Șiruri monotone (teorie)

uitați vă puțin la aceste șiruri

și spuneți în Ce observați nimeni

nu Observă nimic Dacă ne uităm

la termenii șirului a n observăm

că fiecare termen este mai mic

decât succesorul său iar unul este

mai mic decât doi doi este mai

mic decât 3 și așa mai departe

cu alte cuvinte termenul de rang

n este mai mic decât termenul de

rang n plus 1 oricare ar fi n număr

natural nenul în al doilea exemplu

observăm că fiecare termen este

mai mare decât succesorul său Iată

Unul este mai mare decât 1 supra

2 1 supra 2 este mai mare decât

1 pe 3 și așa mai departe Deci

b n este mai mare decât b indice

n plus 1 oricare ar fi n număr

natural nenul observăm Așadar că

în primul caz termenii șirului

cresc Și atunci vom spune că acest

șir a n este strict crescător iar

în al doilea exemplu termenii șirului

b&h Avalor din ce în ce mai mici

cu alte cuvinte șirul b n este

un șir strict descrescător un șir

Care este strict crescător sau

strict descrescător se numește

șir strict monoton dacă nu am avea

aici o inegalitate strictă deci

a n ar fi mai mic sau egal cu a

indice n plus 1 atunci îmi spune

că șirul este crescător la fel

și a doua situație dacă b n este

mai mare sau egal cu b indice n

plus 1 atunci șirul este descrescător

Așadar folosim cuvântul strict

numai atunci când avem o inegalitate

strictă un șir Care este crescător

sau descrescător se numește șir

monoton nu la fel Stau lucrurile

și în cazul celui de al treilea

exemplu ia atât de ei că ne uităm

la șirul CN observăm că primul

termen este mai mic decât al doilea

însă al doilea termen este mai

mare decât al treilea așa dar nu

putem să stabilim o inegalitate

între termenul de rang n și termenul

de rang n plus 1 Așadar acest gen

nu este un șir monoton să reținem

Așadar că un șir x n este strict

crescător dacă x n este mai mic

decât x indice n plus unu sau cu

alte cuvinte x indice n plus 1

minus x indice n este mai mare

decât 0 oricare ar fi n număr natural

nenul apoi șirul x n este strict

descrescător dacă x n este mai

mare decât x indice n plus 1 iar

această relație este echivalentă

cu următoarea relație x indice

n plus 1 minus x indice n mai mic

decât 0 oricare ar fi n număr natural

nenul iar un șir x n se numește

strict monotone dacă x n este strict

crescător sau strict descrescător

iar un șir x n se numește motan

dacă x este crescător sau descrescător

orice șir constant este monoton

de exemplu dacă avem următorul

șir constant 0 0 0 6 mai departe

Acesta este un șir monoton El este

atât crescător cât și descrescător

însă nu este strict monoton Așadar

pentru a studia monotonia unui

șir Am calculat Diferența a doi

termeni consecutivi dacă această

diferență este pozitivă șirul este

strict crescător iar dacă diferența

dintre doi termeni consecutivi

este negativă atunci șirul va fi

strict descrescător mai există

și o altă modalitate de a studia

monotonia unui șir însă aceea se

aplică numai în cazul șirurilor

cu toți termenii pozitivi dacă

x n este un șir astfel încât x

n să fie mai mare strict decât

0 oricare ar fi n număr natural

nenul este o termenii șirului sunt

pozitiv atunci pentru a studia

monotonia acestui șir putem să

calculăm raportul x n plus 1 supra

x n și să comparăm valoarea acestui

raport cu 1 Dacă raportul este

mai mare decât 1 adică x n plus

unu este mai mare decât x n atunci

șirul x n va fi un șir strict crescător

iar dacă acest raport x n plus

1 supra x n este mai mic decât

1 cu alte cuvinte exemplu sunt

nu este mai mic decât x n atunci

șirul x n este un șir strict descrescător

Așadar putem să aplicăm și această

metodă Pentru a stabili monotonia

unui șir dar repet aceasta se poate

aplica numai atunci când și Care

toți termenii pozitivi în secvența

următoare o să facem câteva exerciții

pentru a stabili monotonia unor

șiruri