Relații între funcții trigonometrice ale unui unghi

în această lecție o să deducem

formula fundamentală a trigonometriei

apoi o să vedem câteva formule

trigonometrice pentru unghiurile

complementare urmând ca în partea

a doua a clipului Să demonstrăm

câteva relații între funcțiile

trigonometrice ale unui unghi avem

triunghiul dreptunghic ABC și am

notat măsura unghiului b cu x atunci

o să avem sinus de x este egal

cu b supra a la patru dintre cateta

opusă și ipotenuză cosinus de x

este c supra a tangentă de x este

b supra c iar cotangentă de x este

c supra b dacă ridicăm la pătrat

primele două relații și ransom

o să obținem că sinus pătrat de

x plus cosinus pătrat de x este

egal cu b supra a totul la pătrat

plus c supra a totul la pătrat

egal mai departe cu b pătrat plus

c pătrat supra a pătrat dar b pătrat

plus c pătrat este egal cu a la

pătrat conform teoremei lui Pitagora

acum se simplifică a pătrat cu

a pătrat și ne rămâne unul așa

dar am obținut relația ținut pătrat

de x plus cosinus pătrat de x este

egal cu 1 iar aceasta este formula

fundamentală a trigonometriei să

vedem în continuare câteva formule

trigonometrice pentru unghiurile

complementare observăm că unghiurile

b și c sunt complementare Deci

măsura unghiului b plus măsura

unghiului c este egală cu pi supra

2 radiani de aici obținem că c

este egal cu pi supra 2 minus x

sinusul unghiului c este cateta

opusă supra ipotenuză adică ce

supra a Dar ce supra a este cosinus

de x prin urmare sinus de pi supra

2 minus x egal cu cosinus de x

dacă vrem să exprimăm acum cosinusul

unghiului c acesta va fi egal cu

b supra a dar b supra a este sinus

de x prin urmare cosinus de pi

supra 2 minus x va fi egal cu sinus

de x aceste formule sunt valabile

pentru orice x număr real de asemenea

putem să exprimăm și tangenta cotangenta

tangenta unghiului si va fi raportul

dintre cateta opusă și cateta alăturată

unghiului c Adică o să avem c supra

b Deci tangentă de ce este egal

cu c supra b dar c supra b este

cotangentă de x prin urmare tangentă

de pi supra 2 minus x este egal

cu cotangentă de x de asemenea

putem exprimat și cotangenta unghiului

c vom obține b supra c iar b supra

c este tangentă de x Așadar o tangentă

de pi supra 2 minus x este egal

cu tangentă de x prima relație

are loc pentru orice x real diferit

de Capi Deci fără multiplii întregi

de pai iar a doua relație are loc

pentru orice x real dar x trebuie

să fie diferit de 2k plus 1 supra

2 tangenta există atunci când x

ia valori reale dar fără multipli

impari de pi supra 2 acestea sunt

formulele trigonometrice pentru

unghiurile complementare pe care

este bine să le rețineți iar în

continuare O să stabilim câteva

relații între funcțiile trigonometrice

ale aceluiași unghi mă știți deja

că tangentă de x este sinus de

x supra cosinus de x cotangentă

este raportul dintre cosinus și

sinus și atunci putem să deducem

că tangentă de x este 1 supra cotangentă

iar cotangentă de x va fi egal

cu 1 supra tangentă de x în continuare

ne propunem să găsim câteva formule

pentru a exprima sinus de x în

funcție de cosinus tangentă și

cotangentă și exerciții în care

ni se dă de exemplu tangenta unghi

și trebuie să aflăm sinusul apoi

vom stabili câteva formule pentru

a exprima cosinus în funcție de

sinus tangentă și cotangentă apoi

tangenta în funcție de sinus cosinus

și cotangentă și cotangentă de

x în funcție de sinus cosinus și

tangentă de x pentru a exprima

sinus de x în funcție de cosinus

o să pornim de la Formula fundamentală

a trigonometriei știind că sinus

pătrat de x plus cosinus pătrat

de x este egal cu 1 atunci sinus

pătrat de x va fi egal cu 1 minus

cosinus pătrat de x Deci sinus

de x este egal cu radical din 1

minus coș pătrat de x însă această

valoare poate să fie pozitivă sau

negativă în funcție de cadranul

în care este situat unghiul x Iată

a stabilit o formulă prin care

putem să exprimăm sinusul unui

unghi în funcție de cosinus în

continuare vom de duce o formulă

pentru a scrie sinusul în funcție

de tangentă iar pentru aceasta

a pornind de la această relație

scrisă mai sus Avem că tangentă

de x este egal cu sinus de x supra

cosinus de x ridicăm la pătrat

această relație și avem tangentă

pătrată de x egal cu SIM pătrat

de x iar în loc de cosinus pătrat

de x Putem să scriem 1 minus sinus

pătrat de x acum înmulțim pe diagonală

și avem tangentă pătrată de x minus

tangentă pătrată de x ori sinus

pătrat de x egal cu sinus pătrat

de x tangentă pătrată de x va fi

egal cu sinus pătrat de x pe lângă

1 plus tangentă pătrată de x am

trecut termenul acesta în membrul

Drept și am dat factor comun pe

sinus pătrat de x de aici putem

deduce că sinus de x este radical

din tangentă pătrată de x adică

tangentă de x supra radical din

1 plus tangentă pătrată de x în

fața radicalului putem să avem

plus sau minus în funcție de cadranul

în care este situată unghiul x

iată că am găsit și o formulă prin

care putem să exprimăm sinusul

unui unghi în funcție de tangentă

și acum vom stabili o relație prin

care putem să exprimăm sinus în

funcție de cotangenta unui unghi

o să șterg aici pornind de la această

relație scrise mai sus cotangentă

de x este cosinus supra sinus ridicăm

la pătrat aceasta egalitate și

avem cotangentă pătrată de x egal

cu coș pătrat de x supra sim pătrat

de x m se scrie m ce nu sună funcție

de cotangentă Deci la numărător

în loc de cosinus pătrat de x vom

scrie 1 minus sim pătrat de x supra

sinus pătrat de x înmulțim pe diagonală

avem cotangentă pătrată de x ori

sinus pătrat de x egal cu 1 minus

sinus pătrat de x trec termenul

acesta membrul stâng și apoi îl

dăm factor comun și avem simt pătrat

de x pe lângă cotangentă pătrată

de x plus 1 este egal cu unu de

aici exprimăm sinus de x o să avem

sin de x egal cu 1 supra plus minus

radical din 1 plus cotangentă pătrată

de x Iată am găsit și o relație

prin care putem să exprimăm sinusul

în funcție de cotangentă pentru

a exprima cosinus în funcție de

sinus tangentă și cotangentă se

procedează în mod Analog așa că

nu o să mai fac și aceste calcule

trecem la tangentă în funcție de

sinus știm că tangenta este raportul

dintre sinus și cosinus și avem

tangentă de x egal cu sinus de

x supra în loc de cosinus avem

plus minus radical din 1 minus

sin pătrat de x aceasta va fi formula

prin care putem să exprimăm tangenta

în funcție de sinus unui unghi

pentru a exprima tangenta funcție

de cosinus vom înlocui sinusul

de la numărător Deci avem tangentă

de x egal în loc de sinus de x

avem plus minus radical din 1 minus

coș pătrat de x supra cosinus de

x aceasta va fi formula prin care

exprimă în tangenta în funcție

de cosinus ia tangenta în funcție

de cotangentă am văzut mai devreme

avem tangentă de x egal 1 supra

cotangentă de x pentru a d duse

formulele prin care se exprimă

cotangenta în funcție de sinus

cosinus și tangentă se procedează

în mod Analog așa că nu o să mai

insist și cu aceste calcule în

continuare am scris aceste formule

sub forma unui tabel pe care este

bine să le rețineți dacă totuși

nu reușise memorați aceste formule

atunci ele se pot deduce urmând

pașii pe care am prezentat în acest

clip