Ecuația dreptei determinată de două puncte distincte

fie punctul A de coordonate x 1

y 1 și punctul b de coordonate

x 2 y 2 ecuații a dreptei ab este

dată de relația x minus x 1 supra

x 2 minus X1 egal cu y minus y

cu 1 supra 2 minus y 1 efectuăm

acum calculele pentru a aduce această

ecuație sub o formă mai simplă

obținem ecuația x minus x 1 înmulțit

cu y 2 minus y cu 1 este egal cu

y minus egal cu unu mult cu x 2

minus x 1 adică x înmulțit cu y

2 minus egal cu 1 minus x 1 y 2

plus x 1 y egal cu y înmulțit cu

x 2 minus x 1 minus y 1 x 2 plus

y 1 x 1 vom trece Acum toți termenii

pentru un singur membru și obținem

următoarea formă a ecuației x înmulțit

cu y 2 minus y cu 1 minus x 1 y

2 plus x 1 y 1 minus y înmulțit

cu x 2 minus x 1 plus y 1 x 2 minus

y 1 x 1 egal cu 0 observăm că acești

doi termeni se reduc fiind termeni

opuși ecuația dreptei a b capătă

următoarea forma x înmulțit cu

y 2 minus egal cu 1 minus y înmulțit

cu x 2 minus x 1 minus paranteză

x 1 y 2 minus x 2 înmulțit cu y

1 egal cu 0 coeficientul lui x

ca și coeficientului y respectiv

terminal liber pot fi scris acum

sub forma unui determinant și anume

x înmulțit cu determinantul y 1

y 2 1 1 observăm cat sa terminat

de fapt este y1 minus x y 2 și

atunci mai punem în minus în fața

lui x y înmulțit cu x 1 x 2 1 1

din nou acest determinant este

egal cu x 1 minus x 2 Așadar vom

schimba semnul lui y în plus și

în sfârșit determinantul x 1 x

2 y 1 y 2 acest determinant este

chiar egal cu conținutul parantezei

x-1 y 2 minus x 2 y 1 ceea ce înseamnă

că păstrăm semnul minus egal cu

0 dacă înmulțim acum aceasta egalitate

cu minus 1 obținem expresia ecuației

x mult cu y1 y2 1 1 minus y înmulțit

cu x 1 x 2 1 1 x 1 y 1 x 2 y 2

egal cu 0 această expresie poate

fi privită ca dezvoltarea unui

determinant de ordinul 3 care are

pe prima linie elementele x y și

unu iar acești determinanți de

ordinul doi sunt complemente alge

a acestor trei elemente Așadar

obținem ecuația x y 1 x 1 y cu

1 1 x 2 y 2 1 egal cu 0 în concluzie

ecuația dreptei determinată de

punctele a de coordonate x 1 y

y 1 b de coordonate x 2 y 2 se

scrie sub forma x y 1 x 1 y 1 1

x 2 y 2 1 egal cu 0 Să considerăm

acum un punct C de coordonate x

3 y 3 care aparține dreptei ab

Așadar coordonatele acestui punct

verifică ecuația dreptei ab cu

alte cuvinte determinantul x3y

3 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 este egal

cu 0 ne amintim că schimbarea între

ele două linii sau a două coloane

determină și schimbarea semnului

determinantului inițial schimbând

Așadar linia 1 cu linia 2 iar apoi

linia 2 cu linia 3 obținem determinantul

x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 egal

cu 0 cartele țintă de fag condiția

ca trei puncte să fie coliniare

Așadar punctele a de coordonate

x 1 y 1 b de coordonate x 2 y 2

c de coordonate x 3 y 3 sunt coliniare

dacă și numai dacă determinantul

x 1 y cu 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3

1 este egal cu 0 și acum punctul

A de coordonate 1 și a punctul

b de coordonate 3 și 2 punctul

C de coordonate 3 și 4 să scrie

ecuația dreptei BC iar apoi să

determinăm valorile parametrului

real a astfel încât punctele a

b și c să fie puncte coliniare

scrie ecuația dreptei b c x 1 3

2 1 3 4 1 egal cu 0 determinant

care poate fi calculat cu oricare

din Metodele învățate dar de data

aceasta având folosind proprietățile

determinanților și dezvoltarea

acestuia după o linie observăm

că dacă păstrăm primele două linii

iar linia a doua mulțimi cu minus

1 și o adunăm la linia a treia

obținem determinantul x y 1 3 2

1 0 2 0 egal cu 0 dezvoltăm acum

acest determinant după linia a

treia și obținem 2 înmulțit cu

minus 1 la puterea 3 plus 2 înmulțit

cu determinantul obținut prin suprimarea

liniei 3 și a coloanei 2 Adică

x13 1 egal cu zero ceea ce ne conduce

la ecuația x minus 3 egal cu zero

adică x egal cu 3 pentru determinarea

parametrului a vomit pune condiția

ca punctele a b c să fie coliniare

Așadar determinantul 1 a 1 3 2

1 3 4 1 trebuie să fie egal cu

0 de data aceasta vom calcula acest

determinant Folosind regula triunghiului

avem Așadar 1 ori 2 ori 1 plus

1 ori 3 ori 4 plus a ori 1 ori

3 minus 1 ori 2 ori 3 minus unu

ore trei ore Ea și minus 1 ori

4 RON cal cu 0 Așadar doi plus

12 plus treia minus 6 minus 3 minus

4 trebuie să fie egal cu 0 3-a

și minus treia sunt termeni opuși

În consecință îi reducem iar egalitatea

devine 14 minus patru egal cu zero

adică 10 egal cu zero această propoziție

este o propoziție falsă ceea ce

ne spune că nu există nicio valoare

reală pentru parametrul a astfel

încât punctele a b c să fie coliniare