Coarde și arce în cerc (aplicație)

În figura alăturată avem un cerc

de centru o și rază r egală cu

12 cm Fie a și b două puncte situate

pe cerc astfel încât măsura unghiului

AOB să fie egală cu 120 de grade

Fie m n un diametru perpendicular

pe coarda ab Calculați lungimea

coardei AB și măsura arcului a

n o să calculez mai întâi Măsura

arcului a n știind că măsura arcului

AB este egală cu măsura unghiului

la centru aob un an este un diametru

perpendicular pe coarda ab înseamnă

că m n trece prin mijlocul arcului

ab cu alte cuvinte punctul n este

chiar în mijlocul arcului ab iar

măsura arcului a n va fi egală

cu jumătate din măsura arcului

AB măsura arcului AB este egală

cu măsura unghiului la centru AOB

egal cu 120 de grade având în vedere

că mn este perpendicular pe ab

a rezultat că punctul n este mijlocul

arcului ab și atunci Putem să scriem

că arcul a n este congruent cu

arcul n b Așadar Măsura arcului

a n va fi egală cu măsura arcului

n b egală cu măsura arcului AB

supra 2 Dar a b are măsura de 120

de grade iar 120 supra 2 va fi

egal cu 60 Am calculat astfel Măsura

arcului a n aceasta este egală

cu 60 de grade în continuare o

să calculăm lungimea coardei AB

triunghiul AOB este un triunghi

isoscel pentru că segmentele o

a și o b sunt congruente acesteia

fiind raze dacă o este perpendiculară

pe AB înseamnă că o p este înălțime

dar înălțimea sunt triunghi isoscel

este și mediană Deci punctul P

va fi în mijlocul segmentului AB

vom calcula mai întâi lungimea

segmentului AB iar pentru a obține

lungimea segmentului AB 100 dublăm

segmentul ab dacă triunghiul AOB

este isoscel atunci unghiurile

alăturate bazei vor fi congruente

unghiul a va fie congruent cu unghiul

b știind că între un triunghi suma

măsurilor unghiurilor este egală

cu 180 de grade pentru a calcula

măsura unghiului a o să scădem

din 180 de grade cele 120 de grade

și împărțim rezultatul la 2 Haideți

atunci te calculăm măsura acestui

unghi știind că triunghiul AOB

este isoscel și atunci măsura unghiului

a va fi egală cu măsura unghiului

b și egal cu 180 de grade minus

120 de grade împărțit la 2 180

minus 120 este 60 împărțit la 2

egal cu 30 de grade ne uitam acum

în triunghiul dreptunghic o a pe

trebuie să aflăm lungimea laturii

ab știm că unghiul a are măsura

de 30 de grade AB este o catetă

alăturată acestui unghi iar AO

este ipotenuza funcția trigonometrică

care se definește ca fiind raportul

dintre cateta alăturată unui unghi

și potenza este funcția cosinus

aplicăm funcția cosinus în acest

triunghi dreptunghic oap În triunghiul

oap cosinus de a este egal raportul

dintre cateta alăturată unghiului

a adică ab supra ipotenuza a o

dar cosinus de 30 de grade este

egal cu radical din 3 supra 2 egal

aceste două relații și obținem

că radical din 3 supra 2 este egal

cu ab supra 12 obținem că ab este

egal cu 12 radical din 3 supra

2 se simplifică 12 cu doi și obținem

6 radical din 3 Așadar AB este

6 radical din 3 după cum spuneam

mai devreme punctul p este mijlocul

segmentului AB și atunci va rezulta

că ab va avea lungimea egală cu

12 radical din 3 a b este egal

cu 2 ori ab pentru că o p este

mediană în acest triunghi isoscel

a b va fi egal cu 2 ori 6 radical

din 3 și egal cu 12 radical din

3 cm