Determinanți de ordin 2 și 3

fiecărei matrici pătratice de ordinul

n cu elemente în mulțimea numerelor

complexe de putem asociau un număr

complex numit determinantul matricei

a și notat în aceste trei moduri

această caracteristică numerică

o Vom utiliza pentru a caracteriza

matricele inversabile dar și în

rezolvarea sistemelor de ecuații

liniare determinantul matricei

pătratice de ordinul n volumul

Meme determinant de ordin n pentru

o matrice pătratică de ordin 1

matricea a are expresia a11 o singură

linie respectiv o singură coloană

iar determinantul aceste Matrice

că definim ca fiind egal cu elementul

a11 pentru o matrice pătratică

de ordinul 2 matricea a are două

linii și două coloane fiecărui

element al matricei a ne putem

asocia un semn calculat după următoarea

regulă minus 1 la puterea linia

plus coloana pe care se găsește

elementului a11 îi asociem Semnul

plus elementului a12a asociem semnul

minus elementului a21 asociem semnul

minus și în sfârșit elementului

a22 îi asociem Semnul plus determinantul

de ordinul doi se calculează ca

fiind suma algebrică a produselor

dintre elementele unei linii și

determinanții obținuți prin ignorarea

liniilor și coloanelor care conțin

aceste elemente Dacă vom considera

Spre exemplu linia întâi acest

determinant nu putem calcula ca

fiind produsul dintre elementul

a11 și determinantul obținut prin

notarea liniei întâi coloane 1

rămânând elementul a22 minus al

doilea element din linia 1 adică

a 1 2 înmulțit cu determinantul

obținut prin nararea liniei 1 și

a coloanei 2 elementul a21 sau

cu alte cuvinte mai ușor de reținut

Din produsul elementelor de pe

prima diagonală vom scădea produsul

elementelor de pe diagonala secundară

să calculăm acum determinantul

aceste Matrice înmulțirea astfel

pe unu cu patru și vom scădea produsul

2 ori 3 rezultatul obținut este

astfel 4 minus 6 adică minus 2

să vedem acum cum vom defini determinantul

de ordinul 3 ca și În exemplul

precedent asociem fiecărui element

al acestei Matrice semnul corespunzător

aceleiași reguli adică minus 1

la puterea linia plus coloana pe

care se găsește acest aliment Iar

determinantul îl putem defini în

același mod adică se calculează

suma algebrică a produselor dintre

elementele unei linii și determinanții

obținuți prin ignorarea liniilor

și coloanelor conțin aceste elemente

astfel Dacă vom considera linia

întâi înmulțim Așadar elementul

a11 cu determinantul obținut prin

ignorarea liniei 1 și a coloanei

1 adică a22 a23 a32 a33 A minus

a12 înmulțit cu determinantul obținut

prin ignorarea liniei 1 și a coloanei

2 a21 a23 a31 a33 plus a 1 3 înmulțit

cu determinantul obținut prin ignorarea

liniei 1 și a coloanei 3 adică

a21 a22 a31 a32 să calculăm acum

determinantul de ordinul 3 dacă

avem în vedere linia întâi înmulțim

elementul 1 cu determinantul minus

1 1 1 2 minus 2 înmulțit cu determinantul

2 1 0 2 plus elementul 3 înmulțit

cu determinantul 2 minus 1 0 1

cu alte cuvinte obținem astfel

1 înmulțit cu minus doi minus unu

minus 3 minus 2 înmulțit cu 4 minus

0 4 plus 3 înmulțit cu 2 minus

0 2 minus 3 minus 8 plus 6 adică

minus 5 determinanți de ordin 3

poți Calculați și prin alte metode

specifice doar acestor determinanți

Să considerăm acum aceeași Matrice

și să calculăm acest determinant

pentru o altă metodă vom Rescrie

primele două coloane ale acestui

determinant unu doi zero doi minus

unu unu și vom Calculați suma produselor

elementelor de pe prima diagonală

respectiv a elementelor care se

găsesc pe linii paralele cu prima

diagonală din care vom scădea produsele

elementelor de pe diagonala secundară

respectiv a elementelor care se

găsesc pe linii paralele cu diagonala

secundară Astra înmulțim 1 cu minus

1 cu 2 plus 2 înmulțit cu 1 înmulțit

cu 0 plus 3 înmulțit cu 2 înmulțit

cu 1 minus 3 înmulțit cu minus

1 înmulțit cu 0 minus 1 înmulțit

cu 1 înmulțit cu 1 minus 2 înmulțit

cu 2 înmulțit cu 2 obținem astfel

a minus 2 plus 0 plus 6 minus 0

minus 1 minus 8 Adică 4 minus 1

3 minus 8 minus 5 metoda de calcul

descrisă mai sus este întâlnită

sub numele de regula lui sarrus

care poate fi aplicată rescriind

și linii în loc de coloane Considerând

o altă Matrice să calculăm determinantul

acesteia rescriind în locul celor

două coloane linii rescriem Așadar

linia 1 1 minus 1 0 2 3 minus 1

și procedăm la fel înmulțim pe

1 cu 3 cu minus 2 plus 2 ori 1

ori 0 plus 0 minus 1 ori minus

1 minus 0 ori trei ori 0 minus

minus 1 ori 1 ori 1 minus minus

2 ori minus 1 ori 2 minus 2 ori

minus 1 ori 2 obținem Așadar minus

șase plus zero plus zero zero plus

1 minus 4 adică minus 10 plus 1

minus 9 Se consideră Ma acum determinantul

precedent și să îl calculăm utilizând

altă metodă și anume regula triunghiului

vom calcula suma produselor elementelor

aflate pe prima diagonală respectiv

produsele elementelor aflate în

vârfurile triunghiului cu o latură

paralelă cu prima diagonală din

care vom scădea produsul elementelor

aflate pe diagonala secundară respectiv

aflate în vârfurile triunghiurilor

cu o latură paralelă cu diagonala

secundară astfel vom înmulțim elementele

1 ori 3 ori minus 2 plus zero înmulțit

cu 2 ore unu plus 0 înmulțit cu

minus 1 ori minus 1 minus 0 ori

3 ori 0 minus minus 2 minus 2 înmulțit

cu 2 ori minus unu și minus 1 înmulțit

cu 1 vorbi nu sun obținem astfel

determinantul minus 6 plus 0 plus

0 minus 0 minus 4 plus unu adică

minus 9