Aria unei suprafețe triunghiulare

Să considerăm punctele necoliniare

a de coordonate x 1 y y 1 b de

coordonate x 2 y 2 și c de coordonate

x 3 y 3 și ne propunem să calculăm

aria suprafeței triunghiulare a

b c una dintre formulele de calcul

pentru aria triunghiului este aria

suprafeței triunghiulare a b c

este egală cu latura ori înălțimea

corespunzătoare totul supra 2 considerăm

în această situație drept latura

lungimea segmentului BC iar drept

înălțime distanța de la punctul

A la latura b c distanța de la

punctul A la latura bc totul supra

2 lungimea segmentului BC o Vom

calculăm cu formula distanței dintre

două puncte Așadar bc egal cu radical

din așeza punctului C adică x 3

minus arșiță a punctului b x 2

totul la pătrat plus ordonata punctului

C adică y 3 minus ordonata punctului

b adică y 2 totul la pătrat pentru

determinarea distanței de la a

la bc folosim formula distanței

de la un punct la o dreaptă să

ne reamintim această formulă dată

o dreaptă de ecuație x plus y plus

c egal cu 0 și un punct M 0 de

coordonate X 0 y 0 distanța de

la punctul M 0 la dreapta H se

calculează după formula modul de

a 0 plus b y0 plus c totul supra

radical din a la pătrat plus b

la pătrat avem nevoie Așadar de

ecuația dreptei BC această ecuație

o Vom Scrie sub formă de determinant

x y 1 Asus a punctului b ordonata

punctului b 1 a și se punctului

C ordonata punctului c 1 egal cu

0 dezvoltând acum după linia 1

cu atia devine x înmulțit cu determinantul

obținut prin suprimarea liniei

1 și a coloanei 1 adică y21 y3

1 minus y folosind semnul minus

pentru că ei se găsește pe linia

1 coloana 2 înmulțit cu determinantul

obținut prin suprimarea liniei

1 și a coloanei 2 adică x21 x31

plus 1 înmulțit cu determinantul

obținut prin suprimarea din a 1

și a coloanei 3 adică x 2 y 2 x

3 y 3 egal cu 0 în consecință efectuând

calculele obținem ecuația x înmulțit

cu y 2 minus y 3 e minus y înmulțit

cu x 2 minus x 3 plus x 2 y 3 minus

x 3 y 2 egal cu 0 în consecință

distanța de la punctul A la dreapta

BC este egală cu modul de coeficientul

lui x din ecuația dreptei este

în cazul nostru y 2 minus y 3 înmulțit

cu scis a punctului a adică X1

minus coeficientul lui y din ecuația

dreptei este în cazul nostru minus

diferența x 2 minus x 3 înmulțit

cu ordonata punctului a Care este

y totul supra radical din pe fișă

entul lui x adică y 2 minus y 3

la pătrat plus coeficientul lui

y la pătrat adică x 2 minus x 3

la pătrat egal cu modul din x 1

înmulțit cu ne reamintim că diferența

a doi minus y 3 provine de fapt

din calculul determinantului y21

y3 1 minus y cu 1 înmulțit cu diferența

x 2 minus x 3 provine din calculul

determinantului x21 X3 1 plus diferența

x2y 3 minus x 3 y 2 provine din

calculul determinantului x 2 y

2 x 3 y 3 închidem modulul totul

supra observă că numitorul conține

un radical care nu este altceva

decît lungimea segmentului De ce

înlocuim așa dar egal mai departe

putem rescriem expresia de la numărător

ca fiind modulul determinantului

x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 totul

supra lungimea segmentului DC vom

nota acest determinant cu Delta

obținând distanța de la punctul

A la bc ca fiind raportul dintre

modul de Delta și lungimea segmentului

De ce obținem Așadar formula de

calcul a ariei suprafeței triunghiulare

abc ca fiind 1 supra 2 înmulțit

cu bc ori distanța de la punctul

a la b c care este modul din Delta

totul supra lungimea segmentului

BC adică lungimea segmentului BC

se simplifică obținem 1 pe 2 modul

din Delta În consecință Aria suprafeței

triunghiulare ABC este 1 supra

2 ori modul din Delta unde Delta

este determinantul care are pe

prima coloană abscisele vârfurilor

triunghiului pe a doua coloană

cordonatele acestora iar pe ultima

coloană elementul unu cu alte cuvinte

a este de coordonate x o y y 1

b este de coordonate x 2 y 2 iar

c este de coordonate x 3 y 3 și

acum punctul A de coordonate 0

și 2 punctul b de coordonate 1

și minus 1 punctul C de coordonate

minus 1 3 și punctul D de coordonate

minus 2 minus doi ne propunem să

calculăm pentru început distanța

de la punctul B la dreapta AC apoi

aria suprafeței triunghiulare a

b c și în ultimul rând Aria suprafeței

patrulatere a b c d pentru calculul

distanței de la punctul B la dreapta

AC trebuie să determinăm întâi

ecuația dreptei AC Așadar ecuația

dreptei AC scrisă sub formă de

determinant are următoarea expresie

x y cu 1 accesa punctului a Care

este zero ordonata punctului a

Care este 2 1 abscisa punctului

c care este minus unu ordonata

punctului c egală cu 3 și 1 egal

cu 0 dezvoltând această determina

după linia întâi obținem ecuația

x înmulțit cu doi unu trei unu

minus y înmulțit cu 0 1 minus 1

1 plus 1 înmulțit cu 0 2 minus

3 egal cu 0 calculând determinanți

de ordinul 2 obținem ecuația 2

minus 3 minus 1 adică minus X 0

plus 1 1 minus y 0 plus 2 2 înmulțit

cu 1 2 egal cu 0 Deci aceasta este

forma ecuației AC distanța de la

punctul B la dreapta AC este egală

cu modul de minus 1 înmulțit cu

arșița punctului b accesa punctului

b este 1 minus coeficientului y

este minus 1 înmulțit cu ordonata

punctului b care este minus 1 și

plus termenul liber adică 2 totul

supra radical din minus 1 la puterea

a doua plus minus 1 la puterea

a doua egal modul de minus 1 plus

1 plus 2 totul supra radical din

2 minus 1 cu plus unu se reduc

obținem Așadar distanța ca fiind

egală cu 2 supra radical din 2

dacă raționalizăm această expresie

cu radical din 2 obținem 2 radical

din 2 supra 2 2 cu 2 se simplifică

și obținem distanța de la punctul

B la dreapta AC ca fiind egală

cu radical din 2 pentru calculul

ariei suprafeței triunghiulară

abc avem nevoie să calculăm determinantul

Delta Delta în cazul nostru este

egal cu AB și Selly punctelor a

b și c sunt 0 1 minus 1 ordonatelor

punctelor a b c sunt doi minus

unu trei unu unu egal vom calcula

de data aceasta determinantul Folosind

regula triunghiului Așadar 0 ori

minus 1 ori 1 egal cu 0 1 ori 1

ori 3 plus 3 minus 1 ori 2 ori

1 minus 2 minus minus 1 minus 1

ori 1 înseamnă minus unu unu ori

doi ori unu este minus doi zero

ori trei ori unu egal cu zero Așadar

obținem astfel determinantul egal

cu minus 2 atunci aria suprafeței

triunghiulare abc este egal cu

1 supra 2 ori modul din Delta Adică

1 supra 2 ori modul din minus 2

Adică 1 pentru calculul suprafeței

patrulatere a b c d observăm că

această suprafață patrulateră se

poate Descompune în două suprafețe

triunghiulare e vorba de suprafața

triunghiulară abc respectiv suprafața

triunghiulară bcd Așadar cu aria

suprafeței triunghiulară ABC am

calculator deja de rămâne să calculăm

aria suprafeței triunghiulare bcd

vom calculam din nou determinantul

Delta prima coloană conține accizele

punctelor b c și d Adică 1 minus

1 minus 2 a doua coloană conține

ordonantele minus 1 3 minus 2 iar

ultima coloană conține elementul

1 romb Calculați determinant Folosind

regula lui sarrus adăugând de data

aceasta coloana 1 respectiv coloana

a doua Deci 1 minus 1 minus 2 minus

1 3 minus 2 egal 1 ori 3 ori 1

3 minus 1 ori 1 minus 2 plus 2

1 ori minus 1 minus 2 plus 2 1

ori 3 ori minus 2 minus 6 cu sens

schimbat plus 6 1 ori 1 minus 2

plus 2 minus 1 minus 1 înseamnă

minus unu cu alte cuvinte acest

determinant este egal cu 14 atunci

aria suprafeței patrulatere a b

c d spuneam că o scriem ca o sumă

de două suprafețe triunghiulare

suprafața triunghiulară abc respectiv

suprafața triunghiulară bcd și

a astfel obținem Aria suprafeței

ABCD ca fiind egală cu 1 plus 14

adică adică 15