Disjuncția propozițiilor și a predicatelor. Reuniunea mulțimilor
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
Salut Ce mai faceți Mă bucur că
sunteți bine dacă vă mai amintiți
în lecția trecută am început să
discutăm despre operații binare
iar în această lecție o să discutăm
despre o altă operație disjuncția
propozițiilor și a predicatelor
și despre Reuniunea mulțimilor
Fiind date două propoziții pe și
q disjuncția acestora se notează
astfel citim pe sau Q și Aceasta
este o propoziție adevărată dacă
și numai dacă cel puțin una dintre
propozițiile P sau q este adevărată
avem alăturat și tabelul de valori
Observați că este suficient ca
una dintre cele două propoziții
să fie adevărată pentru ca disjuncția
acestora să fie o propoziția adevărată
să vedem un exemplu avem propoziția
pe 3 plus 4 egal cu 10 Aceasta
este o propozitie falsă Deci valoarea
de adevăr a propoziției pe e este
0 propoziția q 27 este divizibil
cu 3 Aceasta este o propozitie
adevărată atunci disjuncția acestor
propoziții se citește astfel 3
plus 4 este egal cu 10 sau 27 este
divizibil cu 3 valoarea de adevăr
a propoziției pe sau q este egală
cu unu de ce este mai mic decât
3 este o propoziție falsă 8 este
multiplu de 5 este o propoziție
falsă prin urmare valoarea de adevăr
a propoziției pe sau fiul este
egală cu 0 pentru că nici una din
cele două propoziții este adevărată
șase este număr natural avem o
propoziție adevărată 4 plus 6 este
egal cu 10 este de asemenea o propoziție
adevărată atunci valoarea de adevăr
a propoziției pe sau cum va fi
1 discutăm în continuare despre
disjuncție a predicatelor Fiind
date două predicate pe de x și
q de x disjuncția acestora se notează
astfel și citim p de x sau Q de
x facem un exemplu avem predicatul
p de x x mai mic sau egal decât
4 unde x este număr natural q de
x x divide pe 5 unde x este număr
natural atunci predicatul p de
x sau qdx se Formulează astfel
x este mai mic sau egal decât 4
sau x divide pe 5 unde x este număr
natural această propoziție este
adevărată pentru acele valori ale
lui x pentru care cel puțin una
dintre propozițiile de mai sus
este adevărată și falsă în celelalte
cazuri să vedem în continuare care
sunt mulțimile de adevăr ale acestui
predicate mulțimea de adevăr a
predicatului p este formată din
numerele naturale mai mici sau
egale cu patru acestea sunt 0 1
2 3 și 4 mulțimea de adevăr a predicatului
q este formată din divizorii naturali
ai numărului cinci Aceștia sunt
unu și cinci și acum se scrie mulțimea
de adevăr a disjuncția acestor
predicate x poate să fie un element
din prima mulțime sau din a doua
mulțime și atunci mulțimea de adevăr
adjuncții a este formată din elementele
0 1 2 3 4 sau 5 pe 1 No să nu mai
scriem pentru că deja o dată însă
această mulțime reprezintă Reuniunea
celor două mulțimi scrise mai sus
și atunci Putem să scriem această
formulăm mulțimea de adevăr a predicatului
p de x sau Q de x este formată
din mulțimea de adevăr a predicatului
p reunită cu mulțimea de adevăr
a predicatului q Reuniunea a doua
mulțimi se definește prin produs
funcție aceasta este mulțimea elementelor
x cu proprietatea că x aparține
lui a sau x aparține lui b dacă
Privim această diagramă atunci
Reuniunea celor două mulțimi este
formată din această suprafață hașurată
în continuare o să facem niște
aplicații Se dau următoarele propoziții
propoziția pe oricare ar fi x număr
real x la a doua minus 9 este diferit
de zero propoziția q există x număr
natural astfel încât 3x minus 12
să fie mai mare sau egal decât
0 se cere să stabilim valoarea
de adevăr a propozițiilor p q n
p q p q p sau non Q N P sau Q N
P sau non q mai întâi O să stabilim
valoarea de adevăr a propoziției
pe trebuie să verificăm dacă pentru
orice x număr real are loc această
relație x la a doua minus 9 să
fie diferit de 0 însă dacă x este
egal cu 3 observăm că x la a doua
minus 9 este egal cu 9 minus 9
și egal cu 0 la fel se întâmplă
și dacă x este minus 3 prin urmare
această relație nu are loc pentru
orice x număr real Așadar propoziția
universală este falsă pentru propoziția
q trebuie să verificăm dacă există
cel puțin un număr natural x astfel
încât 3x minus 12 să fie mai mare
sau egal decât 0 Bineînțeles că
există un astfel de număr Chiar
și mai multe dacă x este 5 avem
trei ori 5 minus 12 mai mare sau
egal decât 0 pentru că 3 este mai
mare sau egal decât 0 prin urmare
având în vedere că există cel puțin
un x număr natural pentru care
are loc această inegalitate putem
spune că propoziția existențială
este o propoziție adevărată și
atunci Haideți să scriem aici mai
jos că valoarea de adevăr a propoziției
pe este 0 valoarea de adevăr a
propoziției q este 1 valoarea de
adevăr a propoziției non pe este
1 reamintească negația unei propoziții
pe este falsă dacă pe este adevărată
și invers este adevărată dacă este
falsă valoarea de adevăr a propoziției
nu nicku este 0 deoarece propoziția
q este adevărată de chinon q este
falsă valoarea de adevăr a propoziției
pe sau Q din moment ce avem cel
puțin una dintre cele două propoziții
adevărată înseamnă că disjuncția
acestora este propoziție adevărată
valoarea de adevăr a propoziției
P sau non q pe este falsă nu în
q este falsă Deci avem două propoziții
false în acest caz disjuncția lor
este o propoziție falsă valoarea
de adevăr a propoziției non P sau
Q Deci aici trebuie să negăm disjuncția
propozițiilor P sau Q era o propoziție
adevărată negația acesteia este
propoziție falsă și valoarea de
adevăr a propoziției non P sau
nu în Q nunta este adevărată nu
unchiul este falsă avem cel puțin
o propoziție adevărată prin urmare
disjuncția acestora este o propoziție
adevărată și mai facem un ultim
exercițiu cu predicate pe mulțimea
M formată din elementele 2 3 4
5 6 7 și 8 avem următoarele două
predicate predicatul p de x x este
divizor al lui 12 și predicatul
q x este pătrat perfect se cere
să determinăm mulțimea de adevăr
a predicatului p mulțimea de adevăr
a predicatului q și mulțimea de
adevăr a disjuncția a celor două
predicate pentru a scrie mulțimea
de adevăr a predicatului p trebuie
să ne uităm la această mulțime
m și să vedem Care dintre aceste
numere sunt și divizori ai numărului
12 pinul mare avem elementele 2
3 patru și șase Aceștia sunt toți
divizorii numărului 12 din mulțimea
M trecem la mulțimea de adevăr
a predicatului q trebuie să scriem
toate pătratele perfecte din mulțimea
M observăm că avem un singur pătrat
perfect și acesta este 4 mulțimea
de adevăr a predicatului P sau
q este formată din Reuniunea celor
două mulțimi filmarea avem elementele
2 3 4 și 6