisă în a doua paranteză
și astfel vom reuși să eliminăm
radicalii obținând la numitor a
minus b Haideți acum să vedem cum
vom Descompune în factori expresiile
de formă a la a doua plus b la
a doua a la 3 plus b la a treia
și așa mai departe pentru a la
a doua plus b la a doua nu stema
descompunere în factori Așadar
această expresie nu poate fi descompusă
în factori pentru a la a 3-a plus
b la a treia vom avea următoarea
formulă a plus b pe lângă a la
a doua minus a b plus b la a doua
Haideți să verificăm corectitudinea
acestei relații nu am desface parantezele
și avem ala a treia minus a la
a doua plus b la a doua și acum
înmulțim pe b cu fiecare termen
din a doua paranteză vom avea a
la a doua b minus a b la a doua
plus b la a treia se reduc următorii
termeni minus a la a doua B cu
plus a la a doua b a b la a doua
cu minus a b la a doua prin urmare
ne rămân ala a treia plus b la
a treia Deci formula scrisă Este
corectă pentru a lua a patra a
plus b la a patra nu avem descompunere
în factori ia atașa dar că atunci
când exponenții sunt numere pare
expresiile nu pot fi descompuse
în factori dacă avem ala 5-a plus
b la a cincea această expresie
se va Descompune în factori astfel
a plus b pe lângă a la a patra
minus a la a treia b plus a la
a doua b la a doua minus a b la
a treia plus b la a patra dacă
veți desface parantezele și veți
face calculele Observați că se
vor reduce niște termeni și în
final ne rămâne a la a cincea a
plus b la a cincea să ne uităm
puțin în a doua paranteză observăm
că semnele alternează Deci avem
plus minus plus minus plus de asemenea
observăm că puterile lui b cresc
avem 1 care poate fi considerat
Bella 0 apoi a b la a întâia b
la a doua b la a treia și b la
a patra iar exponenții lui a sunt
în ordine descrescătoare avem a
patra a la a treia a la a doua
a întâia și a la zero în mod asemănător
vom de duce și relația pentru a
la 7 plus b la a șaptea întrucât
pentru el așa se plus b la șasea
nu avem descompunere în factori
și acum să vedem la 7:00 a plus
b la noaptea va fi a plus b pe
lângă a la a șasea minus a la a
cincea B plus a la a patra de la
a doua minus a la a treia de la
a treia plus a la a doua b la a
patra minus 5-a plus de la 6:00
întotdeauna ultimul termen va avea
Semnul plus iar penultima va avea
semnul minus și acum putem să scriem
relația pentru a la n plus b la
n în cazul în care n este număr
impar vom mai avea a plus b pe
lângă a la n minus 1 minus a la
n minus 2 b plus a la a minus 3
b la a doua deci întotdeauna suma
exponenților trebuie să fie n minus
1 minus puncte puncte penultimul
termen va fi a la a minus 2 iar
ultimul termen va fi plus de la
and minus unu în cazul în care
vom avea într un exercițiu un numitor
de formare de cal de ordinul n
din a plus radical de ordinul n
din b va trebui să înmulțim această
expresie cu conjugată a eliminând
astfel radicali și vom obține în
final a plus b pentru că repet
radical de ordinul n din a ridicat
la puterea n este egal cu a și
acum să vedem conjugat acestei
expresii ne uităm la formula de
mai sus iar în loc de ei noi avem
radical de ordinul n din ei prin
urmare radical de ordinul n din
a la n minus 1 minus radical de
ordinul n din a la n minus 2b plus
radical de ordinul n din a la minus
3 b la a doua minus cea mai departe
penultimul termen va fi radical
de ordinul n din a b la n minus
2 iar ultimul termen este radical
de ordinul n din b la n minus 1
să ținem și această formulă care
se va aplica atunci când vom raționaliza
numitorul de forma aceasta radical
de ordinul n din a plus radical
de ordinul n din b aceasta va fi
conjugata iar în final vom elimina
radicalii obținând la numitor a
plus b această formulă se aplică
numai în cazul în care e n este
număr impar Deci n este de forma
2 k plus unu și acum se face un
cont in uare câteva aplicații primul
exercițiu se cere să raționalizăm
numitorul fracției 12 supra radical
de ordinul 3 din 7 minus 1 pentru
a elimina radicalul de la numitor
ar trebui să avem sub radical 7
la a treia Așadar vom folosi următoarea
relație a 3-a minus b la a treia
este egal cu a minus b pe lângă
a la a doua plus a b plus b la
a doua în cazul de față A este
radical de ordinul 3 din 7 iar
b este 1 pentru a obține a la a
treia minus b la a treia trebuie
să amplificăm fracția cu conjugată
aceste expresii iar conjugata este
cea de a doua paranteză Tudor mare
vom amplificat fracția cu următoarea
expresie radical de ordinul 3 din
7 la pătrat plus urmează ab de
radical de ordinul 3 din 7 ori
1 plus b la pătrat adică unul la
pătrat și totul supra radical de
ordinul 3 din 7 minus 1 pe lângă
radical de ordinul 3 din 7 la pătrat
plus radical de ordinul 3 din 7
ori 1 plus 1 la pătrat egal cu
12 pe lângă radical de ordinul
3 din 49 plus radical de ordinul
3 din 7 plus 1 supra la numitor
vom avea a treia minus b la a treia
adică radical de ordinul 3 din
7 ridicat la puterea a treia minus
1 la a treia egal cu 12 pe lângă
radical de ordinul 3 din 49 plus
radical de ordinul 3 din 7 plus
1 supra 7 minus unu șase simplificăm
cu șase și obținem în final 2 pe
lângă radical de ordinul 3 din
49 plus radical de ordinul 3 din
7 plus 1 și ultimul exercițiu se
cere să raționalizăm numitorul
aceste fracții minus 8 supra radical
de ordinul 3 din 5 minus radical
din 3 înainte de a amplifica această
fracție cu conjugată expresie de
la numitor va trebui să aducem
radicali la același ordin observăm
că primul radical este de ordinul
3 iar al doilea radical de este
de ordinul 2 cel mai mic multiplu
comun al numerelor 2 și 3 este
6 așa dar va trebui să amplificăm
radicalii pentru a obține radicali
de ordinul 6 vom avea minus 8 supra
casă obține o radical de ordinul
șase înmulțim cu 2 atât indicele
radicalului cât și exponentul numărului
de sub radical Deci vom avea radical
de ordinul 6 din 5 la a doua și
aici înmulțim cu 3 radical de ordinul
6 din 3 la a treia asta eliminăm
radicalii de la numitori ar trebui
să ridicăm la puterea a șasea fiecare
radical prin urmare vom folosi
următoarea formulă pe care am văzut
o mai devreme a la 6 minus b la
a șasea este egal cu a minus b
pe lângă a la a cincea plus a la
a patra b plus a la a treia b la
a doua plus a la a doua b la a
treia plus abela patra plus de
la cincea În cazul nostru a este
radical de ordinul 6 din 5 la a
doua iar b este radical de ordinul
6 din 3 la a treia prin urmare
noi avem a minus b Deci mai trebuie
să amplificăm fracția cu a doua
paranteză și vom avea egal cu minus
8 pe lângă a la a cincea adică
radical de ordinul 6 din 5 la a
doua totul la a cincea urmează
apoi a la a patra b d c radical
de ordinul 6 din 5 la a doua la
a patra ori b adică radical de
ordinul 6 din 3 la a treia urmează
apoi a la a treia b la a doua deja
dichel de ordinul 6 din 5 la a
doua totul la a treia ori b la
a doua radical de ordinul 6 din
3 la a treia ridicat la a doua
plus a la a doua b la a treia de
radical de ordinul 6 din 5 la a
doua totul la a doua ori radical
de ordinul 6 din 3 la a treia la
a treia Suntem aici Urmează a b
la a patra radical de ordinul 6
din 5 la a doua ori radical de
ordinul 6 din 3 la a treia totul
la a patra și plus b la a cincea
adică radical de ordinul 6 din
3 la a treia totul la a cincea
iar la numitor luăm avea a la 6
minus b la șasea adică radical
de ordinul 6 din 5 la a doua totul
la șasea minus radical de ordinul
6 din 3 la a treia totul la a șasea
egal cu minus 8 pe lângă dar decal
de ordinul 6 din cinci la a zecea
aici înmulțim exponenții plus ai
tu să scriem sub un singur radical
radical de ordinul 6 din cinci
la a opta ori 3 la a treia plus
radical de ordinul 6 din 5 la 2
ori 3 deci 5 la a șasea ori la
fel Avem 3 la a treia totul la
a doua Deci 3 la a 6-a plus radical
de ordinul 6 din 5 la a patra ori
3 la a doua plus radical de ordinul
6 din 5 la a doua ori 3 la a 12-a
Avem 3 la a treia totul la a patra
și plus radical de ordinul 6 din
3 la a 15-a supra 5 la a doua minus
3 la a treia egal cu minus 8 pe
lângă acum vom scoate factorii
de sub radicali acolo unde este
posibil 5 la a zecea este 5:00
la 6:00 ea ori 5 la a patra prin
urmare este un 5 de sub radical
și vom avea cinci radical de ordinul
6 din 5 la a patra plus avem cinci
la a opta care este egal cu 5 la
a șasea ori 5 la a doua Și aici
este un 5 de sub radical și vom
avea cinci radical de ordinul 6
din 5 la a doua ori 3 la a treia
plus Aici este de sub radical atât
5 cât și trei deci vom avea cinci
ori 315 plus 3 la a noua este 3
la 6 ori 3 la a treia De ce avem
trei radical de ordinul 6 din 5
la a patra ori 3 la a treia plus
trei la a este 3 la a doua totul
la a șasea Deci va ieșit de sub
radical 3 la a doua adică 9 radical
de ordinul 6 din 5 la a doua plus
3 la a 15-a înseamnă 3 la a 12-a
ori 3 la a treia Deci va ieșit
de sub radical 3 la a doua 9 radical
de ordinul 6 din 3 la a treia și
totul supra 25 minus 27 minus 2
egal se simplifică minus 8 cu minus
2 și ne rămâne 4 și în continuare
să vedem cea mai putea face putem
de exemplu să mai simplificăm radicalii
și vom avea 4 pe lângă aici simplificăm
cu 2 și ne rămâne radical de ordinul
3 din 5 la a doua plus aici lăsăm
așa sub același radical 5 la a
doua ori 3 la a treia plus 15 plus
copiem și aici 3 radical de ordinul
6 din 5 la a patra ori 3 la a treia
plus aici putem simplifica cu 2
și ne rămâne 9 radical de ordinul
3 din 5 plus 9 ai simplificăm radicalul
cu trei deci rămâne radical de
ordinul 2 din 3 Deci 9 radical
din 3 am răspuns astfel cerinței
exercițiului am reușit să raționalizăm
numitorii cum aceasta ar fi forma
finală Bineînțeles că sub radical
mai putem face calculele însă scopul
acestui exercițiu nu este să învățăm
să efectuăm calculele și să învățăm
operațiile cu radicali de ordin
superior