Conjuncția propozițiilor și a predicatelor. Intersecția mulțimilor

Alexia trecută am discutat despre

negația propozițiilor și a predicatelor

aceea a fost o operație un ara

iar în lecția aceasta și în cele

ce urmează o să discutăm despre

operații binare pentru că acestea

antrenează două propoziții oprim

operație binară este conjuncția

Fiind date două propoziții pe și

q conjuncția acestora se notează

astfel citim p și q și Aceasta

este o propoziție adevărată dacă

și numai dacă propozițiile p și

q sunt adevărate avem și tabelul

de Valori observăm Așadar că propoziția

apeși q este adevărată numai în

situația în care propozițiile p

și q sunt adevărate de exemplu

dacă avem propoziția pe triunghiul

echilateral are toate laturile

congruente Aceasta este o propoziție

adevărată nici valoarea de adevăr

a propoziției pe este 1 avem propoziția

q 26 este divizibil cu 5 Aceasta

este o propoziție falsă acum să

citim propoziții apeși q triunghiul

echilateral are toate laturile

congruente și 26 este divizibil

cu 5 prin urmare valoarea de adevăr

a acestei propoziții este 0 pentru

că este o propoziție falsă 4 mai

mic decât doi este propoziția falsă

nu este multiplu de 3 este o propoziție

adevărată valoarea de adevăr a

conjuncție propozițiilor p și q

este 0 5 este număr natural este

propoziția adevărată 4 plus 6 este

egal cu 10 este o propoziție adevărată

valoarea de adevăr a propoziției

p și q în acest caz este 1 pentru

că propozițiile p și q sunt adevărate

în continuare să discutăm despre

conjuncția predicatelor Fiind date

două predicate pe și q conjuncția

acestora este predicatul p de x

și q de x pentru care propoziția

pe de x și q de x este adevărată

numai pentru acele valori ale lui

x pentru care atât pe dx cât și

q de x sunt adevărate să facem

un exemplu avem predicatul pe x

mai mic sau egal decât 5 unde x

este număr natural predicatul q

de x x divide pe 6 x număr natural

atunci predicatul p de x și q de

x se Formulează astfel x mai mic

sau egal decât 5 x număr natural

și x divide pe 6 x număr natural

să vedem care sunt mulțimile de

adevăr ale acestui predicate mulțimea

de adevăr a predicatului p este

formată din acele numere naturale

mai mici sau egal decât 5 adică

0 1 2 3 4 și 5 mulțimea de adevăr

a predicatului q de x este formată

din divizorii naturali ai numărului

șase Adică 1 2 3 și 6 și acum să

vedem care va fi mulțimea de adevăr

a conjuncții a celor două predicate

trebuie ca x să fie număr natural

mai mic sau egal decât 5 și în

același timp x să fie și un divizor

al lui 6 prin urmare această mulțime

va fi formată din elementele 1

2 și 3 dar observăm că această

mulțime este de fapt intersecția

celor două mulțimi scrise mai sus

în urmare mulțimea de adevăr a

conjuncții a a două predicate este

formată din intersecția mulțimilor

de adevăr ale celor două predicate

o să scriem și această formulă

mulțimea de adevăr a predicatului

p de x și q de x este egală cu

mulțimea de adevăr a predicatului

p intersectată cu mulțimea de adevăr

a predicatului q prin urmare intersecția

a două mulțimi este această mulțime

A acelor elemente x cu proprietatea

că x aparține lui a și x aparține

lui b d intersecția a două mulțimi

se definește prin o conjuncție

dacă dorim să Reprezentăm printr

o diagramă intersecție a două mulțimi

atunci Fiind date cele două mulțimi

A și B această zonă comună reprezintă

intersecția mulțimilor a și b aici

avem elementele x care aparțin

atât mulțimii A cât și mulțimii

B în continuare mă face niște aplicații

Se dau următoarele două propoziții

propoziția pe există x număr real

astfel încât modul din x plus 5

plus modul din x pătrat Minus 25

egal cu 0 propoziția q există x

un număr întreg astfel încât x

pătrat minus 6x plus 8 să fie egal

cu 0 trebuie să stabilim valoarea

de adevăr a propozițiilor p q n

p n q p și q și a negației propoziției

pe și q Pentru a stabili valoarea

de adevăr a propoziției pe trebuie

să vedem dacă există cel puțin

un număr real care verifică aceasta

egalitate Suma a două module este

nulă Dacă fiecare modul în parte

este egal cu zero pentru că modul

din x plus 5 să fie egal cu 0 trebuie

ca x plus 5 să fie egal cu 0 adică

x să fie egal cu minus 5 modul

din x pătrat Minus 25 este 0 dacă

x pătrat Minus 25 este egal cu

0 x pătrat Minus 25 se poate Descompune

în x plus 5 pe lângă x minus 5

egal cu zero prin urmare această

ecuație are două soluții prima

soluție x-1 este egal cu minus

5 și a doua soluție X2 este egal

cu cinci Alex trebuie să verifice

fiecare ecuație în parte prin urmare

singura soluție acceptată este

x egal cu minus 5 din moment ce

am găsit cel puțin un număr real

care verifică această egalitate

înseamnă că această propoziție

existențială este adevărată nici

valoarea de adevăr a propoziției

pe este 1 pentru a afla valoarea

de adevăr a propoziției Bineînțeles

că omul Rezolvă această ecuație

x pătrat minus 6x plus 8 egal cu

0 Delta este egal cu b pătrat minus

4 AC în cazul nostru a este coeficientul

lui x pătrat adică 1b este coeficientul

lui adică minus șase și ce este

termenul liber adică 8 egal în

continuare cu 36 minus 4 ori 8

egal cu 36 minus 32 adică 4 x 1

este egal cu minus b plus radical

din deltă supra 2-a adică 6 plus

radical din 4 2 supra 2 8 supra

2 este egal cu 4 și x 2 este egal

cu minus b minus radical din Delta

supra 2-a egal cu 6 minus 2 supra

2 4 pe 2 egal cu 2 din moment ce

am găsit două valori întregi pentru

care este verificat această ecuație

înseamnă că propoziția existențială

este adevărată Deci valoarea de

adevăr a propoziției q este egală

cu unu în continuare putem să determinăm

foarte rapid valorile de adevăr

ale celorlalte propoziții valoarea

de adevăr a propoziției non p este

0 valoarea de adevăr a propoziției

nuni q este 0 valoarea de adevăr

a propoziției pe și q este 1 pentru

că ambele propoziții sunt adevărate

și valoarea de adevăr a negației

propoziție p și q este egală cu

0 mai facem o multime exercițiu

fie predicatele p de x minus 3

mai mic sau egal decât x plus 1

supra 2 mai mic decât 6 unde x

se număr real și q de x 2x minus

9 mai mic decât 1 unde x este număr

real Determinați mulțimea de adevăr

a predicatului p mulțimea de adevăr

a predicatului q și mulțimea de

adevăr a conjuncții a predicatelor

p și q ca să aflăm mulțimea de

adevăr a predicatului p o să rezolvăm

această inecuația minus 3 mai mic

sau egal decât x plus 1 supra 2

mai mic decât 6 ca să eliminăm

numitorul înmulțim cu doi și avem

că minus 6 este mai mic sau egal

decât x plus unu mai mic decât

12 acum o să scădem pe 1 și avem

minus 7 mai mic sau egal decât

x mai mic decât 11 prin urmare

x aparține intervalului minus 17

aceasta este și mulțimea de adevăr

a predicatului p de x și anume

intervalul închis la minus șapte

deschis la 11 Casa Află mulțimea

de adevăr a predicatului q mo rezolvă

inecuația 2x minus 9 mai mic decât

1 2 x mai mic decât 10 x mai mic

decât 5 x aparține intervalului

minus infinit 5 aceasta va fi mulțimea

de adevăr a predicatului q intervalul

deschis minus infinit 5 atunci

mulțimea de adevăr a predicatului

p și q se obține intersectând cele

două intervale și obținem astfel

intervalul minus șapte cinci putem

să ne vedem ție macea stă intersecție

și pe o axă avem axa numerelor

reale minus infinit plus infinit

originea undeva aici este minus

7 aici ar fi 5 și 11 intervalul

minus 7 11 închis la minus 7 și

deschis la 11 este această porțiune

hașurată apoi intervalul deschis

minus infinit 5 este această porțiune

hașurată cu verde intersecția celor

două intervale este porțiunea de

pe axa hașurată cu ambele culori

adică intervalul minus șapte cinci