Teorema lui Menelaus (aplicații)

avem următoarea problemă Fie triunghiul

ABC M un punct situat pe latura

b c astfel încât m c supra bc egal

cu 1 pe 3 și m situat pe latura

ab astfel încât AE supra ab egal

cu 1 pe 2 fie p mijlocul segmentului

CN Arătați că punctele A B și m

sunt coliniare pentru a demonstra

coliniaritatea acestor puncte folosind

reciproca teoremei lui menelaus

din moment ce trebuie să demonstrăm

că punctele A B și m sunt coliniare

înseamnă că dreapta a m va fi transversal

a unui triunghi observăm că punctul

m este situat pe latura bc Deci

una dintre laturile triunghiului

este b c p este situat pe segmentul

a c deci a doua latură a triunghiului

este nc iar a este situat pe dreapta

b n Așadar avem triunghiul b n

c evidențiem așa dat triunghiul

BMC cu transversala apm aplicăm

reciproca teoremei lui menelaus

pentru triunghiul BMC cu transversala

apm avem un produs de trei rapoarte

egal cu 1 fiecare raport începe

cu unul din cele trei vârfuri ale

triunghiului a m b n c primul raport

se termină cu litera cu care începe

următorul de ceai și copiez an

aici copiez c iar la final avem

b întotdeauna la final trecem aceeași

literă cu care am început pe dreapta

bn avem punctul A pe dreapta m

c avem punctul p și pe dreapta

CB avem punctul m Să ne uităm și

pe desen Ba Deci atenție când punctul

este situat pe prelungirea laturii

triunghiului se ia Tot segmentul

acesta Ba supra a n Ori n p supra

PC orice m supra MB egal cu 1 trebuie

Așadar să verificăm dacă produsul

acestor trei rapoarte este egal

cu unu nu știm din ipoteză că a

n supra ab este 1 pe 2 a n supra

a b este 1 pe 2 și atunci a b supra

a n Deci inversăm rapoartele va

fi egal cu 2 Am calculat Așadar

primul raport și acum să vedem

al doilea raport n p supra PC din

moment ce punctul p este mijlocul

segmentului CN înseamnă că mp supra

pe ce este egal cu 1 pentru că

punctul p este mijlocul segmentului

CN Și mai trebuie să calculăm raportul

c m supra MB noi avem m c supra

bc egal cu 1 pe 3 să scriem și

acest lucru m c supra BC este egal

cu 1 pe 3 noi trebuie să calculăm

cm supra m b numărătorul este același

Mc însă numitorii sunt diferiti

aici avem MB iar Aici avem bc prin

urmare trebuie să facem o operație

astfel încât la numitorul acestei

fracții să ne apară MB dar MB este

egal cu bc minus MC prin urmare

va trebui să scădem numărătorul

din numitor și facem acest lucru

cu ambele rapoarte avem Așadar

m c supra bc minus m c egal cu

1 supra 3 minus 1 m c supra b c

minus m c este egal cu BM egal

cu 1 pe 2 Am calculat așa dar și

acesta port Deci b a supra a n

este egal cu 2 n p supra p c este

egal cu 1 și c m supra MB este

egal cu 1 pe 2 prin urmare dacă

înmulțim Toate aceste trei rapoarte

obținem că b a supra a n ori n

p supra PC ori si m supra MB este

egal cu 2 ori 1 ori 1 pe 2 și egal

cu 1 prin urmare am arătat că produsul

acestora poartă este egal cu 1

Așadar punctele a b și m sunt coliniare