Proprietățile logaritmilor (teorie)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această lecție vom discuta despre
proprietățile logaritmilor prima
proprietate se referă la logaritmul
unui produs acesta este egal cu
suma logaritmilor factorilor Așadar
logaritm în bază a din x ori y
este egal cu logaritm în bază a
din x plus logaritm în bază a din
y cu a la puterea Betta egal în
continuare cu a la puterea Alfa
plus Beta atunci când înmulțim
două puteri cu aceeași bază exponenții
se adună și acum vom calcula logaritm
în bază a din x ori y obținem logaritm
în bază a în loc de x ori y avem
a la puterea Alfa plus Beta am
văzut în lecția trecută că atunci
când avem logaritmul unei puteri
a bazei acesta este egal cu exponentul
puterii mai exact are loc formula
logaritm în bază a din a la n este
egal cu n aplicăm și aici această
formulă și obținem rezultatul Alfa
plus Beta dar Alfa este logaritm
în bază a din x iar b ca este logaritmul
în baza a din y logaritm în bază
a din x supra y este egal cu logaritm
în bază a din x minus logaritm
în bază a din y Alpha minus Beta
acum calcula logaritm în bază a
din x supra y și avem logaritm
în bază a în loc de x supra y avem
a la puterea Elsei minus Beta avem
din nou logaritmul unei puteri
a bazei acesta este egal cu exponentul
puterii Așadar cu alfa minus Beta
Alfa este logaritm în bază a din
x iar Betta era logaritm în bază
a din y pentru a demonstra această
proprietate voi nota cu alfa logaritm
în bază a din x rezultă a la puterea
Alfa egal cu x și acum Voi calcula
x la puterea n acesta va fi egal
cu a la Alfa totul la n egal cu
a la Alfa and și acum calculăm
logaritm în bază a din x la n egal
cu logaritm în bază a din a la
Alfa n egal în continuare cu alfa
n sau cu a Noriel Fă dar altfel
era logaritm în bază a din x am
demonstrat astfel și a treia proprietate
logaritm în bază a din x la n este
egal cu n logaritm în bază a din
x a patra proprietate se referă
la schimbarea bazei logaritmilor
De ce le mai multe ori în practică
se folosesc logaritmi zecimali
de exemplu în astronomie pentru
a calcula strălucirea unei stele
se folosește logaritmul zecimal
al energiei de radiație și atunci
apare necesitatea schimbării bazei
logaritmului în continuare vom
demonstra formula cu ajutorul căreia
exprimă logaritm în baza am al
unui număr x în funcție de logaritmul
să intru altă bază b are loc formula
logaritm în bază a din x egal cu
logaritm în bază b din x înmulțit
cu logaritm în bază a din b demonstrație
notez cu Beta logaritm în bază
b din x și cu gama logaritm în
bază a din b Deci logaritm în baza
b din x este beton de aici va rezulta
că b la puterea b a este egal cu
x sau x egal cu b la puterea Betta
iar logaritm în bază a din b este
egal ma prin urmare b este egal
cu a la puterea gama din aceste
două relații obținem că x este
egal în locul lui b voi scrie Allah
da ma și totul la Beta egal în
continuare cu a la puterea gama
Betta dacă x este egal cu a la
puterea dama beton atunci conform
definiție logaritmului are loc
relația logaritm în bază a din
x este egal cu gama Beta În consecință
am demonstrat că logaritm în bază
a din x este egal cu gama Betta
sau Beta Gamma adică logaritm în
baza ab din x înmulțit cu logaritm
în bază a din b Deci proprietatea
numărului 4 este demonstrată în
cazul în care x este egal cu a
atunci această relație se va scrie
logaritm în bază a din a este egal
cu logaritm în bază bedinei ori
logaritm în bază a din b în bază
a din a este 1 și avem 1 egal cu
logaritm în bază b din a ori logaritm
în bază a din b de aici rezultă
că logaritm în bază a din b este
egal cu 1 supra logaritm în baza
b din a este bine să rețineți și
această formulă acum înlocuind
logaritm în bază a din b în această
relație se obține următoarea formulă
din 1 și 2 rezultă că logaritm
în bază a din x este egal cu logaritm
în bază b din x ori logaritm în
bază a din b dar logaritm în bază
a din b este 1 supra logaritm în
baza b din a așa doar Putem să
scriem supra logaritm în bază a
din a Aceasta este o altă formulă
de schimbare a bazei logaritmului
pe aceasta o Vom folosi în rezolvarea
exercițiilor deoarece este mai
ușor de reținut având în vedere
că avem un raport de 2 logaritmi
cu aceeași bază Iată la numărător
avem logaritm în bază b iar la
numitor avem de asemenea un logaritm
în baza b pentru a reține mai ușor
argumentul logaritmilor Iată un
mic indiciu acest număr x este
scris puțin mai sus așa dar el
va fi argumentul logaritmului de
la numărător iar numărul a este
scris puțin mai jos în consecință
acesta va fi argumentul logaritmului
de la numitor acesta a fost doar
un mic indiciu pentru a reține
mai ușor această formulă Haideți
în continuare să facem un exemplu
vom calcula logaritm în bază 3
din 12 pentru aceasta vom face
trecerea de la logaritmul în baza
3 la logaritmul în baza 10 folosind
formula de mai sus și avem logaritm
în bază 10 din 12 adică logaritm
zecimal din 12 supra logaritm zecimal
din 3 există două baze cu care
lucrează calculatoarele științifice
baza 10 și bază e așa dar atunci
când dorim să calculăm logaritm
în bază 3 din 12 cu ajutorul calculatorului
de buzunar nu putem face acest
lucru în mod direct va trebui mai
întâi să trecem logaritmul din
baza 3 și într un lung ritm în
baza 10 și a folosit logaritmi
naturali Haideți să vedem cum funcționează
bănuiesc că ați folosit cu toții
până acum un calculator științific
observăm că acesta are doar două
butoane pentru logaritm acesta
este logaritmul zecimal adică logaritmul
cu baza 10 iar acesta este logaritmul
natural având baza numărul e pentru
a verifica că acesta este întradevăr
logaritmul zecimal putem să facem
un mic test de exemplu logaritm
zecimal din 100 ar trebui să fie
egal cu 2 pentru că 10 la a doua
este 100 Haideți să verificăm Iată
întradevăr logaritm zecimal din
100 este egal cu 2 iar acum pentru
a calcula logaritm în bază 3 din
12 mai întâi vom calcula logaritm
zecimal din 12 Iată vom considera
doar primele patru zecimale avem
Așadar 1 nouă unu iar acum trebuie
să calculăm logaritm zecimal din
3 avem 0 771 acum pentru a calcula
logaritm în bază 3 din 12 trebuie
să facem raportul celor două valori
obținute 1 nouă unu împărțit la
0 virgulă 477 1 și obținem aproximativ
2 putem să facem proba Ca să verificăm
ar trebui ca numărul 3 ridicat
la această putere să ne dea 12
nu vom obține exact valoarea 12:00
pentru că am folosit doar patru
zecimale dar o să obținem o valoare
foarte apropiată de 12 Iată trei
ridicat la puterea 2 unu șapte este
egal cu 11 cu cât folosim mai multe
zecimale cu atât Rezultatul este
mai exact în continuare să mai
vedem o ultima formula logaritmică
logaritm în bază a la n din x este
egal cu 1 supra n ori logaritm
în bază a din x pentru a demonstra
această proprietate vom folosi
formula de schimbare a bazei logaritmilor
logaritm în bază a la n din x se
va scrie în funcție de logaritm
în bază a astfel avem logaritm
în bază a din x supra logaritm
în bază a din a la n a făcut așa
dar trecerea de la baza a la n
la baza a folosind proprietatea
numărul 4 egal cu logaritm în bază
a din x logaritmul unei puteri
a bazei este egal cu exponentul
puterii așa dar la numitor obținem
n egal în continuare cu 1 supra
n înmulțit cu logaritm în bază
a din x așa dar am demonstrat și
formula logaritmică în clipurile
următoare vom face calcule cu logaritmi
Aplicând proprietățile învățate
în această lecție