Proprietăţile mişcării oscilatorii armonice. Pendulul gravitaţional.
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în chenar doua lecții de oscilații
și unde mecanice vom discuta despre
proprietățile mișcării oscilatorii
armonice mișcare oscilatorie armonică
a fost ă de finită în lecția precedentă
să începem cu discuția despre defazajul
mărimilor ce descriu mișcarea oscilatorie
armonica după cum am văzut în lecția
trecută elongația are următoarea
formă sinusoidală o amplitudine
înmulțită cu sinus din vinde un
argument Care este egal cu pulsația
înmulțită cu timpul și adunată
cu o fază inițială dacă facem diagrama
fazorială aceste oscilații armonice
în care fiecărei mărimi atașăm
în Vector rotitor cu magnitudinea
egală cu amplitudinea funcției
Sunt Soy Dale și unghiul față de
axa x egală cu argument funcției
obținem pentru elongație următoarea
reprezentare Deci aceasta este
diagrama fazorială dacă doriți
să revedeți noțiunile de bază despre
diagrama fazorială vă invit să
revedeți lecțiile de curent alternativ
în care am definiții discutat diagrama
fazorială dar pe scurt fiecărei
mărimi sinusoidale pe Cum precum
aceasta elongații se atașează un
Vector care se rotește în planul
o x si y în planul ecranului care
are magnitudine constantă egală
cu amplitudinea oscilații și vectorul
care este egal cu argumentul omegat
a dacă există o fază inițială nenulă
plus Această fază fie 0 chestie
sta fazorul pentru elongație dacă
luăm în considerare ecuația pentru
viteză pe care am găsit o în lecția
trecută și anume viteza ca funcție
de timp este Omega cosinus de aceeași
fază totală putem să urez scriem
în formă următoare Omega sinus
de argumentul omega-3 plus 0 plus
2 pe 2 unde am folosit relația
trigonometrică cosinus de Alfa
este egal cu sinus de Alfa plus
piept 2 în felul acesta putem să
Reprezentăm fazorul pentru viteză
în aceeași diagramă fazorială și
obținem următorul fazor Deci un
fazor ce se rotește În cercul verde
întrerupt cu magnitudinea Omega
și unghiul omega-3 plus si 0 Deci
același argument ca și elongația
dar defazat în față cu piept de
radiani sau 90 de grade făcând
același lucru cu accelerația mișcării
oscilatorii armonice putem scrie
Ecuația a care a fost găsită în
lecția trecută deci accelerația
este minus Omega pătrat a sinus
de omega-3 plus fie zero pentru
a găsi o formă similară Adică o
magnitudine muncită cu un sinus
de un anumit argument trebuie să
absorbim cumva acest semn enis
în funcția cynus și folosim o altă
identitate trigonometrică care
spune că a minus sinus de Alfa
este egal cu sinus de Alfa plus
radiani și aceasta este ecuația
care obține ceea ce ne permite
să Reprezentăm fazorul accelerației
în aceeași diagrama fazorială Deci
cu roșu Vedeți fazorul accelerației
care se rotește în cercul de culoare
roșie și cu linie întreruptă și
care se află defazat în față Față
de Lunga e cu pira de ani sau 180
de grade Deci acești trei vectori
se rotesc împreună în acest plan
moxe cu viteza Omega ten plus eventual
și 0 dacă este diferit de zero
iar viteza este defazat în față
Față de axa față de irigație cu
90 de grade accelerația cu 180
de grade dacă Reprezentăm grafic
aceste trei funcții obținem această
reprezentare grafică Deci ca funcție
de timp avem cu albastru elongația
care are o magnitudine a cu verde
viteza care are o magnitudine Omega
ei și cu roșu accelerația care
are o magnitudine Omega pătrat
a și vedem putem vedea și din această
reprezentare grafică defazajul
dintre de faza jele dintre aceste
trei mărimi adică pur și simplu
luăm punctul de maxim al uneia
dintre ele și punctul de maximă
celelalte Spre exemplu primul maxim
al elongația este aici la această
valoare temporală iar primul maxim
al vitezei este în această în acest
punct și putem vedea că diferența
dintre ele este de tip 2 de fazani
jule unghiulare sunt echivalente
cu defazaj temporale pentru că
avem relația generală Delta t împărțit
la 3 este egal cu Delta fi împărțit
la 2 pi pentru că la un la un unghi
Delta fii care corespunde unui
unghi de el tot m putem face asociația
cu unghiul total al cercului care
este 2 pini care corespunde o perioadă
un timp egal cu perioada de rotație
tcc Este o regulă de 3 simpla si
Aplicând această regulă această
ecuație putem scrie că defazajul
viteză elongație care este egal
cu 90 de grade corespunde unui
defazaj temporal între viteză și
elongații egală cu un sfert de
perioadă la fel defazajul dintre
accelerație și elongație care este
egal cu 180 de grade corespunde
unui de faza și temporal de jumătate
de perioadă CC din nou se vede
din acest grafic de faza cele temporale
se vede din acest grafic o perioadă
Spre exemplu pentru elongație este
o întreagă oscilații pozitivă plus
una negativă Deci Aceasta este
o perioadă a lui y de tei În graficul
pe care o vedeți trecem la conservarea
energiei în mișcare oscilatorie
armonică energia mecanică totală
a oscilatorului armonic este bineînțeles
numai energiei cinetice și ai energiei
potențiale dată de deformare elastica
asta înseamnă că energia cinetică
care prin definiție este mv pătrat
pe 2 poate fi scrisă în formă aceasta
unde pur și simplu am înlocuit
formula pentru viteza pe care am
dat în minutele precedente energia
potențială este prin definiție
unul pe 2 cai pătrat aceasta este
energia potențială a unui Resort
produs de cineva potențială produsă
de o forță elastică a fost demonstrată
în lecțiile de legi de conservare
în mecanică această formulă Și
de ce înlocuim forța ecuația pentru
elongația y în această ecuație
și obținem formă pentru un oscilator
armonic dacă le combinăm putem
obține ecuația pentru energia totală
în care am ținut cont de faptul
că pentru un oscilator armonic
ca este egal cu m Omega pătrat
Deci ca fiind egal cu m Omega pătrat
putem vedea că aceste două cantități
și anume energia cinetică maximă
și energia potențială maximă sunt
egale între ele datorită acestei
relații și atunci când adunăm datorită
faptului că cosinus pătrat de un
unghi plus sinus pătrat de unui
unghi este 1 Deci Prin adunarea
acestei acești factori sinusoidale
dispar și obținem că energia totală
este m Omega pătrat la pătrat pe
2 dacă Reprezentăm grafic aceste
energie energia cinetică energia
potențială și energia totală obținem
ca funcție de timp bineînțeles
obținem această dependență în primul
rând energia totală este independentă
de timp ceea ce vedem cu roșu aici
iar energiile cinetice și potențiale
au acestei dependențe periodice
dar în contratimp ceea ce înseamnă
că energia cinetică se transformă
în energie potențială și invers
Pe măsură ce una crește cealaltă
scade și fac această cu aceeași
cantitate Deci cantitatea cu care
crește una scade cealaltă și invers
aceasta este natura oscilatorie
a unui oscilator armonic energia
cinetică maximă energia potențială
maximă și energia totală sunt egali
se vede foarte simplu din din acest
grafic când energia potențială
ajunge la maxim ea devine egal
cu energia totală și cu energia
cinetică ajunge la maxim Ia devin
egale cu energia total deci putem
scrie că mergea cinetică plus energia
potențială e sunt egale cu energia
cinetică maximă și sunt egale de
asemeni cu energia potențială maximă
sunt egale cu energia totală să
trecem la un exemplu practic un
alt exemplu practic de oscilatie
armonic și anume pendulul gravitațional
pentru gravitațional este un corp
punctiform de masă M suspendat
de un fir inextensibil fără masă
și cu lungimea l Deci Să considerăm
un perete un tavan de care este
atârnat un fir la capătul căreia
avem un corp de masă M firul are
lungimea l și bineînțeles că asupra
corpului va acționa forța de greutate
G notăm cu alfa unghiul format
la moment dat de fier cu verticala
acestui unghi va fi format de asemeni
în între fir și greutate o a doua
forță care apare în problema este
tensiunea din fir și bineînțeles
sub acțiunea sub acțiunea forței
tangențiale ale greutății sub acțiunea
greutății tangențiale Deci aceasta
este GT sub acțiunea lui GT șirul
și corpul pendulul întregului va
efectua o mișcare oscilatorie în
jurul verticale elongația aceste
mișcări oscilatorie este distanța
dintre poziția la un moment dat
și poziția de echilibru Deci acest
pe arc pe arcul de scris de corpul
cu masa m este elongația Haide
să notăm cu X distanța dintre corp
la acest moment dat a și vertical
Bineînțeles că putem porni și pornim
prin scrierea ecuației fundamentale
a dinamicii și anume că masa ori
accelerația este egală cu suma
vectorială a forțelor ce acționează
asupra corpului în cazul nostru
greutatea și tensiunea pentru a
rezolva după cum a făcut de foarte
multe ori în problemele de dinamică
alegem un sistem de coordonate
în cazul acesta sistemul cel mai
convenabil ar fi unul cu oxigen
Dicu Lara pe fir de ce alegem acest
sistem de coordonate o x y și proiectăm
această ecuație pe cele două axe
pe o x vom obținem m a este egal
cu minus mg sinus de Alfa Deci
dacă vreți m a s egal cu GT accelerația
corpului se datorează aceste forțe
tangențiale tangente iar pe o y
cu obținem ecuația pentru tensiunea
din fir t este egal cu g cosinus
de Alfa adică mg cosinus de apă
reținem numai această ecuație și
în cazul unghiurilor mici despre
la limita lui unghiurilor mici
putem scrie că x este aproximativ
egale cu x y Adică că elongația
mișcării oscilatorii care din noi
este de a lungul curbei descrisă
de corp este aproximativ egală
cu distanța dintre corp și verticală
bineînțeles acest lucru este valabil
pentru încât nici sub 5 grade în
acest caz din această ecuație obținem
următorului m a b c este egal cu
MC sinus dar ținuți de Alfa este
egal cu x pe el din acest triunghi
de sinus de Alfa este egal cu x
împărțit la el dar cum am spus
în limita unghiurilor mici x devine
aproximativ egal cu y și deci putem
scrie că m a este aproximativ egal
cu minus m g y pe el în acest caz
Deci forța tangentă care mișcă
corpul în această mișcare oscilatorie
are forma unei forțe elastice nu
este o forță elastică Evident este
proiecția greutății dar este o
constantă înmulțit cu elongația
în concluzie obținem o mișcare
oscilatorie armonică în acest caz
a cărei constantei este mg împărțit
la el în concluzie putem scrie
că Omega pătrat este egal cu GPL
am am folosit ecuația pentru o
și la torul armonic ca este egal
cu m Omega pătrat și Deci Omega
pătrat pulsația la pătrat pentru
această mișcare armonică uși armonică
este GPL în cu plazie putem scrie
perioada acestei mișcări oscilatorii
armonice te este egal cu 2 pi împărțit
la pulsații și DC egal cu 2 pe
radical din l lungimea firului
lungimea pendulului împărțit la
Constanța gravitațională în concluzie
la în limita unghiurilor mici această
greutate tangentă la mișcarea oscilatorie
are forma unei forțe elastice caz
în care mișcarea oscilatorie devine
o mișcare oscilatorie armonică
a cărei pulsații pulsații este
dată de această formulă și perioadă
de această formulă