Dreaptă perpendiculară pe plan

în continuare să vedem Ce înțelegem

prin dreaptă perpendiculară pe

un plan și avem această definiție

O dreaptă este perpendiculară pe

un plan dacă este perpendiculară

pe orice dreapta din acel plan

Deci dreapta d este perpendiculară

pe planul alfa Dacă și numai dacă

este perpendiculară pe orice dreapta

inclusă în planul alfa atunci această

definiție are următoarea proprietate

de fond mai bine zis are următoarea

consecință Dacă dreapta d este

perpendiculară pe planul alfa și

avem o dreaptă sau notăm a mic

inclusă în planul alfa deci a inclus

în Alfa atunci conform acestei

definiții Ce rezultă Păi dacă dreapta

d perpendiculară pe planul alfa

înseamnă că dreapta d este perpendiculară

pe orice dreapta din ace plan Deci

dreapta d perpendiculară și pe

dreapta a trecem aici D perpendiculară

pe A e bine să reținem această

consecință pentru că o Vom folosi

în anumite probleme și acum în

continuare să vedem Cum arătăm

că o dreaptă este perpendiculară

pe un plan pentru că de fapt asta

ne interesează în anumite probleme

și mi se dă teoremă O dreaptă este

perpendiculară pe un plan dacă

este perpendiculară pe două drepte

concurente din acel plan Deci dacă

dreapta d este perpendiculară pe

o dreaptă A și să trecem și punctul

de punctul în care ele sunt perpendiculare

în o și dreapta d este perpendiculară

pe o altă dreaptă notată b tot

în același punct în punctul o iar

dreptele a și b sunt drepte concurente

punctul lor de intersecție este

o a și b sunt inclusă în Alfa atunci

conform acestei teoreme Ce rezultă

avem o dreaptă perpendiculară pe

două drepte concurente din un plan

înseamnă că dreapta este perpendiculară

pe pleci dreapta d perpendiculară

pe planul alfa Nu o face demonstrație

aceste teoreme cine interesează

cum aplicăm această teoremă în

probleme și să vedem În cubul ABCD

a prim b prim c prim D prim trebuie

să arătăm că dreapta a prim c prim

este perpendiculară pe planul d

b b prim D prim Deci vrem Să arătăm

că această dreaptă a prim c prim

este perpendiculară pe planul determinat

de aceste puncte avem bebe unim

p d q b pe b prim cu b d prim cu

B prim și pe D prim cu d trebuie

să arătăm că a prim c prim Haideți

să trecem aici a prim c prim este

perpendiculară pe planul de B B

prim D prim Deci această dreaptă

să fie perpendiculară pe acest

plan Cum facem asta pe conform

teoremei anterioare trebuie să

arătăm că dreapta a prim c prim

este perpendiculară pe două drepte

concurente din acest plan Deja

e ușor să găsim o dreaptă Pentru

că Iată a prim c prim este perpendiculară

pe D prim b prim pentru că avem

aici un pătrat și știm deja diagonalele

sunt perpendiculare Deci facem

acest semn aici și ai de să notăm

că a a prim b prim c prim D prim

Este pătrat b c rezultă că a prim

c prim este perpendiculară pe D

prim b prim și notăm această relație

cu relația 1 acum trebuie să mai

arătăm că dreapta a prim c prim

este perpendiculară pe o altă dreaptă

din acest plan și dreapta respectivă

să fie concurentă cu d prim b prim

ce dreaptă se alege pe Am putea

să alegem de exemplu dreapta b

b prim sau putem să aducem la fel

de bine și dreapta d d prim dacă

alegem dreapta b b prim Deci vrem

Să arătăm arătăm că BB prim este

perpendiculară pe a prim c prim

această dreaptă și aceasta să fie

perpendiculare Cum arătăm acest

lucru pe dreapta b b prim este

perpendiculară pe c drepte pe perpendiculară

pe b prim c prim pe această dreaptă

De ce are loc această relație pentru

că bc c prim b prim c avem aici

este un pătrat Deci B B prim a

perpendiculară pe b prim c prim

și tot așa B B prim este perpendiculară

și pe ce dreaptă pe pe a prim b

prim pentru că avem aici un pătrat

cred că sunteți de acord cu aceste

două relații nu e nimic complicat

un Dar la ce ne ajută aceste două

relații Deci b d prim e perpendiculară

pe această dreaptă Dar și pe aceasta

Păi cum sunt cele două drepte sunt

concurente punctul de intersecție

este B prim Deci b prim c prim

intersectată cu dreapta a prim

b prim și obținem punctul de intersecție

punctul B prim carevasăzică dreapta

BD prim aceasta este perpendiculară

pe două drepte concurente din acest

plan pentru că a prim b prim și

b prim c prim sunt incluse în acest

plan a prim b prim c prim D prim

pe Ce înseamnă asta conform teoremei

pe care am discutat anterior rezultă

că dreapta BD prim Este Cum este

perpendiculară pe planul determinat

de aceste două drepte a și perpendiculară

pe planul determinat de dreptele

a prim b prim și b prim c prim

cu alte cuvinte B B prim este perpendiculară

pe planul a prim b prim c prim

D prim acesta e planul determinat

de cele două drepte pun și ce vom

obține în continuare de Cine este

de folos această relație faptul

că bebe Prime perpendiculară pe

acest plan Păi cum este dreapta

a prim c prim Este o dreaptă inclusă

în acest plan Deci trecem că dreapta

a prim c prim Este inclusă în planul

a prim b prim c prim D prim pe

ce rezulta acum conform definiției

unei drepte perpendiculare pe un

plan dreapta b b prim a perpendiculară

de fapt de orice dreapta din acest

plan de ce este perpendiculară

și pe a prim c prim Deci notăm

că BB prim este perpendiculară

pe a prim c prim și această relație

Haide să o notăm cu doi o să trec

aici jos relația 2 și să rescriem

cele două relații pe care le am

notat avem aici prima relație însuși

încadrăm puțin și avem și a doua

relație Deci din 1 și 2 relațiile

1 și 2 si avem că a prim c prim

este perpendiculară pe D prim b

prim a prim c prim perpendiculară

pe această dreaptă Dar a prim c

prim este perpendiculară și pe

b b prim a prim c prim perpendiculară

și pe această dreaptă Păi cum sunt

dreptele D prim b prim și b b prim

D prim b prim și b b prim sunt

drepte concurente punctul lor de

intersecție este B prim d și c

rezultă că dreapta a prim c prim

D perpendiculară pe planul determinat

de aceste două drepte deci a prim

c prim să trecem aici pe din teoremă

rezultă că avem această relație

este perpendiculară pe planul determinat

d a prim b prim și b b prim Care

este acest plan Pe planul determinat

de cele două drepte este chiar

de B B prim D prim Deci am obținut

că această dreaptă a prim c prim

D perpendiculară pe acesta plan

exact ce aveam de demonstrat următoarea

problemă Pe planul triunghiului

ABC se construiește perpendiculara

m a De ce avem nevoie de un triunghi

abc și Pe planul acestui triunghi

ABC vom ridica perpendiculara m

a Deci din vârful a ridicăm o perpendiculară

pe acesta plan și trecem aici punctul

E bun și chiar să notăm că m a

este perpendiculară pe planul abc

Ce mai știm că BD este înălțime

În triunghiul abc d c b d este

înălțime în acest triunghi și notăm

b d perpendiculară pe AC și mai

știm că d a este perpendiculară

pe Mc Deci mai întâi trebuie să

luăm pe m cu c ca să vedem segmentul

Mc bun și acum ce avem de făcut

din punctul d trebuie să ridicăm

perpendiculara Trebuie să ducem

perpendiculară pe Mc ce putem să

o construim așa avem aici punctul

E aici să trecem că de este perpendicular

pe m c d i E perpendiculară pe

Mc și ce avem de arătat uite buie

Să arătăm că Mc Deci am trasat

aici cu roșu este perpendiculară

pe planul b de e piatră planul

b d e deci pe acest plan bun Cum

arătăm că această dreaptă reprezentată

cu roșie perpendiculară pe acest

plan b d e Păi trebuie să arătăm

că dreapta m c perpendiculară pe

două drepte concurente din acest

plan Deja e simplu pentru că ea

dă dreapta d e e perpendiculară

pe Mc sau altfel spus m c perpendiculară

pe d e exact ce avem aici și vom

muta această relație cu relația

1 mod trecem aici unu și o reține

momentan pentru că acum mai trebuie

să găsim o altă dreaptă din acest

plan b d e care să fie concurentă

cu D E și MC să fie perpendiculară

și pe ea Păi putem o are Să arătăm

că dreapta m c s perpendiculară

pe BD vă las puțin timp să vă gândiți

se poate arăta și chiar asta vom

și face Deci mai întâi Haideți

să nu uităm așa arătăm că dreapta

b d este perpendiculară pe Mc sau

altfel spus m c perpendiculară

pe BD Cum facem acest lucru pe

o variantă este aceea de a arăta

că dreapta bd E perpendiculară

pe planul m a c cu b d perpendiculară

pe acest plan și m c este inclusă

în planul seamă că sa rezolvat

BD perpendiculară pe mc de ceai

de Să arătăm că dreapta b d perpendiculară

pe planul m a c și dea de rezolvare

care credeți că e identică cu ce

am făcut până acum trebuie să arătăm

că dreapta BD perpendiculară pe

două drepte concurente din acest

Plec și deja avem o dreaptă iar

BD perpendiculară pe a Ce ce avem

aici Deci notăm b d este perpendiculară

pe AC și acum nu mai avem nevoie

ca BD să fie perpendiculară pe

o altă dreaptă din acest plan concurentă

cu dreapta AC Păi cum sunt dreptele

bd și m a le sunt de fapt perpendiculare

pentru că m a Ce știm e perpendiculară

pe acest plan de să notăm m a este

perpendiculară pe planul a b c

Cum este dreapta b d este inclusă

în acest plan Deci b d inclusă

în planul a b c cu alte cuvinte

Ce rezultă Păi dreapta e ma e perpendiculară

pe un plan de ceai perpendiculară

pe orice dreapta din acest plan

înseamnă că e mai e perpendiculară

și pe BD rezultă din definiție

că m a e perpendiculară pe bd și

această relație pe care ia tonno

tescu doi vom scrie spus că din

relația 2 rezultă și chiar ce am

notat aici Haideți să scriem ceva

mai departe ca să se înțeleagă

din relația 2 rezultă că e mai

perpendiculară pe BD Iată exact

ce avem de la ția 2 și ce am obținut

pe dreapta bd E perpendiculară

și pe Ema este perpendiculară și

pe ei si Cum sunt aceste două drepte

concurente în A deci M A și dreapta

a c sunt drepte concurente punctul

de intersecție este așa cum se

vede și pe figură punctul la 10:00

am obținut că BD perpendiculară

și pe Ema și pe ace drepte concurente

rezultă din teoremă că dreapta

b d este perpendiculară pe planul

determinat de dreptele a c și m

a adică Pe planul m a c adică pe

acest plan dreapta Mc trece mai

este inclusă în planul m a c De

unde Ce rezultă conform definiției

unei drepte perpendiculare pe un

plan înseamnă că dreapta BD perpendiculară

pe orice dreapta din plan de pe

m c rezultă b d perpendiculară

pe Mc și vreau să scrie mai cica

avem relația numărul 3 avem unu

doi trei și o vom trece cu roșu

pentru că e foarte importantă Iată

avem relațiile 1 și 3 să le notăm

relația 1 ne spune că dreapta de

e este perpendiculară pe Mc sau

mai bine să scriem invers m c perpendiculară

pe d e relația 3 ne spune că m

c perpendiculară pe b d m c perpendiculară

pe BD trecem și aici Cum sunt aceste

două drepte d și b d dreptele d

e și b d sunt drepte concurente

punctul de intersecție este punctul

d pe asta înseamnă că din teorema

învățată că m c această dreaptă

perpendiculară pe planul determinat

de cele două drepte d e și b d

m c perpendiculară pe planul de

de ceartă că am demonstrat exact

ce se cerea ia tot să fie clar

că aici avem litera i și se încheiat