Distanţe în spațiu. Perpendiculare și oblice.
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această secvență vom vedea Ce
înțelegem prin distanță în spațiu
și vom vorbi puțin și despre perpendiculare
Și oblice În ce situații mi se
poate cere să calculăm niște distanțe
Păi putem să avem distanța dintre
două puncte iar distanța dintre
punctele a și b e dată de fapt
de lungimea segmentului AB distanța
dintre două puncte lungimea segmentului
determinat de cele două puncte
și notăm astfel distanța dintre
punctele a și b este egală cu lungimea
segmentului AB și dacă trecem aici
că ab are 2 cm atunci trecem în
continuare egal cu 2 cm sau putem
să avem distanța dintre un punct
și o dreaptă Păi ca să găsim distanța
de la punctul A la dreapta a mic
Trebuie să ducem perpendiculara
din punctul A pe dreapta a mic
și atunci notăm aici punctul b
mare AB este perpendiculară pe
dreapta a mic atunci asta înseamnă
că distanța de la punctul A la
dreapta a este dată chiar de lungimea
segmentului AB și dacă trecem că
avem aici și 1 cm atunci notăm aici
1 cm mare atenție perpendiculara
dusă din punct Pe o dreaptă este
unică Deci din punctul A mare pe
dreapta a mic putem să ducem o
singură perpendiculară în afară
de aceste două tipuri de distanțe
mai putem să avem distanța de la
un punct la un plan Deci dacă vrem
să determinăm distanța de la punctul
A mare la planul alfa pungi tu
cm perpendiculara din punctul A
pe planul alfa și dacă această
perpendiculară intersectează planul
în punctul o Haide să trecem pe
o aici și să prelungim și această
dreaptă atunci vom nota că de vreme
ce a o este perpendiculară pe planul
alfa înseamnă că distanța de la
punctul A la planul de la punctul
A la planul alfa este dată chiar
de lungimea segmentului AO 10 egal
cu AO și trecem apoi în continuare
Câți centimetri are acest segment
atenție perpendiculara dusă dintre
un punct pe un plan ca și perpendiculară
dusă de la un punct Pe o dreaptă
este unică Deci din punctul A pe
planul alfa putem să ducem o singură
perpendiculară AO este unică dacă
unim punctul cu orice alt punct
din plan de exemplu dacă avem aici
punctul b și unim punctul A cu
punctul b sau avem aici punctul
c și unim pe a cu c atunci ceea
ce vom obține ab și ac se numesc
oblice la plug și ac sunt oblice
la planul alfa ce relație credeți
că există între OB cele la un plan
și distanța de la punctul respectiv
la plata Păi întotdeauna orice
oblică la plan este mai lungă decât
perpendiculară pe acel plan de
ce se întâmplă acest lucru Iată
dacă unim aici pe b cu o avem triunghiul
AOB Ce fel de triunghi este acesta
cum a o e perpendiculară pe planul
alfa și 8 d este inclusă în planul
seamănă ca o a perpendiculară pe
OB de ce avem aici un unghi de
90 de grade d și triunghiul AOB
este triunghi dreptunghic și ce
observă că ab este ipotenuză iar
AO este catetă pe intotdeauna ipotenuza
este mai lungă decât cateta deci
putem să trecem aici că o oblică
la plan ne referim aici la a b
este mai lungă decât a o adică
perpendiculara dusă din acest punct
Pe plan dintre două oblice la un
plan de exemplu Dacă vom prelungi
aici și acest segment OB și chiar
îl luăm prelungii și Să considerăm
că avem aici punctul de a de a
sta și a oblică la la haideți so
trasăm a bun dintre două oblice
la un plan este mai lungă cea care
este mai depărtată de punctul în
care perpendiculară intersectează
planul în cazul nostru față de
punctul O deci cu cât ne depărtăm
mai mult de punctul O cu atât obliga
la plan va fi mai lungă pentru
că Iată aici avem tot așa un triunghi
dreptunghic a o d și devreme c
o d este mai lungă decât o b atunci
și AD va fi mai lungă decât ab
de putem să notăm că de are lungimea
mai mare decât a b de dintre două
oblice la un plan este mai lungă
cea care este mai depărtată de
punctul o în acest caz mai putem
să întâlnim și distanța dintre
două drepte paralele ca să determinăm
distanța dintre două drepte paralele
alege un punct pe una din cele
două drepte de exemplu alegem aici
punctul m și din punctul M ducem
o perpendiculară pe dreapta b și
să notăm aici cu n punctul de intersecție
m n este perpendiculară pe dreapta
b însă cam dreptele b și a sunt
drepte paralele înseamnă că mn
este cam perpendiculară pe dreapta
A deci trecem aici dreptele a și
b sunt paralele m n este perpendiculară
pe dreapta m n este perpendiculară
și pe dreapta b atunci distanța
de la dreptele distanța dintre
dreptele a și b e dată chiar de
lungimea segmentului m n dacă avem
aici să spunem un centimetru atunci
trecem în continuare egal cu 1
cm sau mai putem să avem distanța
dintre două plane paralele ca să
determinăm o asemenea distanță
vom proceda asemănător cu ce am
făcut aici și anume alegem un punct
e în acest plan de să se înțeleagă
că avem aici e din punctul E coborâm
o perpendiculară pe planul Beta
și Haideți Să considerăm că intersectează
aici în punctul f Deci e f este
perpendiculară pe planul Beta Cum
însă planele Alfa și Beta sunt
paralele înseamnă că e f este perpendiculară
și pe planul alfa Deci f perpendiculară
și pe Alfa pentru că planele Alfa
și Beta sunt plane paralele și
atunci distanța de la plan dintre
planele Alfa și Beta e dată chiar
de lungimea segmentului cuprins
între aceste două plane așa cum
am avut aici lungimea segmentului
cuprins între aceste două drepte
De ce este dată de lungimea segmentului
ef ne dacă e fare să spunem 3 cm
atunci trecem în continuare egal
cu 3 cm să facem acum și această
aplicație Se dă un cub cu lungimea
muchiei de 2 cm să aflăm distanța
dintre planele a b c d de cea Ce
plan și planul a prim b prim c
prim D prim adică acest plan cum
determinăm distanța dintre cele
două plane Păi avem aici un cub
asta înseamnă că planul a b c d
este paralel cu planul a prim b
prim c prim D prim dacă vreți chiar
Să demonstrăm acest lucru atunci
e foarte simplu pentru că Fețele
unui cub absolut toate fețele sunt
pătrate pe asta înseamnă că b d
prim este perpendiculară pe BC
la fel B B prim este perpendiculară
și pe AB Deci B B prim a perpendiculară
pe două drepte concurente din planul
ABCD asta înseamnă că b d prim
a perpendiculară pe acest plan
test trecem B B prim e perpendicular
Pe planul ABCD AB Salut la fel
se demonstrează că b d prim e perpendiculară
pe planul a prim b prim c prim
D prim BB prim perpendicular pe
AC plan cu alte cuvinte cele două
plane a b c d și a prim b prim
c prim D prim sunt plane paralele
Deci rezultă că distanța dintre
aceste două plane Haide să scriu
mai la stânga pentru că nu o să
ne încadrăm în spațiu Deci distanța
dintre planele a b c d și a prim
b prim c prim D prim este dată
de fapt de lungimea segmentului
cuprins între aceste plane 10 egal
cu lungimea segmentului B B prim
par Evident este congruent cu c
c prim cu d d prim și cu a aprinde
și puteam să alegem în loc de bebe
prin orice alte muchie dintre acestea
4 și cât avem lungimea muchiei
este de 2 cm Deci distanța dintre
aceste două plane este de 2 cm
o altă aplicație Pe planul triunghiului
ABC isoscel ab egal ac egal 15
cm și BC de 18 cm se ridică perpendiculara
m a Fie d mijlocul segmentului
BC și mi se mai spune aici că dacă
e m de l 20 de cm să aflăm această
distanță deci mai întâi trebuie
să desenăm planul triunghiului
ABC avem un triunghi isoscel care
are AB egal cu AC 15 cm și aici
avem 18 cm Lungimea segmentului
BC și se ridică perpendiculara
m a Deci ridicăm aici însă nu am
trecut corect nu am trasat corect
avem aici ma perpendiculară pe
planul abc chiar o să și le notez
că m a este perpendiculară pe planul
abc Fie d mijlocul segmentului
b c d și trecem aici d mijlocul
segmentului BC Deci BD congruent
cu dc și mi se spune că dacă md
are 20 de centimetri să unim pe
m cu d Deci dacă lungimea acestui
segment este de 20 de cm să aflăm
distanța de la punctul M la planul
abc Ce înțelegem prin această distanță
e de vreme ce ma este perpendiculară
pe planul abc atunci distanța de
la punctul M la aceste plane dată
chiar de lungimea segmentului ma
Deci din această relație rezultă
că distanța de la punctul M la
planul a b c este dată de lungime
a acestui segment Ema cu alte cuvinte
trebuie să vedem Câți centimetri
are segmentul Emma Cum să calculăm
lungimea acestui segment Păi nu
degeaba mi sa dat lungimea segmentului
m d Iată dacă unim pe a cu d vom
obține triunghiul m a d Ce fel
de triunghi este acesta pe cum.ma
este perpendiculară pe planul ABC
și AD e Face parte din acest plan
înseamnă că m a este perpendiculară
pe a d Deci avem aici un unghi
de 90 de grade cu alte cuvinte
triunghiul m a d este un triunghi
dreptunghic știind lungimea ipotenuzei
ca să aflăm lungimea acestei catete
avem nevoie de lungimea catetei
ad și atunci cum să determinăm
lungimea segmentului ad Păi ce
este AD este mediană în triunghiul
ABC Care este triunghi isoscel
cu alte cuvinte Problema e deja
rezolvată pentru că știm lungimile
laturilor și Ce este atunci a d
de vreme ce e mediană în triunghi
isoscel dar este și înălțime Deci
trece maici că avem înălțime Haide
să notăm că triunghiul ABC este
un triunghi isoscel iar a d este
mediană corespunzătoare bazei acesteia
triunghi isoscel d c rezultă că
AD este și înălțime ad perpendiculară
pe BC cu alte cuvinte notăm că
măsura unghiului adb este de 90
de grade Deci ce am obținut din
această relație că triunghiul d
c rezultă în continuare că triunghiul
adb este un triunghi dreptunghic
măsura unghiului d are 90 de grade
și atunci aplicăm aici teorema
lui Pitagora pentru că Iată BD
are 9 cm voi face aici o acoladă
și scrie 9cm Deci rezultă din teorema
lui Pitagora că a de la pătrat
este egală cu a lungimea acestui
segment este egală cu diferența
dintre a b pătrat care lungimea
ipotenuzei și BD la pătrat Deci
ei de pătrat cât ne dă Avem așa
a b pătrat 15 la pătrat minus b
de la pătrat înseamnă 9 la a doua
Dică două sute 25 minus 81 ne dă
144 10 rezultă că a d are 12 cm
și venim aici și trecem 12 cm un
deja Problema e ca și rezolvată
venim aici și notăm că a este perpendiculară
pe planul abc trebuie să justificăm
faptul că triunghiul mnd este un
triunghi dreptunghic în A deci
ma e perpendiculară pe acest plan
a d este inclusă în planul ABC
de unde rezultă că m a este perpendiculară
pe a d Deci notăm că măsura unghiului
Cum se numește ma d are 90 de grade
și atunci aplicăm teorema lui Pitagora
în unghiul m a d Deci avem așa
triunghiul m a d măsura unghiului
A iar aici are 90 de grade Deci
vom avea conform teoremei lui Pitagora
pătratul lungimii a catetei a m
sau Ema la pătrat va fi egală cu
MD la pătrat din care scădem a
de la pătrat și să înlocuim rezultă
că m a la pătrat va fi egală cu
MD este de 20 de cm la pătrat minus
Deci aici avem la a doua a de la
pătrat ne dă ad12 Deci Avem 12
la a doua și obținem 400 minus
144 Deci ne dă Deci 6 rezultă că
lungimea catetei m a este radical
din 256 adică 16 cm și venim aici
ștergem semnul întrebării și trecem
că am obținut 16 cm și astfel am
aflat distanța de la punctul M
la planul abc