Congruenţa triunghiurilor dreptunghice - aplicaţii

În triunghiul ABC fie M mijlocul

segmentului ac arătați că distanța

de la punctul A la dreapta b m

este egală cu distanța de la punctul

c la dreapta BM să facem și figura

geometrica avem un triunghi abc

oarecare și fix în mijlocul segmentului

ac pe care o să îl notăm cu m trebuie

să arătăm că distanța de la punctul

a la b m este egală cu distanța

de la punctul c la b m Dar pentru

a construi distanța de la punctul

c la BM va trebui să prelungim

segmentul b m astfel încât să putem

duce perpendiculara din c pe latura

ab m Așadar prelungim segmentul

b m și ducem a d perpendiculară

pe b n și c e perpendiculară pe

b m să scriem ipoteza și concluzia

avem un triunghi abc și un punct

M aparținând segmentului ac astfel

încât a m să fie congruentă cu

MC adică m este mijlocul lui ac

trebuie să demonstrăm că distanța

de la punctul A la dreapta b m

este egală cu distanța de la punctul

c la dreapta BM demonstrație să

anunțăm mai întâi construcțiile

pe care le am făcut Fie ad perpendiculară

pe b m și ce e perpendiculară pe

b m din prima relație de perpendicularitate

va rezulta că distanța de la a

la b m va fi Ade iar din a doua

relație de perpendicularitate rezultă

că distanța de la c la b m va fi

ce e din aceste două relații mai

rezultă În triunghiul abm măsura

unghiului abm este egală cu 90

de grade lipsa format un triunghi

dreptunghic și de asemenea în triunghiul

c e e măsura unghiului c n m este

de 90 de grade Așadar avem Două

triunghiuri dreptunghice ne trebuie

să arătăm că AB este congruent

cu ec pentru a demonstra congruență

a doua segmentele încadrăm în două

triunghiuri a căror congruență

se poate demonstra ma mâncat dracii

este două segmente în triunghiurile

a d m și c m să vedem Ce elemente

congruente au aceste triunghiuri

având în vedere că sunt triunghiuri

dreptunghice este suficient să

găsim două elemente respectiv congruente

mai întâi observăm că a m este

congruent cu m c din ipoteză Deoarece

m era mijlocul segmentului ac a

m și m c sunt ipotenuze în cele

două triunghiuri dreptunghice deci

putem să scriem această relație

de congruență a m este congruent

cu MC Acest lucru se știe din ipoteză

și aici sau mai format două unghiuri

opuse la vârf unghiurile a m d

și ce m e aceste unghiuri sunt

opuse la vârf pentru că au vârful

comun punctul m și laturile în

prelungire amintiți că la începutul

figurii am prelungit latura ab

m Așadar un alt element ar fi unghiul

a m d care este congruent cu unghiul

m c fiind unghiuri opuse la vârf

așadar am găsit ipotenuza și un

unghi respectiv congruente în aceste

condiții va rezulta conform cazului

de congruență ipotenuză unghi că

triunghiul a d m este congruent

cu triunghiul c m iar congruență

acestor triunghiuri implică congruența

catetelor adică Ade va fi congruentă

cu ac scrie că distanța de la a

la b m este egală cu distanța de

la c la d m am terminat prima problemă

continuăm cu a doua problemă Fie

triunghiul ABC isoscel cu AB congruent

cu ac Fie ad perpendiculară pe

bc d aparține segmentului BC e

d e f perpendiculară pe AB și d

e perpendiculară pe AC Arătați

că unghiul b este congruent cu

unghiul c și că triunghiul d e

f este isoscel scrie mai întâi

ipoteza și concluzia avem un triunghi

ABC isoscel se știe că AB este

congruent cu ac Fie ad perpendiculară

pe BC unde d aparține segmentului

BC ducem DF perpendiculară pe ab

f aparține segmentului AB apoi

ducem de e perpendiculară pe AC

e aparține segmentului ac trebuie

să arătăm la punctul A că unghiul

b este congruent cu unghiul c iar

la punctul B trebuie să arătăm

că triunghiul d e f este isoscel

în punctele e f și F un triunghi

este isoscel dacă are două laturi

congruente putem intui că acestea

ar fi e f d și e d Așadar la punctul

B vom arăta că e f d este congruent

cu e d faci alăturat demonstrația

Tanța arăta că unghiul b este congruent

cu unghiul c m Demonstrați că Triunghiurile

a d b și a d c sunt triunghiuri

congruente iar din congruența acestor

două triunghiuri va rezultat și

congruența unghiurilor b și c având

în vedere că AD este perpendiculară

pe BC sau format Două triunghiuri

dreptunghice Așadar în triunghiul

adb măsura unghiului d este de

90 de grade și În triunghiul ABC

măsura unghiului d este de asemenea

de 90 de grade Așadar vom compara

Două triunghiuri dreptunghice având

în vedere că AD este perpendiculară

pe BC va dezvolta că măsura unghiului

adb este egală cu măsura unghiului

adc și egal mai departe cu 90 de

grade comparăm acum aceste Două

triunghiuri dreptunghice triunghiul

ABD cu triunghiul acd știm din

ipoteză că AB este congruent cu

ac deoarece triunghiul ABC este

isoscel AB și AC sunt ipotenuze

în aceste două triunghiuri a b

este congruent cu ac din datele

problemei observăm că aceste Două

triunghiuri dreptunghice mai au

o latură comună aceasta este ad

iar AD este catetă în fiecare dintre

cele două triunghiuri AD este congruent

cu ad fiind o latură comună având

în vedere că am găsit ipotenuza

și o catetă respectiv congruente

putem scrie în continuare că triunghiul

ABD va fi congruent cu triunghiul

acd conform cazului de congruență

ipotenuză catetă congruența celor

două triunghiuri implică și congruența

unghiurilor b și c Deci unghiul

bac congruent cu unghiul c tu din

congruența hstore triunghiuri va

rezultat și congruența segmentelor

b d și c d și e și această relație

deoarece ne va ajuta în rezolvarea

cerinței a două a problemei Așadar

BD este congruent cu cd am terminat

punctul A continuăm cu punctul

b la punctul B trebuie să demonstrăm

că triunghiul def este isoscel

cum spuneam anterior vom demonstra

că e f d este congruent cu ed pentru

a arăta că f d este congruent cu

ed vom compara triunghiurile d

e f d și c a d acestea sunt triunghiuri

dreptunghice deoarece ducând perpendicularele

d e f și d e f au format două unghiuri

drepte dacă de a fi este perpendiculară

pe ab rezultă că în triunghiul

d e f d măsura unghiului bfd este

de 90 de grade iar dacă de a este

perpendiculară pe a Ce rezultă

că în triunghiul ced avem măsura

unghiului ced egal cu 90 de grade

comparăm triunghiul d e f d cu

triunghiul c a d având în vedere

că acestea sunt triunghiuri dreptunghice

mă face referire la cazurile de

congruență ale triunghiurilor dreptunghice

să evidențiem mai bine cele două

triunghiuri am demonstrat la punctul

A că BD este congruent cu cd aceste

două segmente sunt ipotenuze ale

celor două triunghiuri BD congruent

cu cd am demonstrat acest lucru

la punctul a și tot la punctul

A am demonstrat că unghiul b este

congruent cu unghiul c având în

vedere că am găsit ipotenuza și

un unghi ascuțit respectiv congruente

A rezulta conform cazului de congruență

ipotenuză unghi a triunghiul d

e f d este congruent cu triunghiul

ced ia din această relație rezultă

că segmentul SD este congruent

cu segmentul a d și având în vedere

că în triunghiul f d e am găsit

două laturi a vând aceeași lungime

Putem afirma că acesta este un

triunghi isoscel d și triunghiul

des este isoscel continuăm cu ultima

problemă Fie triunghiul ABC dreptunghic

cu măsura unghiului a egală cu

90 de grade ac egal 4 cm și BC

egal 5 cm pe dreapta AC se ia un

punct d astfel încât a aparține

segmentului CD și AD este congruent

cu ac demonstrați că triunghiul

ABC este congruent cu triunghiul

ab D Calculați perimetrul triunghiului

bcd mă face figura geometrică trebuie

să desenăm un triunghi a b c dreptunghic

având cateta a c de 4 cm și ipotenuza

BC de 5 cm pe dreapta AC se ia

un punct d astfel încât a să fie

situat în interiorul segmentului

c d și a d să fie congruent cu

ac trebuie să demonstrăm că triunghiul

ABC este congruent cu triunghiul

ABD mai întâi Scrieți ipoteza și

concluzia avem triunghiul ABC cu

măsura unghiului A de 90 de grade

se știe că AC este egal cu 4 cm

BC egal cu 5 cm d aparține dreptei

AC astfel încât punctul a să fie

în interiorul segmentului c d și

Ade să fie congruent cu ac concluzie

trebuie să arătăm că triunghiul

ABC este congruent cu triunghiul

ABD iar la punctul B trebuie să

calculăm perimetrul triunghiului

bcd demonstrație unchiul c a b

este un unghi cu măsura de 90 de

grade acesta este adiacent și suplementar

cu unghiul b a d ma rezultat că

măsura unghiului b a d este egală

cu 180 de grade minus 90 adică

90 de grade deci putem observa

că și triunghiul d a b este un

triunghi dreptunghic măsura unghiului

c a b plus măsura unghiului b a

d formează împreună măsura unghiului

c a d care este un unghi alungit

De ce egal cu 180 de grade din

această relație rezultă că măsura

unghiului b a d va fi egală cu

180 de grade minus măsura unghiului

c ab adică egal cu 180 de grade

minus 90 de grade egal cu 90 de

grade Așadar avem Două triunghiuri

dreptunghice pentru a demonstra

congruență acestor două triunghiuri

este suficient să găsim încă două

elemente respectiv congruente se

știe din ipoteza că a c este congruent

cu ad AC și AD fiind catetei în

cele două triunghiuri scrie Acest

lucru AC este congruent cu ad Acest

lucru se știe din ipoteză și observăm

că cele două triunghiuri dreptunghice

mai au o catetă comună aceasta

este AB și Putem să scriem că a

b din triunghiul ABC este congruentă

cu latura ab din triunghiul ABD

Deci am este congruentă cu AB fiind

o latură comună din cele două relații

va rezulta conform cazului de congruență

catetă catetă că triunghiul ABC

este congruent cu triunghiul ABD

congruență acestor două triunghiuri

implică și congruența segmentelor

BD și BC și voi scrie Acest lucru

deoarece ne va folosi la punctul

b b d este congruent cu b c și

notăm această relație cu unu continuăm

cu punctul b trebuie să calculăm

perimetrul triunghiului bcd să

vedem Câți centimetri are fiecare

latură a acestui triunghi b c este

5 cm din ipoteză CD este format

din c a plus a d ce a este 4 cm

și Ade este tot 4 cm Pentru că

se dă în ipoteză că AD este congruent

cu ac Deci egal cu 8 cm Apoi beldie

va fi 5 cm Pentru că am demonstrat

că BD este congruent cu BC din

relația 1 Așadar din aceste relații

vom scrie că perimetrul triunghiului

bcd este egal bc plus c d plus

d d egal mai departe cu 5 cm plus

8 cm plus 5 cm egal cu 18 cm