Criterii de asemănare a triunghiurilor
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
criterii de asemănare a triunghiurilor
pentru a demonstra că două triunghiuri
sunt asemenea nu este nevoie să
verificăm toate cele trei relații
de congruență dintre unghiurile
acestora respectiv relația de proporționalitate
dintre toate cele trei laturi așa
cum rezultă din temele următoare
pe care o să le numim cazuri de
asemănare este suficient să verificăm
doar două condiții Și începem cu
primul caz de asemănare două triunghiuri
sunt asemenea dacă au două unghiuri
respectiv congruente Demonstrați
teoremă Avem două triunghiuri a
b c și a prim b prim c prim Se
știe că unghiul A este congruent
cu unghiul a prim și unghiul b
este congruent cu unghiul b prim
trebuie să demonstrăm că cele două
triunghiuri sunt asemenea pentru
aceasta o să facem o construcție
ajutătoare o să ducem o paralelă
la dreapta BC pe care o notăm cu
MN astfel încât segmentul a m să
fie congruent cu segmentul a prim
b prim ne propunem Să arătăm că
triunghiul a m n este congruent
cu triunghiul a prim b prim c prim
și că triunghiul a m n este asemenea
cu triunghiul ABC dacă reușim să
demonstrăm aceste două lucruri
va rezulta că triunghiul ABC este
asemenea cu triunghiul a prim b
prim c prim dacă MN este paralelă
cu bc va rezulta a că unghiul a
m n este congruent cu unghiul a
b c fiind unghiuri corespondente
unghiul amn va fi congruent cu
unghiul abc pentru că sunt unghiuri
corespondente însă unghiul abc
este congruent cu unghiul a prim
b prim c prim din ipoteză din aceste
două relații va rezulta că unghiul
a m n este congruent cu unghiul
a prim b prim c prim și acum Să
arătăm că triunghiul a m n este
congruent cu triunghiul a prim
b prim c prim se știe din ipoteză
că unghiul A este congruent cu
unghiul a prim apoi segmentul a
m este congruent cu a prim b prim
din construcția făcută a m congruent
cu a prim b prim Pentru că așa
am construit segmentul a m iar
unghiul a m n este congruent cu
unghiul a prim b prim c prim pentru
că tocmai am arătat acest lucru
din aceste trei relații va rezulta
conform cazului de congruență unghiul
a triunghi ca triunghiul a m n
este congruent cu triunghiul a
prim b prim c prim dacă MN este
paralelă cu bc rezultă conform
teoremei fundamentale a asemănării
că triunghiul amn este asemenea
cu triunghiul abc m este paralelă
cu bc și atunci rezultă din teoremă
fundamentală a asemănării că triunghiul
a m n este asemenea cu triunghiul
abc dar triunghiul a m n fie n
congruent cu triunghiul a prim
b prim c prim va rezulta că triunghiul
abc este asemenea cu triunghiul
a prim b prim c prim am demonstrat
astfel primul caz de asemănare
sau criteriu pe care o să reamintesc
două triunghiuri sunt asemenea
dacă au două unghiuri respectiv
congruente astfel dacă unghiul
A este congruent cu unghiul a prim
iar unghiul b este congruent cu
unghiul b prim rezultă că triunghiul
ABC este asemenea cu triunghiul
a prim b prim c prim ia din această
relație de asemănare va mai rezultat
că unghiul c este congruent cu
unghiul c prim și că laturile acestuia
două triunghiuri sunt proporționale
a b supra a prim b prim este egal
cu AC supra a prim c prim și egal
cu bc supra b prim c prim a doua
pe o armă pe care nu o să mai demonstrez
sau cazul 2 de asemănare se va
anunța astfel două triunghiuri
sunt asemenea dacă au două laturi
respectiv proporționale și unghiurile
dintre acestea congruente dacă
unghiul A este congruent cu unghiul
a prim și laturile care formează
unghiurile a și a prim sunt proporționale
adică a b supra a prim b prim este
egal cu AC supra a prim c prim
atunci va rezulta că triunghiul
ABC este asemenea cu triunghiul
a prim b prim c prim iar din asemănarea
lor rezultat că unghiurile b și
b prim sunt congruente la fel și
unghiurile c și c prim și va mai
rezultat că toate cele trei laturi
ale triunghiurilor vor fi proporționale
teorema 3 sau cazul 3 de asemănare
două triunghiuri sunt asemenea
dacă au toate laturile respectiv
proporționale Dacă AB supra a prim
b prim este egal cu a c supra a
prim c prim și a egal cu b c supra
b prim c prim atunci va rezulta
că triunghiurile sunt asemenea
iar din asemănarea acestora va
rezultată toate cele trei unghiuri
corespondente sunt congruente Unghiul
ABC congruent cu unghiul a prim
unghiul b cu unghiul b prim și
unghiul c cu unghiul c prim observăm
că din asemănare a triunghiurilor
putem de duce congruențe de unghiuri
sau egalități de rapoarte astfel
pentru a demonstra congruență unor
unghiuri avem acum două posibilități
Fie încadrăm unghiurile în două
triunghiuri congruente fie le încadrăm
în două triunghiuri asemenea în
continuare o să facem o aplicație
Demonstrați că la portul ariilor
a doua triunghiuri asemenea este
egal cu pătratul raportului lor
de asemănare Avem două triunghiuri
a b c și a prim b prim c prim asemenea
trebuie să arătăm că raportul dintre
aria triunghiului ABC și aria triunghiului
a prim b prim c prim este egal
cu ab supra a prim b prim totul
la pătrat am construit înălțimile
în cele două triunghiuri a m și
a prim m prim fie a m perpendiculară
pe BC și în acest caz aria triunghiului
abc ca fie egală cu baza BC ori
înălțimea a m supra 2 iar dacă
a prim m prim este perpendiculară
pe b prim c prim atunci aria triunghiului
a prim b prim c prim este egală
cu b prim c prim ori a prim n prim
supra 2 se știe din ipoteză că
triunghiul ABC este asemenea cu
triunghiul a prim b prim c prim
în acest caz Putem să scriem următoarea
egalitate de rapoarte a b supra
a prim b prim a fi egal cu b c
supra b prim c prim egal cu AC
supra a prim c prim tot din relația
de asemănare a celor două triunghiuri
mai rezultă că unghiul b este congruent
cu unghiul b prim deoarece două
triunghiuri asemenea au toate unghiurile
respectiv congruente să ne uităm
la triunghiurile abm și a prim
b prim m prim observăm că aceste
două triunghiuri sunt asemenea
deoarece au două unghiuri respectiv
congruente unghiul b este congruent
cu unghiul b prim și unghiul a
m b este congruent cu unghiul a
prim m prim b prim deoarece sunt
unghiuri drepte unghiul a m b este
congruent cu unghiul a prim m prim
b prim deoarece acestea au măsura
egală cu 90 de grade in aceste
două relații va rezulta conform
primului ca el de asemănare că
triunghiul abm este asemenea cu
triunghiul a prim b prim m prim
din asemănarea acestor două triunghiuri
va rezulta următoarea egalitate
de rapoarte Abel supra a prim b
prim este egal cu a m supra a prim
m prim și egal cu BM supra b prim
m prim acum să exprimăm raportul
ariilor al celor două triunghiuri
aria triunghiului ABC supra aria
triunghiului a prim b prim c prim
a fi egal cu bc ori a m supra 2
supra b prim c prim ori a prim
m prim supra 2 împărțim prima fracție
la a doua De ce ori a m supra 2
împărțit la b prim c prim ori a
prim m prim supra 2 pentru a împărți
două fracții înmulțim prima fracție
cu invers a celei de a doua se
simplifică doi doi și obținem b
c ori a m supra b prim c prim ori
a prim m prim această fracție se
poate scrie ca un produs de două
fracții b c supra b prim c prim
ori a m supra a prim m prim însă
b c supra b prim c prim este egal
cu a b supra a prim b prim iar
a m supra a prim m prim este egal
cu ab supra a prim b prim îmi scrie
el mai departe cu ab supra a prim
b prim ori a b supra a prim b prim
care va fi egal cu a b supra a
prim b prim totul la pătrat am
demonstrat Așadar că raportul ariilor
a doua triunghiuri asemenea este
egal cu pătratul raportului de
asemănare