Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Determinanți de ordin n

Tag-uri

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
1 voturi 48 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această secțiune vom defini

determinantul unei matrici pătratice

de ordinul n ca o generalizare

a definițiilor determinanților

de ordin 2 respectiv 3 avem aici

definiția determinantului de ordinul

2 iar Aici definiția determinantului

de ordin 3 cu calculele efectuate

cu alte cuvinte am definit determinantul

de ordin 2 respectiv de ordin 3

ca o sumă de produse dintre elementele

unei linii și determinanții obținuți

prin ignorarea liniilor și coloanelor

care conțin acele elemente Ținând

cont și de semnul Asociați fiecărui

element în funcție de poziția pe

care o ocupă în determina de asemenea

observăm că determinantul de ordinul

2 la definit cu ajutorul determinantului

de ordinul întâi iar determinantul

de ordinul 3 la n definit cu ajutorul

determinantului de ordinul 2 în

defini Așadar determinantul de

ordin n cu ajutorul celui de ordin

n minus unu în mod asemănător pentru

aceasta trebuie să stabilim mai

întâi câteva convenții de notații

și considerăm un determinant de

ordin n în care am evidențiat linia

respectiv coloana j determinantul

de ordin n minus unu care se obține

ignorând linia respectiv coloana

j din acest determinant se numește

minorul elementului a j și se notează

cu d e j numărul Delta l egal cu

minus 1 la puterea y plus z înmulțit

cu DJ poartă numele de complementul

algebric al elementului Asia cu

aceste convenții de notații putem

defini determinantul de ordinul

n ca fiind suma produselor dintre

elementele liniei și complemente

săi algebrice asta relație poartă

numele de dezvoltarea determinantului

după linia e Dacă vom Calculați

suma produselor elementelor unei

coloane cu complemente algebrici

corespunzători obținem valoarea

aceluiași determinant motiv pentru

care putem scrie și această relație

numită dezvoltarea determinantului

după coloana j și calculăm acum

un determinant de ordin 4 putem

calcula acest determinant dezvoltând

după orice linie sau după orice

coloană dar ca să ne ușurăm calculul

alegem linii sau coloane care conțin

cât mai multe zerouri Cum acest

determinant are pe fiecare linie

respectiv pe fiecare coloană câte

un zero și din acest motiv putem

dezvolta determinantul după orice

linie respectiv orice coloană vom

Calculați determinantul folosind

dezvoltarea după coloana A 4-a

astfel gandul este egal cu 2 înmulțit

cu complementul său algebric Delta

1 4 plus zero înmulțit cu Delta

2 4 plus 4 înmulțit cu Delta 3

4 și plus minus 2 înmulțit cu Delta

4 4 să calculăm unui minor care

corespunde elementului 1 4 ignorăm

Așadar linia 1 coloana 4 și obținem

determinantul minus 2 3 1 0 minus

1 2 1 minus 3 0 pe care îl vom

calcula dezvoltând după linia a

doua Așadar avem 0 se găsește pe

linia a doua coloana 1 decea vem

asociat semnul minus zero înmulțit

cu minorul obținut ignorarea liniei

2 și a coloanei unu adică trei

unu minus trei zero elementului

minus unu ia aveam asociat Semnul

plus pentru că se găsește pe linia

a doua coloana a doua Deci plus

minus 1 înmulțit cu minus 2 1 1

0 minus doi înmulțit cu minus doi

trei unu minus trei adică minus

1 înmulțit cu minus 1 a minus 2

înmulțit cu 6 minus 3 3 obținem

Așadar acest minor egal cu 1 minus

6 adică minus 5 pentru că următorul

complement algebrică este înmulțit

cu 0 nu îl vom calcula vom calcula

în schimb minorul care corespund

a elementului 3 4 adică suprim

am linia 3 coloana 4 și obținem

determinantul 1 0 minus 1 minus

doi trei unu unu minus trei zero

pe care îl vor calcula Folosind

regula lui sarrus copiem primele

două coloane ale acestui determinant

1 minus 2 1 0 3 minus 3 și efectuând

produsele elementelor de pe prima

diagonală și a celor care se află

pe linii paralele cu această diagonală

Adică 1 ori trei ori 0 plus 0 ori

1 ori 1 plus minus 1 ori minus

2 ori minus 3 scăzând produsul

elementelor de pe diagonala secundară

respectivă aflate pe linii paralele

cu diagonala secundară Deci minus

minus 1 înmulțit cu 3 înmulțit

cu 1 minus 1 înmulțit cu 1 înmulțit

cu minus 3 minus zero înmulțit

cu minus 2 înmulțit cu 0 obținem

Așadar 0 plus 0 minus 6 plus 3

plus 3 minus zero adică 0 în mod

Analog să calculăm și minorul caracteristic

elementului de pe linia 4 respectiv

coloana 4 care are expresia sub

am Așadar linia 4 coloana 4 1 0

minus 1 minus 2 3 1 0 minus unu

doi acest determinantul vom calcula

Folosind regula triunghiului înmulțim

așa dar elementele aflate pe prima

diagonală unu ori trei ori 2 plus

minus 1 ori minus 2 ori minus 1

minus 1 ori minus 2 ori minus 1

plus 0 ori 0 ori 1 minus 0 ori

3 ori minus 1 minus 2 ori minus

2 ori 0 minus 1 ori minus 1 ori

1 obținem Așadar 6 minus 2 plus

0 minus 0 minus 0 plus unu adică

5 întorcând un Nela calculul determinantului

de ordinul patru îl vom nota cu

d și vom locui elementele determinate

mai sus obținem astfel valoarea

determinantului ca fiind egală

cu 2 înmulțită cu minus 1 la puterea

1 plus 4 înmulțit cu de14 care

era egal cu minus 5 plus 4 înmulțit

cu Delta 3 4 adică minus 1 la puterea

3 plus 4 ori de trei patru adică

înmulțit cu 0 plus minus 2 înmulțit

cu Delta 4 4 adică minus 1 la puterea

4 plus 4 înmulțit cu 5 efectuând

calculele obținem minus 2 înmulțit

cu minus 5 minus 2 înmulțit cu

5 adică 0 determinantul de ordinul

n poate fi calculat și în alt mod

Să analizăm din nou formulele de

calcul pentru determinantul de

ordin 2 respectiv pentru cel de

ordinul trei observăm că termeni

acestor determinanți sunt produse

de L M care aparțin la linii și

la coloane diferite și în același

timp orice fel de produs este termen

al acestui determinant această

observație sugerează faptul că

termenii determinantului de ordinul

doi pot fi Rescrie și astfel A1

Sigma 1-a 2 Sigma 2 unde Sigma

aparține lui S2 iar pentru cel

de ordinul 3 au 1 Sigma de 1 a

2 Sigma de 2-a 3 Sigma de 3 unde

sa mai este o permutare de ordin

3 mai rămâne De precizat semnul

fiecărui termen care apare în determinant

să luăm Spre exemplu termenul din

determinantul de ordinul 3 a12

a23 a31 acestui termen II corespunde

permutarea Sigma care are expresia

lui unu îi corespunde doi lui 2-a

corespunde 3 iar lui 3 îi corespunde

1 pentru această permutare avem

inversiunea 2 1 respectiv trei

unu Așadar numărul de inversiuni

ale acestei permutări este 2 Iar

semnul aceste permutări este minus

1 la puterea a doua adică 1 Dacă

vom considera un alt termen al

acestui determinant al cincilea

termen acestui termen de corespunde

permutarea Sigma care are expresia

lui unui corespunde 1 lui 2 corespunde

trei noi trei corespunde doi pentru

această permutare avem o singură

inversiune și anume inversiunea

2 3 atunci m de Sigma este 1 iar

epsilon de Sigma este egal cu minus

1 Așadar dacă permutarea asociată

termenului este pară semnul acestui

termen este plus iar dacă permutarea

este impară semnul acestui termen

este minus cu alte cuvinte semnul

termenului din determinant este

de fapt semnul permutarii asociate

putem defini acum determinantul

de ordin n ca fiind suma după Sigma

permutare din Sen din produse de

forma ats Alin de Sigma ori A1

Sigma 1 ori A2 Sigma 2 ori n siegmeyer

să facem și câteva observații cu

privire la informațiile pe care

ni le oferă această exprimare a

determinantului și anume ne reamintim

că iese n numărul de permutări

de ordin n este n factorial ca

atare în ton de terminat de ordinul

n vom avea el factorial termen

de asemenea ne reamintim că numărul

de permutări pare de ordin n este

n factorial supra 2 ca și numărul

de permutări de ordin impar Așadar

vom avea din factorial supra 2

termin cu semnul plus și tot el

factorial termin cu semnul minus

în expresia unui determinant de

ordin O ultimă observație ar fi

aceea să nu confundăm o matrice

cu determinantul deoarece matricea

este o funcție iar determinantul

este un număr și în același timp

să nu confundăm notațiile acestor

două noțiuni

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri