Proporţii.

proporții Să presupunem că avem

două rapoarte primul raport este

1 supra 5 iar al doilea raport

este 2 supra 10 dar perfectum împărțirile

1 supra 5 este egal cu 0 iar 2 supra

10 este egal tot cu 0 înseamnă că

aceste două rapoarte sunt egale

deci putem pune între ele semnul

Egalității o astfel de egalitate

de două rapoarte se numește proporție

Fiind dată proporția a supra b

egal cu c supra D numerele a b

c și d se numesc termenii proporției

mai exact a și b se numesc extremi

iar b și c se numesc mezi proporțiile

au o proprietate fundamentală și

anume între o proporție produsul

mezilor este egal cu produsul extremilor

să facem și un exemplu Ca să verificăm

acest aspect Să presupunem că avem

proporția 3 supra 4 egal cu 6 supra

8 să verificăm dacă are loc această

egalitate și anume 3 ori 8 egal

cu 4 ori 6 3 ori 8 este 24 46 este

24 observăm Așadar că este adevărată

această proprietate și a se aplică

oricărei proporții dacă ne uităm

la această proporție observăm că

al doilea raport sau obținut din

primul raport prin amplificare

cu 2 în general putem obține rapoarte

egale prin amplificare și simplificare

cu un număr în continuare o să

discutăm despre proporții derivate

Fiind dată proporția a supra b

egal cu c supra D atunci putem

scrie proprietatea fundamentală

a acesteia și anume aur b sau a

d egal cu b ori c sau b c doyle

să aflăm alte proporții având aceeași

termeni cu proporția dată știind

că înmulțirea este comutativă și

atunci produsul b orice se mai

poate scrie și c ori b sau c b

mai exact obținem relația ad egal

cu CB dar această relație va duce

la următoarea proporție a supra

c egal cu b supra 2 observăm Așadar

că e o proporție dacă schimbăm

locul mediilor între ei adică locul

termenilor b și c obținem o nouă

proporție având aceeași termeni

cu proporția dată revenind la proprietatea

fundamentală a proporției date

a d egal cu b c atunci în cazul

factorilor ad putem aplica comutativitatea

înmulțirii și vom scrie de ori

a sau de a acest lucru este echivalent

cu faptul că de a egal cu b c dar

această relație ne duce la o nouă

proporție și anume de egal cu c

supra a observăm că și dacă schimbăm

locul extremilor între ei obținem

o nouă proporție Dacă AD este egal

cu bc atunci Cu siguranță și BC

este egal cu ad adică putem inversa

locul acestor termeni această relație

va duce la următoarea proporție

de supra a egal cu b supra c observăm

că dacă inversăm rapoartele obținem

de asemenea o nouă proporție aceste

trei proporții obținute se numesc

proporții derivate cu aceeași termeni

Deoarece ele au aceeași termeni

ca și proporția inițială de la

care am pornit să vedem dacă putem

obține proporții derivate din aceasta

dar având alți termeni o să mai

scriem din nou propoziția dată

a supra b egal cu c supra D și

proprietatea fundamentală acesteia

a d egal cu b c ne propunem să

calculăm valoarea raportului a

plus b supra b Revenim la aceasta

egalitate deoarece a d este egal

cu b c Putem să scriem egal mai

departe cu un număr oarecare k

atunci Ade va fi egal cu k și BC

va fi egal cu k prima relație o

să o împărțim la de adică a mai

membri ai relației îi împărțim

la de și vom obține a egal cu k

supra D a doua relație o să o împărțim

membru cu membru la numărul c și

obținem b egal cu k supra c Revenim

la raportul pe care dorim să calculăm

iar în loc de a mă îmi scrie k

supra d și luăm de B vom scrie

că apa supra c atunci a plus b

supra b va fi egal cu k supra D

plus apa supra c totul supra apa

supra c pentru a aduna aceste două

fracții trebuie să le aducem la

numitor comun numitorul comun va

fi produsul celor doi numitori

adică ce oră de prima fracție o

so amplificăm Cu ce iar a doua

fracție o să amplificăm cu d și

vom obține egal cu c apa supra

CD plus dk supra CD și totul supra

ca apa supra c egal mai departe

Cu ce k plus d k supra CD și totul

supra k supra c aici avem o fracție

supraetajată și putem ține cont

de faptul că această linie de fracție

înseamnă împărțire și atunci această

fracție supraetajată se poate scrie

Si k plus dk supra CD împărțit

la cea de a doua fracție la cap

asupra c egal mai departe aici

putem da factor comun pe k și obținem

k pe lângă c plus D supra CD ori

si supra k această diagonală putem

să simplificăm cu ce iar pe cealaltă

diagonală putem să simplificăm

o k și vom obține egal cu c plus

D supra D așadar am pornit de la

acest raport a plus b supra b și

am ajuns la c plus D supra de adică

putem obține următoarea proporție

a plus b supra b egal cu c plus

D supra D Aceasta este o nouă proporție

derivată din prima proporție dar

ea este cu alți termeni și atunci

observăm că pornind de la o proporție

dată a supra b egal cu c supra

D putem obține o nouă proporție

Dacă adunăm numitorii la numărători

în mod Analog se pot obține o serie

de alte proporții derivate nu o

să le demonstrezi pe toate însă

putem să le evidențiem Într o schemă

cea din mijloc este proporția principală

cele trei din stânga sunt proporțiile

derivate cu aceeași termeni pe

care le am demonstrat iar celelalte

sunt proporții derivate cu alți

termeni Noi am demonstrat proporția

aceasta în cazul adunării ia se

verifică și în cazul scăderii de

asemenea putem obține proporții

derivate și dacă adunăm numărătorii

la numitori sau dacă Înmulțim un

raport cu un număr dat k Așadar

toate acestea sunt proporții derivate

ele se pot aplica în exercițiile

următoare nu o să le mai demonstrez

pe fiecare în parte în cazul proporție

pe care deja am demonstrat o să

dăm și un exemplu Să presupunem

că avem proporția 2 supra 3 egal

cu 6 supra 9 să încercăm să obținem

o proporție derivată folosind această

proprietate și anume adunând numitorii

la numărători obținem atunci proporția

2 plus 3 supra 3 egal cu 6 plus

9 supra 9 adică 5 supra 3 egal

cu 15 supra 9 Aceasta este o nouă

proporție obținută din prima proporție

Prin adunarea numitorilor la numărători

să vedem dacă se respectă proprietatea

fundamentală este 45 și trei ori

15 este 45 Așadar se respectă și

proprietatea fundamentală a proporțiilor