Ecuații binome

ecuațiile binome sunt ecuații de

forma 10 la n minus a egal cu zero

unde 10 este număr complex n este

număr natural mai mare sau egal

cu 2 iar a este număr complex această

ecuație se mai poate scrie 10 la

n egal cu a în consecință rezolvarea

ecuațiilor se reduce la determinarea

rădăcinilor de ordinul n ale numărului

complex Iată câteva exemple avem

ecuația Jet la 6 minus 1 egal cu

0 această ecuație se va scrie 10

la a șasea egal cu 1 iar soluțiile

acestuia vor fi rădăcinile de ordinul

6 ale unității am discutat despre

aceste rădăcini în lecția trecută

un alt exemplu avem ecuația 10

la a treia plus 27 egal cu zero

această ecuație se mai poate scrie

z la a treia egal cu minus 27 și

Acum va trebui să găsim rădăcinile

de ordinul 3 ale numărului complex

minus 27 mai întâi vom scrie Acest

număr sub forma trigonometrică

vom avea 27 pe lângă minus 1 plus

0 ori e egal cu 27 pe lângă cosinus

de pi plus e sinus de pi am scris

Ba ceastă formă pentru că modulul

numărului complex adică acest număr

care apare în fața parantezei trebuie

să fie întotdeauna un număr pozitiv

cosinus de pi este minus unu ia

sinus de pi este 0 Așadar aceasta

va fi forma trigonometrică a numărului

complex minus 27 prin urmare modulul

este 27 iar argumentul redus va

fi fi rădăcinile de ordinul 3 ale

acestui număr complex vor fi de

K egal cu radical de ordinul 3

din 27 pe lângă cosinus de pi plus

2k pi supra 3 plus e sinus de pi

plus 2 k pi supra 3 unde e numărul

lui ta Ia valori de la 0 până la

2:00 să calculăm prima rădăcină

1000 radical de ordinul 3 din 27

este 3 pe lângă înlocuim numărul

ca cu 0 și obținem cosinus de pi

supra 3 plus e sinus de pi supra

3 egal cu 3 pe lângă 1 supra 2

plus radical din 3 supra 2 egal

mai departe cu 3 supra 2 plus 3

radical din 3 supra 2 e următoarea

rădăcină se obține pentru ca egal

cu unu și Avem 3 pe lângă cosinus

2 plus pai este 3 supra 3 simplificăm

cu 3 și ne rămâne pe plus e sinus

de pi cos de pi este minus unu

sinus de pi este 0 egal cu minus

3 de 2 va fi egal cu 3 pe lângă

4 p plus p este 5 p supra 3 plus

e sinus de 5.000 supra 3 egal vom

calcula mai jos cosinus de 5 supra

3 5pi supra 3 se poate scrie 6

Pi supra 3 minus y supra 3 egal

cu cosinus de 2 pi minus pi supra

3 perioada principală a funcției

cosinus este 2 pi asta înseamnă

că atunci când la un argument adunăm

sau scădem 2 pi valoarea funcției

cosinus rămâne neschimbată în consecință

vom avea egal cu cosinus de minus

pi supra 3 funcția cosinus este

pară egal mai departe cu cosinus

de pi supra 3 egal cu 1 pe 2 procedăm

asemănător și cu sinus de 5 p supra

3 parcurgem aceeași pași până aici

obținem sinus de minus pi supra

3 și nu zi este impară prin urmare

semnul minus va trece în față avem

minus sinus de pi supra 3 și înalt

cu minus radical din 3 supra 2

Revenim la calcule și Avem 3 pe

lângă 1 pe 2 minus radical din

3 supra 2 e egal cu 3 pe 2 minus

3 radical din 3 supra 2 e acestea

vor fi cele trei rădăcini ale ecuației

date să vedem o altă ecuație avem

ecuația 10 la a treia minus radical

din 3 minus 1 egal cu 0 această

ecuație se va scrie z la a treia

egal cu 1 plus radical din 3 E46

găsim rădăcinile de ordinul 3 ale

acestui număr complex voi nota

cu numărul complex 1 plus radical

din 3 și mai întâi vom exprima

acest număr sub forma trigonometrică

calculăm modulul numărului complex

un avem radical din 1 la a doua

plus radical din 3 la a doua obține

un radical din 4 egal 2 iar pentru

a găsi argumentul redus recomand

să Reprezentăm mai întâi în plan

punctul de coordonate 1 radical

din 3 Iată observăm că imaginea

geometrică a numărului complex

1 este un punct situat în cadranul

întâi tangentă de te este egal

cu radical din 3 Așadar unghiul

te va fi egal cu pi supra 3 radiani

și atunci numărul complex 1 va

avea formă trigonometrică 2 pe

lângă cosinus de pi supra 3 plus

e sinus de pi supra 3 acum Trebuie

să găsim rădăcinile de ordinul

3 ale acestui număr complex și

vom avea o k egal cu radical de

ordinul 3 din 2 pe lângă cosinus

de pi supra 3 plus 2k supra 3 plus

e sinus de pi supra 3 plus 2k supra

3 pentru ca luni valori de la 0

până la 2:00 prima rădăcină cu

zero va fi radical de ordinul 3

din 2 pe lângă cosinus de pi supra

3 totul supra 3 este pi supra 9

plus e sinus de pi supra 9 următoarea

rădăcină 1 va fi radical de ordinul

3 din 2 pe lângă dacă numărul ca

ia valoarea 1 avem 2pi plus p supra

3 amplificăm cu 3 ne dă 6 plus

pe 7 pi pe 3 totul supra 3 obținem

7 pe 9 plus sinus de 7 pi supra

9 și ultima de de cină cu 2 egal

radical indice 3 din 2 pe lângă

pentru ca luni valoarea doi avem

patru p plus p supra 3 ne dă 13

pi supra 3 și totul supra 3 vine

13 pe supra 9 plus e sinus de 13

pi supra 9 acestea au fost cele

trei rădăcini ale numărului complex

și soluțiile ecuației date și un

ultim exemplu avem ecuația x la

a patra minus 1 plus radical din

3 egal cu Z la a patra pentru început

vom trece numărul 10 la a patra

în primul membru și avem e z la

a patra minus 10 la a patra egal

cu 1 minus radical din 3 de factor

comun și obținem z la a patra pe

lângă a minus 1 egal cu 1 minus

radical din 3 la a patra va fi

egal cu 1 minus radical din 3 supra

minus 1 pe care îl voi scrie minus

1 plus e va trebuie Așadar să găsim

rădăcinile de ordinul patru ale

acestui număr complex pentru a

scrie Acest număr complex sub formă

trigonometrică voi nota cu 1 numărul

complex 1 minus radical din 3 cu

2 numărul complex minus 1 plus

e vom Scrie fiecare număr sub forma

trigonometrică și apoi vom calcula

raportul dintre cele două numere

modulul numărului complex 1 este

radical din 4 egal cu 2 pentru

a găsi argument redus al acestui

număr complex luăm reprezenta în

plan punctul de coordonate 1 și

minus radical din 3 cred că este

foarte util să Reprezentăm un plan

numerele complexe pentru a vedea

exact în ce cadran este situată

imaginea geometrică și astfel nu

vom greși atunci când calculăm

argumentul redus al numărului complex

Așadar să Reprezentăm un plan punctul

de coordonate 1 și minus radical

din 3 observi încă imaginea geometrică

a numărului 1 este situată în cadranul

4 acest unghi pe care o să notezi

cu alfa va fi al tangentă de radical

din 3 să scriem Alfa este arctangenta

de radical din 3 și egal cu pi

supra 3 și atunci argumentul acest

unghi 1 va fi egal cu 2 pi minus

pi supra 3 egal cu 5 supra 3 forma

trigonometrică a numărului complex

1 este 2 pe lângă cosinus de 5

p supra 3 plus e sinus de 5.000

supra 3 mai departe scriem numărul

u2 sub formă trigonometrică modulul

numărului complex u2 va fi radical

din 2 și aici Reprezentăm punctul

de coordonate minus unu unu Iată

imaginea geometrică a numărului

u2 este un punct situat în cadranul

al doilea pe 2 este argumentul

redus acest unghi pe care îl putem

nota cu Betta are măsura egală

cu 45 de grade pentru ca sa format

un triunghi dreptunghic isoscel

este pi supra patru și atunci unghiul

T2 va fi egal cu pi minus pi supra

4 egal cu 3 supra 4 Acum putem

să scriem forma trigonometrică

a numărului complex u2 Roman radical

din 2 pe lângă cosinus de 3 pi

supra 4 plus e sinus de 3pi supra

4 10 la a patra este raportul dintre

numerele 1 și 2 egal aici avem

forma trigonometrică a numărului

1 iar Aici este cu 2 m avea 2 pe

lângă cosinus de 5 p supra 3 plus

e sinus de 5.000 supra 3 totul

supra radical din 2 pe lângă cosinus

de 3 pi supra 4 plus sinus de 3pi

supra 4 2 supra radical 2 este

radical din 2 pe lângă cosinus

argumentele se scade atunci când

împărțim două numere complexe trebuie

să efectuăm scăderea 5pi supra

3 minus 3 pi supra 4 ne dă 20 minus

9 pi totul supra 12 egal cu 11

pi supra 12 avem Așadar cosinus

de 11 pi supra 12 plus e sinus

de 11 pi supra 12 noi trebuie acum

să scriem rădăcinile de ordinul

4 ale acestui număr complex notăm

numărul acesta complex cu un rădăcinii

de ok pa nu fii radical de ordinul

4 din radical din 2 pe lângă cosinus

de 11 pi supra 12 plus 2 capii

totul supra 4 plus e sinus de 11

pi supra 12 plus 2 capii totul

supra 4 pentru ca luni valori de

la 0 la 3:00 putem să notăm și

cu Zed ca aceste rădăcini nu are

importanță voi calcula prima rădăcină

o 0 iar celelalte va rămân temă

cu zero va fi egal cu radical indice

8 din 2 pe lângă cosinus de 11

pi supra 12 ori 4 este 48 plus

e sinus de 11 pi supra 48 celelalte

rădăcini u1 u2 și cu 3 se obțin

pentru ca luni valorile 1 2 respectiv

3