Determinanți de ordin n
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această secțiune vom defini
determinantul unei matrici pătratice
de ordinul n ca o generalizare
a definițiilor determinanților
de ordin 2 respectiv 3 avem aici
definiția determinantului de ordinul
2 iar Aici definiția determinantului
de ordin 3 cu calculele efectuate
cu alte cuvinte am definit determinantul
de ordin 2 respectiv de ordin 3
ca o sumă de produse dintre elementele
unei linii și determinanții obținuți
prin ignorarea liniilor și coloanelor
care conțin acele elemente Ținând
cont și de semnul Asociați fiecărui
element în funcție de poziția pe
care o ocupă în determina de asemenea
observăm că determinantul de ordinul
2 la definit cu ajutorul determinantului
de ordinul întâi iar determinantul
de ordinul 3 la n definit cu ajutorul
determinantului de ordinul 2 în
defini Așadar determinantul de
ordin n cu ajutorul celui de ordin
n minus unu în mod asemănător pentru
aceasta trebuie să stabilim mai
întâi câteva convenții de notații
și considerăm un determinant de
ordin n în care am evidențiat linia
respectiv coloana j determinantul
de ordin n minus unu care se obține
ignorând linia respectiv coloana
j din acest determinant se numește
minorul elementului a j și se notează
cu d e j numărul Delta l egal cu
minus 1 la puterea y plus z înmulțit
cu DJ poartă numele de complementul
algebric al elementului Asia cu
aceste convenții de notații putem
defini determinantul de ordinul
n ca fiind suma produselor dintre
elementele liniei și complemente
săi algebrice asta relație poartă
numele de dezvoltarea determinantului
după linia e Dacă vom Calculați
suma produselor elementelor unei
coloane cu complemente algebrici
corespunzători obținem valoarea
aceluiași determinant motiv pentru
care putem scrie și această relație
numită dezvoltarea determinantului
după coloana j și calculăm acum
un determinant de ordin 4 putem
calcula acest determinant dezvoltând
după orice linie sau după orice
coloană dar ca să ne ușurăm calculul
alegem linii sau coloane care conțin
cât mai multe zerouri Cum acest
determinant are pe fiecare linie
respectiv pe fiecare coloană câte
un zero și din acest motiv putem
dezvolta determinantul după orice
linie respectiv orice coloană vom
Calculați determinantul folosind
dezvoltarea după coloana A 4-a
astfel gandul este egal cu 2 înmulțit
cu complementul său algebric Delta
1 4 plus zero înmulțit cu Delta
2 4 plus 4 înmulțit cu Delta 3
4 și plus minus 2 înmulțit cu Delta
4 4 să calculăm unui minor care
corespunde elementului 1 4 ignorăm
Așadar linia 1 coloana 4 și obținem
determinantul minus 2 3 1 0 minus
1 2 1 minus 3 0 pe care îl vom
calcula dezvoltând după linia a
doua Așadar avem 0 se găsește pe
linia a doua coloana 1 decea vem
asociat semnul minus zero înmulțit
cu minorul obținut ignorarea liniei
2 și a coloanei unu adică trei
unu minus trei zero elementului
minus unu ia aveam asociat Semnul
plus pentru că se găsește pe linia
a doua coloana a doua Deci plus
minus 1 înmulțit cu minus 2 1 1
0 minus doi înmulțit cu minus doi
trei unu minus trei adică minus
1 înmulțit cu minus 1 a minus 2
înmulțit cu 6 minus 3 3 obținem
Așadar acest minor egal cu 1 minus
6 adică minus 5 pentru că următorul
complement algebrică este înmulțit
cu 0 nu îl vom calcula vom calcula
în schimb minorul care corespund
a elementului 3 4 adică suprim
am linia 3 coloana 4 și obținem
determinantul 1 0 minus 1 minus
doi trei unu unu minus trei zero
pe care îl vor calcula Folosind
regula lui sarrus copiem primele
două coloane ale acestui determinant
1 minus 2 1 0 3 minus 3 și efectuând
produsele elementelor de pe prima
diagonală și a celor care se află
pe linii paralele cu această diagonală
Adică 1 ori trei ori 0 plus 0 ori
1 ori 1 plus minus 1 ori minus
2 ori minus 3 scăzând produsul
elementelor de pe diagonala secundară
respectivă aflate pe linii paralele
cu diagonala secundară Deci minus
minus 1 înmulțit cu 3 înmulțit
cu 1 minus 1 înmulțit cu 1 înmulțit
cu minus 3 minus zero înmulțit
cu minus 2 înmulțit cu 0 obținem
Așadar 0 plus 0 minus 6 plus 3
plus 3 minus zero adică 0 în mod
Analog să calculăm și minorul caracteristic
elementului de pe linia 4 respectiv
coloana 4 care are expresia sub
am Așadar linia 4 coloana 4 1 0
minus 1 minus 2 3 1 0 minus unu
doi acest determinantul vom calcula
Folosind regula triunghiului înmulțim
așa dar elementele aflate pe prima
diagonală unu ori trei ori 2 plus
minus 1 ori minus 2 ori minus 1
minus 1 ori minus 2 ori minus 1
plus 0 ori 0 ori 1 minus 0 ori
3 ori minus 1 minus 2 ori minus
2 ori 0 minus 1 ori minus 1 ori
1 obținem Așadar 6 minus 2 plus
0 minus 0 minus 0 plus unu adică
5 întorcând un Nela calculul determinantului
de ordinul patru îl vom nota cu
d și vom locui elementele determinate
mai sus obținem astfel valoarea
determinantului ca fiind egală
cu 2 înmulțită cu minus 1 la puterea
1 plus 4 înmulțit cu de14 care
era egal cu minus 5 plus 4 înmulțit
cu Delta 3 4 adică minus 1 la puterea
3 plus 4 ori de trei patru adică
înmulțit cu 0 plus minus 2 înmulțit
cu Delta 4 4 adică minus 1 la puterea
4 plus 4 înmulțit cu 5 efectuând
calculele obținem minus 2 înmulțit
cu minus 5 minus 2 înmulțit cu
5 adică 0 determinantul de ordinul
n poate fi calculat și în alt mod
Să analizăm din nou formulele de
calcul pentru determinantul de
ordin 2 respectiv pentru cel de
ordinul trei observăm că termeni
acestor determinanți sunt produse
de L M care aparțin la linii și
la coloane diferite și în același
timp orice fel de produs este termen
al acestui determinant această
observație sugerează faptul că
termenii determinantului de ordinul
doi pot fi Rescrie și astfel A1
Sigma 1-a 2 Sigma 2 unde Sigma
aparține lui S2 iar pentru cel
de ordinul 3 au 1 Sigma de 1 a
2 Sigma de 2-a 3 Sigma de 3 unde
sa mai este o permutare de ordin
3 mai rămâne De precizat semnul
fiecărui termen care apare în determinant
să luăm Spre exemplu termenul din
determinantul de ordinul 3 a12
a23 a31 acestui termen II corespunde
permutarea Sigma care are expresia
lui unu îi corespunde doi lui 2-a
corespunde 3 iar lui 3 îi corespunde
1 pentru această permutare avem
inversiunea 2 1 respectiv trei
unu Așadar numărul de inversiuni
ale acestei permutări este 2 Iar
semnul aceste permutări este minus
1 la puterea a doua adică 1 Dacă
vom considera un alt termen al
acestui determinant al cincilea
termen acestui termen de corespunde
permutarea Sigma care are expresia
lui unui corespunde 1 lui 2 corespunde
trei noi trei corespunde doi pentru
această permutare avem o singură
inversiune și anume inversiunea
2 3 atunci m de Sigma este 1 iar
epsilon de Sigma este egal cu minus
1 Așadar dacă permutarea asociată
termenului este pară semnul acestui
termen este plus iar dacă permutarea
este impară semnul acestui termen
este minus cu alte cuvinte semnul
termenului din determinant este
de fapt semnul permutarii asociate
putem defini acum determinantul
de ordin n ca fiind suma după Sigma
permutare din Sen din produse de
forma ats Alin de Sigma ori A1
Sigma 1 ori A2 Sigma 2 ori n siegmeyer
să facem și câteva observații cu
privire la informațiile pe care
ni le oferă această exprimare a
determinantului și anume ne reamintim
că iese n numărul de permutări
de ordin n este n factorial ca
atare în ton de terminat de ordinul
n vom avea el factorial termen
de asemenea ne reamintim că numărul
de permutări pare de ordin n este
n factorial supra 2 ca și numărul
de permutări de ordin impar Așadar
vom avea din factorial supra 2
termin cu semnul plus și tot el
factorial termin cu semnul minus
în expresia unui determinant de
ordin O ultimă observație ar fi
aceea să nu confundăm o matrice
cu determinantul deoarece matricea
este o funcție iar determinantul
este un număr și în același timp
să nu confundăm notațiile acestor
două noțiuni