Problema existenţei primitivelor
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în acest videoclip vom aborda problema
existenței primitivelor avem o
definiție a funcției care admite
primitive pe un interval dar nu
știm dacă există anumite categorii
de funcții adică funcții care au
anumite proprietăți care admit
primitive vom considera următorul
exercițiu avem funcția f definită
pe r cu valori in r f de x egal
cu Eli când x este mai mare sau
egal cu 0 și 2 x plus m Dacă x
este mai mic decât 0 m fiind un
parametru real ce ne propunem este
zodia mea existența primitivelor
funcției f observăm că această
funcție are legea de corespondență
dată pe două ramuri de aceea vom
considera două funcții fiecare
funcție fiind corespunzătoare unei
ramuri a funcției f Deci Considerăm
funcția f 1 definită pe interval
închis 0 plus infinit cu valori
în R f 1 de x egal cu e la X și
funcția f 2 definită pe intervalul
închis minus infinit 0 cu valori
în aer F2 de x egal cu 2x plus
m unde m este un parametru real
funcția f mic 1 admite primitive
pentru că există funcția f mare
1 definită pe 0 plus infinit cu
valori în R f mare 1 d x egal cu
ala x201 unde C1 este un număr
real această funcție aia mare unul
este de fapt o primitivă a funcției
f mic 1 și acum vom chiar verifica
ca esti mare 1s este o primitivă
a funcției f mic 1 adică vom verifica
dacă e f mare 1 este derivabila
pe intervalul închis 0 plus infinit
și e mare unul este derivabilă
pe acest interval pentru că este
o sumă de două funcții elementare
funcția e la x și funcția comm
bele funcții sunt derivabile și
mai mult verificăm și condiția
a doua din definiția unei funcții
care admite primitive S mare 1
de x derivat este egal cu e la
x plus 1 derivat adică este e la
X Ila x fiind egal cu a mic 1 2x
și aceasta acest șir de egalități
este adevărat pentru orice x din
intervalul închis 0 plus infinit
și funcția f mic 2 admită primitivă
și aici arătăm că această funcție
admite primitive punând în evidență
o primitivă a funcției f mic 2
aceasta primitivă va fi f mare
2 definită pe minus infinit 0 primitiva
trebuie să aibă același domeniu
de definiție a funcției cu valori
în R f mare doi de x egal cu x
pătrat plus m x plus C2 unde ai
C2 este o constantă reală verificăm
și pentru f mare doi cele două
condiții pe care o primitivă trebuie
să le îndeplinească prima condiție
F2 derivabila pe domeniul a de
definiție adică pe minus infinit
0 este îndeplinită pentru ca esti
2 este o funcție de gradul al doilea
este Deci o funcție elementară
și este derivabila și condiția
a doua f mare 2 derivat de x trebuie
să fie egală cu a mic 2 de x pentru
orice x dimineață infinit 0 și
această condiție este verificată
pentru că derivata lui x pătrat
plus x plus c 2 este egală cu 2
x plus m iar it 2 este tocmai 2x
plus acest șir de egalități este
adevărat pentru orice x din intervalul
minus infinit 0 Deci până la acest
moment am arătat că cele două funcții
F1 și F2 care sunt de fapt cele
două ramuri din legea de corespondență
a funcției f admite fiecare din
ele primitivă am arătat că cele
două funcții admiri primitive punând
în evidență o primitivă a fiecărei
funcții și am verificat că această
primitivă chiar verifică cele două
condiții din definiția primitivei
un iPhone xi putem deduce din ceea
ce am obținut până acum că dacă
e mic admiterii mai tipa Atunci
primitiva trebuie să aibă această
formă prima ramura trebuia să fie
o primitivă a funcției f mic unu
și a doua ramură trebuie să fie
o primitivă a e f mic 2 C1 și C2
fiind ambele constante reale pentru
ca f mare să fie o primitivă a
funcției f mic trebuie să ia să
verifice cele două condiții din
definiția primitivei unei funcții
adică f mare trebuie să fie derivabilă
pe și f mare derivat de x egal
cu F mic de x pentru orice x din
r pentru că e mare 1 este o primitivă
a funcției f mic 1 și f mare 2
este o primitivă a e f mic 2 înseamnă
că de fapt e f mare verifică cele
două condiții pentru x aparținând
lui r stelat sau pentru xx ferit
de 0 Deci ambele condiții așa e
pe iPhone verificată pentru orice
x din asta la dar și în română
să verificăm cele două condiții
a și b în egal cu zero prima condiție
este derivabilă în 0 presupune
de fapt verificarea a doua aspecte
În primul rând știind că dacă o
funcție este derivabilă într un
punct Atunci trebuie să fie continua
nasol punct Deci vom verifica continuitatea
lui f în zero ai fost ai continua
în Zărand Dacă și numai dacă limitele
laterale în 0 sunt egale cu valoarea
funcției în 0 limita la stânga
lui 0 din fdx se calculează după
a doua ramura legii de corespondență
pentru că x este mai mic decât
0 și atunci această limită va fi
egală cu zero plus zero plus Si
2 adică ce 2 limita la dreapta
lui 0 se calculează după prima
ramura a funcției f mare și această
limită va fi egală cu el la zero
plus si unul adică unul plus c
1 care este egală și cu FD 0 pentru
că este 0 se calculează după aceeași
lege de corespondență aici avem
egalitatea Deci pentru ca funcția
să fie continuă în 0 este necesar
ca unul plus c 1 să fie egale cu
Shadow el înseamnă că nu mai are
rost să păstrăm cele două constantă
vom nota Constanta c1 cu în aceste
condiții C2 va fi egal cu 1 plus
c și atunci puteam Rescrie legea
de corespondență a funcției f mare
de X3 fiind egală cu Ila x plus
c când e mai mare sau egal cu 0
și x pătrat plus x plus 1 plus
făcând x mai mic decât 0 orice
fiind o constantă reală funcție
este derivabilă însă rog daca derivate
la dreapta lui 0 este egală cu
derivate la stânga lui Zorro derivate
la dreapta lui 0 este de fapt derivată
funcției 1 derivată funcției F1
este Eli atunci când x tinde la
0 la X va fi egală cu a la z.ro
care este 1 derivate la stânga
lui 0 este de fapt egală cu F2
de rai adică 2 x plus m și atunci
când x tinde la 0 derivate la stânga
lui Zorro este 2.0 plus m adică
pentru că cele două derivate trebuie
să fie egal ne apare necesitatea
ca m să fie egal cu 1 Mai avem
de verificat condiții apă pentru
x egal cu zero Adică trebuie să
verificăm Dacă F derivat în țară
este egal cu F de 0 f de 0 îl calculăm
conform legii de corespondență
a lui ef adică este e la puterea
0 care este 1 iar pentru ca derivata
în 0 este egală cu derivata la
stânga lui 0 și derivate la dreapta
lui 0 înseamnă că este conform
celor de mai sus este egală tot
cu o1 Deci condiții avea este verificată
în concluzie Dacă m egal cu 1 smyk
mai trimiti verși o primitivă a
funcției f d este funcția f mare
definită pe r cu valori în R f
de x egal cu a la X Plus second
x mai mare sau egal cu 0 și x pătrat
plus x plus 1 plus c când x este
mai mic decât 0 și ce Evident este
o constantă reală iar dacă m este
diferit de unu e mic nu admite
primitive observăm că pentru m
egal cu 1 funcția f definită pe
r cu valori în R va avea legea
de corespondență este x egal cu
Ila x Daca x mai mare sau egal
cu 0 și 2 x plus 1 dacă x mai mic
decât 0 această funcție este o
funcție continua pe aer pentru
că este o funcție elementară la
dreapta lui 0 o funcție elementară
la stânga lui 0 iar în 0 limita
la stânga este unul limita la dreapta
este 1 și valoarea funcției este
tot un om Deci pentru m egal cu
1 f este o funcție continua pe
aer și admite primitive mai general
are loc urmatorul rezultat orice
funcție f definită pe r cu valori
în aer continuă pe e admite primitive
pe intervalul pentru m diferit
de 1 funcția f definită pe r cu
valori în aer are legea de corespondență
e la X când x mai mare sau egal
cu 0 și 2 x plus m când x mai mic
decât 0 și MN este din R minus
elementul 1 funcția f are un punct
de discontinuitate de speță întâi
acela este x egal cu zero verificat
singuri acest lucru și funcția
f nu admite primitive pe r mai
general are loc urmatorul rezultat
dacă o funcție f definită pe un
interval e cu valori în R are discontinuități
de speță a t e pe e atunci funcția
f nu admite primitive pe știm că
o funcție care are discontinuități
despre Sante nu are proprietatea
lui darboux reamintiți văd ce înseamnă
că o funcție are proprietatea lui
darboux având în vedere Acest rezultat
Adică dacă e f definită pe e cu
valori în R are discontinuități
respecți alte fete unci f nu admite
primitive pe Și faptul că o funcție
care are puncte de discontinuitate
de speță 1 are proprietatea lui
darboux putem formula următorul
enunț dacă e f o funcție care este
definită pe e cu valori în R nu
are proprietatea lui darboux e
atunci f nu are primitive