Teorema celor trei perpendiculare. Aplicații

în continuare vom rezolvat două

probleme în care vom aplica teorema

celor trei perpendiculare prima

problemă Se dă triunghiul ABC cu

măsura unghiului A de 90 de grade

Deci avem triunghiul abc m Unghiul

a are 90 de grade ab are 6 cm bun

AC are 8 cm este trecut pe planul

abc pe acest plan se ridică perpendiculara

m a ia atat de 6 cm să aflăm distanțele

de la m la laturile triunghiului

ABC Atenție nu trebuie să aflăm

distanțele de la m la vârfurile

triunghiului ABC și la laturile

acestui triunghi Cum aflăm atunci

distanța de la un punct la o dreaptă

Păi trebuie să ducem o perpendiculară

din acel punct pe dreaptă Deci

dacă Vrem să aflăm distanța mai

întâi de la punctul M la AB Ce

trebuie să facem Păi trebuie să

ducem o perpendiculară din punctul

m pe AB Cum construim acea perpendiculară

sau Care este acea perpendiculară

dacă cumva e deja cu un strat pe

perpendiculara deja este dată pentru

că m a este perpendiculară pe acest

plan Cum AB este inclusă în plan

înseamnă că m a e perpendiculară

pe AB Deci nu avem c perpendiculară

să construim Ea este deja dată

să notăm m a este perpendiculară

pe planul a b c a b este inclusă

în acest plan a b c rezultă că

m a este perpendiculară pe ab Păi

asta înseamnă iată că distanța

de la m la AB trecem aici rezultă

că această distanță este egală

cu m a aceasta e perpendiculară

adusă din m pe AB Cât este m a

6 centimetri bun să aflăm acum distanța

de la m la latura AC este tot ma

pentru că ma perpendiculară și

pe ace viață trecem aici AC este

inclusă în planul abc înseamnă

că m a e perpendiculară pe AC m

a perpendiculară și pe ace rezultă

că distanța de la m la AC este

deci de la m la AC este tot m a

adică 6 cm bun să determinăm acum

distanța de la punctul M la latura

bc această distanță este dată de

segmentul MB poate cuvinte MB este

perpendiculară pe BC de vreme ce

avem ma perpendiculară pe planul

abc ca să obținem MB perpendiculară

pe BC ce trebuie să avem trebuie

ca a b să fie perpendiculară pe

bc adică acest unghi să aibă 90

de grade însă acest jocu imposibil

pentru că triunghiul b a c este

dreptunghic în A de tun ghiul bec

la un unghi ascuțit asta înseamnă

că MB nu e perpendiculară pe BC

Deci nu aceasta este distanța de

la m la latura bc dar e posibil

ca această distanță să fie MC nu

avem aceeași explicație acest unghii

nu are 90 de grade înseamnă că

m c nu e perpendiculară pe b c

Atunci din tot ce am discutat până

acum cum obținem perpendiculara

din m pe latura bc Păi de vreme

ce ma e perpendiculară pe plan

trebuie să construim o perpendiculară

din A pe BC și voi nota aici punctul

de intersecție cu latura bc trecem

că este Deci avem aici un unghi

de 90 de grade bun atunci ce vom

obține Iată m a e perpendiculară

pe planul abc ad este perpendiculară

pe BC Deci MD conform teoremei

celor trei perpendiculare este

perpendiculară pe BC și Haideți

să notăm avem așa ma perpendiculară

pe planul abc ad este perpendiculară

pe BC cele două drepte AD și BC

sunt incluse în planul abc Ce rezultă

din teoremă celor trei perpendiculare

că m d este perpendiculară pe BC

și chiar voi trece aici Iată avem

90 de grade Păi asta înseamnă că

distanța de la m la bc care este

pe cumperi pandy cu Lara din m

pe BC este MD înseamnă că aceasta

este și distanța lungimea acestui

segment a ideii distanța de la

m la BC în a rămâne acum decât

să determinăm pe m d păi cum facem

acest lucru Cum este triunghiul

m a d a e devreme cm a este perpendicular

perpendiculară pe planul abc ad

este inclusă în acest plan asta

înseamnă că m a este perpendiculară

pe a d deci putem să trecem aici

că avem un unghi de 90 de grade

Să notăm m a perpendiculară pe

planul a b c a d este inclusă în

acest plan a b c pe asta înseamnă

că m a este perpendiculară pe a

d cu alte cuvinte triunghiul m

a d este un triunghi dreptunghic

munci voi trece numărul 1 la această

relație pentru că o Vom folosi

mai târziu De ce spun că o folosim

mai târziu Pentru că având aici

un triunghi dreptunghic înseamnă

că pentru a determina lungimea

lui m Care este ipotenuza avem

nevoie de lungimile catetelor știind

că este Ema 6 cm mai avem nevoie

de lungimea catetei ab bun Ce este

însă Ade Păi a d este înălțimea

corespunzătoare ipotenuzei În triunghiul

dreptunghic b a c Deci în triunghiul

b a c cu măsura unghiului A de

90 de grade avem că AD este perpendiculară

pe BC Păi noi știm să determinăm

lungimea acestei înălțimi Cu cât

este egală Avem așa produsul dintre

lungimile catetelor AB AC supra

lungimea ipotenuzei Deci supra

b c știind Cât este ab știind Cât

este ac nu cunoaștem însă lungimea

ipotenuzei bc însă o află foarte

ușor cu teorema lui Pitagora Sau

dacă vreți ne folosim de numerele

pitagoreice Iată 3 4 și 5 să numere

pitagoreice ele reprezintă lungimile

unui triunghi lungimile laturilor

unui triunghi dreptunghic și dacă

înmulțim cu orice număr natural

acest tripleți De exemplu dacă

înmulțim cu 2 deci ori 2 vom avea

așa 2 ori 3 6 2 ori 4 8 2 8 5 10

cu alte cuvinte Dacă într un triunghi

dreptunghic avem catetele cu lungimile

de 6 și 8 cm metri Cum e în cazul

nostru înseamnă că Ipotenuza are

10 cm acest lucru este foarte ușor

și din calcul deci putem să scriem

direct pe bc are 10 centimetri

trecem aici 10 cm și venim și completăm

egal cu linie de fracție avem 6

ori 8 supra 10 48 pe 10 Deci vom

obține după simplificare 24 supra

5 pun la am de terminat și pe ei

de atunci în triunghiul m a d d

c rezultă din relația 1 că avem

triunghiul m a d cu măsura unghiului

A de 90 de grade mă refer la unghiul

m a d prin urmare conform teoremei

să trecem tot th lui Pitagora Ce

rezultă că MD la pătrat este egală

cu m a la pătrat adunat cu Adela

pătrat și vom avea așa e m de la

pătrat egal cu ma este 6 la a doua

adică 64 supra 10 dacă simplificăm

prin 2 ne dă 8 supra 5 Deci Omega

aici 8 supra 5 totul la pătrat

Haide să trag linia de fracție

unde ar trebui 8 supra 5 totul

la pătrat adunat cu Adela pătrat

24 supra 5 la pătrat și aici putem

să facem calculul fier ridicăm

pe 8 la a doua 24 la a doua facem

suma și apoi îi trebuie să descompunem

numărul pe care îl vom obține pentru

că trebuie să scoatem de sub radical

sau putem să facem în felul următor

m de la pătrat este egală cu 2

factor comun pe 8 supra 5 la pătrat

pentru că avem aici 24 este 8 ori

3 Deci avem 8 supra 5 totul la

pătrat înmulțit cu ne rămâne aici

unu adunat cu 3 la a doua și vom

obține așa nouă cu unul seamnă

10 Deci vom obține că MD de fapt

ID să scriu alături m d după ce

scoatem de sub radical este egal

cu 8 supra 5 înmulțit cu radical

din 10 Deci 8 radical din 10 supra

5 și să vedem ce am obținut Deci

am găsit că MD are 8 radical din

10 supra 5 cm iar m d este distanța

de la m la latura bc următoarea

problemă Pe planul rombului a b

c d cu măsura unghiului DAB de

120 de grade deci a b c d este

romb măsura unghiului d a b este

de 120 de grade și AB 18 cm Iată

se ridică perpendiculară pe a d

12 cm Să determinăm distanța de

la punctul P la b d să unim atunci

pe d cu b și vrem să găsim distanța

de la punctul P la dreapta DB Oare

această distanță e reprezentată

de lungimea segmentului p d pe

ca să se întâmple acest lucru de

vreme ce pe AE perpendiculară pe

planul a b c d ar trebui ca ad

să fie cum să fie perpendiculară

pe d b adică acest unghi să aibă

90 de grade ceea ce e imposibil

pentru că unghiul a are măsura

de 120 de grade bun asta înseamnă

că PD nu este perpendiculară pe

d b Deci PD nu este distanța de

la punctul P la d b absolut la

fel se întâmplă și dacă luăm în

calcul segmentul p b neavând aici

90 de grade pe b nu e perpendiculară

pe d b atunci ca să obținem o perpendiculară

din perpendiculara de fată din

Pepe DB Ce trebuie să facem Păi

trebuie să construim perpendiculara

din A pe d b cum o construim Păi

dacă unim pe a cu c iată ce vom

obține Păi avem diagonalele rombului

a c și d b Cum sunt diagonalele

sunt perpendiculare Deci avem aici

un unghi de 90 de grade și să notăm

cu o acest punct Păi ce am obținut

Iată o să fac așa să nu se mai

să nu mai fie desenul încărcat

deci pe AE perpendiculară pe planul

abc de aur perpendiculară pe d

b conform teoremei celor trei perpendiculare

înseamnă că pe o este perpendiculară

pe de de deci putem să trecem aici

că avem un unghi drept să notăm

pe a este perpendiculară pe planul

a b c d a o e perpendiculară pe

d b iar aceste două drepte a o

și d b sunt inclusă în planul a

b c d Deci rezultă din teoremă

celor trei perpendiculare că pe

o este perpendiculară pe d b Păi

asta înseamnă că distanța de la

punctul B la d b este dată de lungime

a acestui segment pe o Păi nu ne

rămâne decât să aflăm care este

această lungime cum o determinăm

Păi ce fel de triunghi este pe

a o este un triunghi dreptunghic

pentru că pe AE perpendiculară

pe planul a b c d o este inclusă

în plan înseamnă că pe AE perpendiculară

și pe AO De ce avem aici un unghi

de 90 de grade Haideți să facem

tot cu galben avem 90 de grade

bun asta înseamnă că avem nevoie

de lungimile catetelor pe ei și

au ca să determinăm lungimea ipotenuzei

pe 8 pe ei știm Cât este Iată are

12 cm ca să determinăm acum lungimea

segmentului AO Cum facem acest

lucru Păi Haideți să determinăm

mai întâi lungimea segmentului

ac AC este diagonală În triunghiul

abe CD iar măsura unghiului a este

de 120 de grade Cum sunt diagonalele

întrun romb cu ele sunt și bisectoarele

unghiurilor deci putem să nu uităm

că ac este bisectoarea de fapt

o să notez chiar sus AC este bisectoarea

prescurtez astfel unghiului d a

b asta înseamnă că măsura unghiului

c a b Cât este pe avem 120 de grade

împărțit la 2 adică 60 de grade

Bun deci măsura acestui unghi are

60 de grade a b și bc sunt congruente

pentru că avem aici A B C D romb

Păi ce am obținut avem un triunghi

isoscel abc cu un unghi care are

măsura de 60 de grade cu alte cuvinte

cum este triunghiul abc este echilateral

de ceai de să notăm trecem aici

că măsura unghiului c a b este

de 60 de grade ab este egal cu

AC prin urmare triunghiul ce va

sau a b c se spune ABC este echilateral

și o să prescurtez așa că nu avem

un spațiu rezultă că ac are lungimea

de câți centimetri AB are 18 cm

înseamnă că și ei si are tot 18

cm cu alte cuvinte AO Cu cât este

egal pe AO este jumătate lungimea

jumătate din lungimea lui Ayse

Deci notăm aici a c supra 2 adică

9 cm un și am de terminat că au

are 9 cm să scriu aici 9 cm pe

a știind că are 12 cm Ce mai știm

Păi mai știind că pe ae perpendicular

pe AO Deci Pa perpendicular pe

AO asta înseamnă că avem triunghiul

a o cu măsura unghiului A de 90

de grade avem un triunghi dreptunghic

fie aplicăm teorema lui Pitagora

fie putem să folosim numerele pitagorice

pornim tot de la 3 4 și 5 Acesta

este un triplet pitagoreic nu este

singurul dacă înmulțim de exemplu

cu 3 fiecare număr în parte avem

trei ori trei nouă trei ori 412

trei ori 515 cu alte cuvinte dacă

avem un triunghi dreptunghic cu

lungimile catetelor de 9 respectiv

12 cm cum avem aici 9 și sprezece

înseamnă că lungimea ipotenuzei

este de 15 cm Deci venim și notăm

rezultă că pe o este egal are lungimea

de 15 cm distanța de la punctul

P la dreapta d b de la B la d b

este de 15 cm și sau încheiat