Determinism impredictibil în teoria haosului. Geometrie fractală.

în cele două Lecție despre elemente

de teoria haosului continuăm discuția

din lecția trecută precizând de

lut aceasta Ce înțelegem prin teoria

haosului general Și apoi vom discuta

despre geometria fractală Care

este o ramură a teoriei Generale

a haosului în lecția trecută am

folosit mecanica clasică pentru

a defini noțiunile de determinism

predictibil și impredictibil și

pentru a introduce noțiunile de

spațiu fazelor și atractori putem

acum trece la primele noțiuni foarte

generale de elemente de teoria

haosului În primul rând haosul

este definit ca și comportarea

deterministă dar impredictibil

a unui sistem Deci Cuvântul cheie

este impredictibilitatea mai concret

spus haosul în știință matematica

și știi modernă nu înseamnă aleatoriu

o comportare haotică înseamnă aleatorie

o comportare aleatorie si impredictibilă

dar deterministă mai exact știm

toate ecuațiile de bază în principiu

cunoaștem comportarea sistemului

în elementele sale de bază Dar

el este atât de complicat încât

rezolvarea ecuațiilor devine foarte

dificilă de multe ori imposibilă

ducând la această impredictibilitate

Deci House ul pe scurt înseamnă

determinism impredictibil a unui

sistem motivele pentru care această

comportare haotică după cum am

spus determinist impredictibilă

a unui sistem sunt următoarele

cele opt puse motivelor pentru

care un sistem din fizica clasică

este predictibil după cum am discutat

lecția trecută motivele sunt următoarele

ecuațiile diferențiale nu mai sunt

liniare ce devin neliniare asta

înseamnă că puterea derivatelor

devine mai mare decât unul spre

exemplu în lecția trecută am considerat

un oscilator armonic Care este

un sistem predictibil o și latură

armonic are următoarea ecuație

masa înmulțită cu derivata de ordinul

2 hailong alții în raport cu timpul

adică accelerația oscilatorului

Plus forța lui Care este constanta

elastica înmulțită cu elongația

este egal cu 0 Deci aceasta este

ecuația unui oscilator armonic

și după cum am văzut comportarea

lui bineînțeles este predictibilă

în sensul că putem rezolva toate

că putem rezolva această ecuație

în toate condițiile inițiale sau

cu orice variație a parametrilor

m și k un exemplu de sistem hotic

ar fi un sistem în care puterea

derivatei ar fi de ordinul doi

adică accelerații nu ar mai fi

unul Ce ar fi să zicem 3 și de

asemeni puterea elongații în sine

care să zicem este derivată de

ordinul 0 adică funcția în sine

ar fi nu ar mai fi nici unu și

ar fi să zicem 2 acest sistem un

sistem care ar avea la bază care

ar fi de scris de un astfel de

ecuație Adică o ecuație diferențială

neliniara ar fi un sistem How tic

adică cu comportare impredictibilă

în timp după cum iarăși am discutat

în detaliu în lecția trecută o

caracteristică tipică a sistemelor

haotice este instabilitatea față

de parametri și condițiile inițiale

condițiile inițiale în cazul acesta

în exemplul acesta ar fi setul

inițial v 0 y 0 ca să rezolvăm

ecuație ne trebuie condițiile inițiale

adică valorile vitezei și elongații

lama un moment dat a 0 iar parametrii

în acest caz sunt ca și m instabilitatea

înseamnă cu o variație mică a unuia

dintre acești patru parametri duce

la o variație foarte mare exagerată

aparițiilor y de Deci cu variații

mică a lui v 0 0 km duce la o variație

mare în soluția de trei adică elongația

ca funcție de Timp Aceasta este

instabilitatea față de parametrii

și condițiile inițiale consecințele

unui astfel de sistem unor astfel

de ecuații și astfel de comportări

ale soluțiilor sunt traiectorii

în spațiul fazelor complicate bifurcate

și necorelate Adică dacă luăm un

astfel de sistem și îi Reprezentăm

evoluția în timp prin aceste traiectorii

în spațiul fazelor Care este spațiul

viteză poziție pe aer sau în notația

oscilatorului armonic poziția este

lângă aceeai Deci vei e y curbe

simple și simetrice din cazul mecanicii

clasice pe care am văzut în lecția

trecută și comportări foarte complicate

care au bifurcații deci traiectoriile

sunt foarte complicate și nu sunt

unice Deci Pe măsură ce sistemul

evoluează el se poate bifurca în

varii puncte în comportări necorelate

aceasta implică printre alte lucruri

această instabilitate față de parametri

și condiții inițiale Spre exemplu

condiție inițială este Punctul

de plecare a unei traiectorii Hei

în cazul unei astfel de traiectorii

dacă plecăm din tu un punct un

punct foarte puțin diferit Deci

un pic mai la stânga sau mai sus

în spațiul fazelor putem gen stări

finale foarte diferite pe una din

traiectoriile care sau bifurcat

de ce acest sistem de vine greu

predictibil sau impredictibil Pe

măsură ce valorează traiectoria

lui devenind din 5 mai complicată

și dacă vreți întâlnim Ba și mai

puțin la care e mai stufoasă în

felul în care arată această traiectorie

în spațiul fază exista atractori

în cazul sistemelor haotice dar

ei devin așa numita tractor stranii

Adică care sunt mult mai greu de

prins this locația lor și bazinul

lor de atracție în limbajul pe

cala îndeplinit în lecția trecută

sunt greu de definit și studiat

în general teoria House lui și

studiile sistemelor haotice se

fac prin simulări pe calculat pe

sisteme de calculatoare Deci se

fac calcule destul de intense pentru

a putea obține un anumit nivel

de predictibilitate a unui sistem

haotică soluțiile analitice prin

rezolvarea ecuațiilor fim foarte

greu de obținut sau aproape niciodată

posibil de obținut aplicațiile

teoriei haosului sunt foarte multe

fiind unul din domeniul cu cea

mai mare rată de extindere de dezvoltare

în ultimele decenii aproape orice

domeniu al Științei sau tehnologiei

având aplicații din teoria House

meteorologia seismologia economia

biologia și așa mai departe am

numărat numai câteva Spre exemplu

în economie au fost și sunt încercări

de a simula cât de cât pe cât posibil

comportarea unei burse de acțiuni

Bineînțeles că modalitatea în care

diferitele agenții de de vânzare

și cumpărare de acțiuni acționează

este deterministă se face după

anumite principii dar sistemul

luat ca un total sau în total lui

este atât de complex încât de el

devine howick totuși putem folosi

elemente de teoria haosului În

încercarea de a obține anumite

o anumită predictibilitate anumite

predicții despre evoluția viitoare

a sistemului Spre exemplu dacă

am reușit să nici măcar anumiți

atractor stranii asta Ar fi foarte

util în studierea unui sistem Economic

sau unui sistem biologic foarte

complex sau în seismologie Spre

exemplu se putea încerca obținerea

predictibilității unei falii Ce

produce cutremure ca să citez un

fizician faimos al secolului nostru

și a secolului trecut Ce anume

Stephen Hawking la spus în secolul

trecut Că noul secul adică secolul

21 care ne aflăm va fi secolul

complexității a sistemelor a studiului

sistemelor complexe care se face

cu ajutorul teoriei House să trecem

la geometrie fractală geometria

fractală este o ramură a acestui

domeniu a matematicii care se numește

teoria haosului să dăm câteva definiții

și apoi vom lua ca de obicei un

caz concret prin care explicăm

aceste definiții geometrie fractală

studiază forme geometrice cu aspect

neregulat atât în spațiu cât și

în timp adică în des purtarea lor

evoluția lor în timp dar cu proprietatea

foarte importantă pe care-1 explica

de auto similaritate Deci Aceasta

este o proprietate de bază în Georgia

afecta sa demonstrat matematică

orice imagine din natură poate

fi reprezentată prin acești fractali

pe care vom vedea imediat adică

forma unui nor forma unui arbore

în detaliu a forma unei frunze

de exemplu de stejar care are o

formă complicată și așa mai departe

poate fi reprezentată întotdeauna

printrun fractal iar Aceasta este

o teoremă matematică Ce fractalul

fractalul este o formă geometrică

precum triunghiul sau Paris sau

ce formă geometrică doriți dumneavoastră

eu formă geometrică obținută prin

aplicarea unui număr infinit de

iterații sau repetiții al aceluiași

algoritmi Deci plecăm cu un algoritm

simplu și la plec aplicăm foarte

foarte des de foarte multe ori

din acest din această modalitate

de obținere a acestei forme geometrice

rezultând această proprietate de

auto similaritate Hai să dăm în

exemplul să vedem cum arată un

fracta de exemplu pe care îl dăm

este așa numitul fractal pe care

îl vedeți în această imagine în

acest în această poză pe care vindeca

imediat Deci după cum am spus nu

fractal pornește de la un algoritm

simplu Deci vă rog să vă uitați

la prima imagine cea mai simplă

care este pur și simplu un triunghi

echilateral de aici pleacă fractalul

cu algoritmul este următorul împărțim

fiecare latură în fiecare din cele

trei laturi ale unui triunghi echilateral

În trei părți egale Spre exemplu

luăm această latură și o împărțim

în trei segmente egale din cele

trei segmente egale luăm segmentul

din mijloc și îl înlăturăm în locul

lui generăm Sau punem un triunghi

echilateral De ce este ceea ce

vedeți în cea de a doua imagine

deci pe latura din stânga avem

un triunghi echilateral a cărei

laturi sunt egale cu bază pentru

că echilateral și prin construcție

și cu celelalte două laturi care

au rămas din latura inițială de

ce aceasta este prima literație

algoritmului din fractalul co Deci

ca egal cu 1 primul pas apoi se

repetă același algoritmul adică

se ia din fiecare triunghi echilateral

dintre o dată În loc de un triunghi

echilateral avem 1 2 3 4 5 6 triunghiuri

echilaterale Deci în fiecare astfel

de triunghi echilateral să luăm

pe acesta de Sus se fiecare latură

liberă Deci avem aceste două laturi

libere si ia fiecare latură se

împarte a segmente egale se înlătură

segmentul din mijloc și se înlocuiește

cu un triunghi echilateral și obținem

acest mic triunghi echilateral

aici și toate celelalte această

formă este geometrică este iterația

de ordinul doi a fratelui co apoi

bineînțeles următoarea imagine

cea de a patra este iterația de

ordinul trei a fratelui coc în

care algoritmului este identic

să ia fiecare triunghi echilateral

nu le mai număr sunt foarte multe

Deci Spre exemplu se acest mic

triunghi echilateral de aici și

fiecare din cele două laturi libere

ale lui se separă se împarte în

trei segmente egale cel din mijloc

fiind înlocuit cu un un un mic

triunghi echilateral obținând un

se de Asia Este dificil de obținut

se această formă foarte complicat

Deci vedeți Da așa sper Cum explicat

de suficient de concret noțiunea

de house vedeți cum anume În în

geometria fractală se generează

haosul prin un sistem foarte complex

dar care pornește de la o idee

deterministă simplu Deci avem un

algoritm care trebuie să Recunoașteți

este foarte simplu de înțeles de

unde am plecat totuși după un număr

mare de iterații de jupoi evoluție

complexă a unui sistem la baza

simplu se obține o formă aparent

destul de greu de de înțeles destul

de complexă aceasta este felul

fractalul Channel venco este obținut

după un număr foarte mare Deci

când cade Vine foarte mare în principiu

infinit în ultimul desen vedeți

o bucată lărgită o anumită bucata

numită un anumit anumită partea

fratelui venco după un număr foarte

mare de iterații Deci luăm acest

fractal venco după cai egal cu

să zicem 30 40 de joi un număr

mare și lărgim o mică partea lui

și aici în acest moment putem explica

Ce este auto similaritate auto

similaritate este faptul că formă

geometrică foarte complexă obținută

e de fapt dacă mărim cu lupa o

mică bucată a fractalul lui observăm

că el este în sine o formă este

fractalul la iterație mult mai

mică Deci o bucată din fractalul

la caii Nu pentru ca egal cu 30

va fi foarte similar sau identic

fractalul ca egal cu 3 sau nu uite

rație mai mic deci el pur și simplu

se dezvoltă și se complică repetând

aceeași formă geometrică simplă

pentru număr foarte mare de iterații

fractalul venco e o curbă continuă

pentru număr ca infinit sau foarte

mare această linie devine o linie

continuă o curbă continua dar nu

admite tangentă niciun punct deoarece

Ea este de fapt foarte obținută

din linii frânte care are această

proprietate evidentă de auto similaritate

mici bucăți din al din fractalul

pentru ca egal cu infinit de fapt

fiind forma fractalul lui pentru

un cal mic acest fractal venco

este folosit pentru a descrie geometria

proceselor de cristalizare de așa

Puteți vedea că forma lui Seamănă

foarte mult cu cea a unui fulg

de nea în general variante ale

fracta lui Van Gogh ce sunt folosite

în descriere a geometriei obținute

în procesul de cristalizare a diferitelor

substanțe