Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Ecuații de gradul al doilea

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
11 voturi 422 vizionari
Puncte: 10

Transcript



să vorbim acum de ecuația de gradul

al doilea cu o necunoscută o asemenea

ecuație are această formă a ori

x pătrat adunat cu b ori x adunat

cu c egal cu 0 unde a b și c sunt

toate numere reale iar în plus

a este un număr real nenul a diferit

de 0 De ce se numește ecuație cu

o necunoscută foarte simplu pentru

că avem o singura necunoscută la

noi necunoscuta este x De ce se

numește de gradul al doilea pentru

că cea mai mare putere la care

apare necunoscuta este puterea

a doua avem aici x pătrat și x

la întâia Deci x la a doua e cea

mai mare putere la care apare x

și un exemplu este acesta x pătrat

minus 5 ori x este egal cu minus

11 supra 2 acum dacă vrem ca această

ecuație să aibă formă scrisă observăm

că membrul din dreapta în această

parte este 0 atunci îl trecem pe

minus 11 pe doi Peste egal cu semn

schimbat și vom avea x pătrat minus

5 ori x plus 11 supra 2 egal cu

0 aceste Două ecuații sunt ecuații

echivalente Cum rezolvăm o asemenea

ecuație vrem să grupăm termenii

care conțin necunoscuta și să formăm

un pătrat perfect pentru că aici

ne apare x la pătrat și pentru

aceasta vom scrie în felul următor

avem x la a doua minus 5 ori x

îl vom scrie 2 ori 5 supra 2 ori

x și o să înțelegeți imediat De

ce îl scriem așa Iată avem aici

un număr ridicat la pătrat minus

2 ori numărul respectiv înmulțit

cu 5 supra Păi dacă adunăm noi

pătratul lui 5 supra 2 adică 5

supra 2 totul la a doua atunci

ce vom avea aici e o formulă cunoscută

și o să obținem x minus 5 supra

2 totul la pătrat și am obținut

un pătrat perfect în care avem

necunoscuta însă nouă nu ne apare

aici 5 supra 2 totul la pătrat

ce avem 11 supra 2 Cum facem pe

casă nu modificăm cu nimic ecuația

noastră pentru că Iată Nici aici

nu am modificat 2 cu 2 se simplifică

și ne rămâne cinci ori x Exact

aici casă nu modificăm nici aici

atunci am adunat acest termen îl

și scădem Deci minus 5 supra 2

la totul la pătrat și adunăm termenul

nostru adică plus 11 supra 2 egal

0 această diferență ne dă 0 Deci

ne rămâne 11 supra 2 Exact aici

de ce aceste Două ecuații sunt

echivalente Bun Aici am obținut

această pătratul aceste diferențe

și crezi tu copie minus ridicăm

la pătrat avem 25 supra 4 plus

60 de să amplificăm cu doi și vom

avea 22 supra 4 egal 0 și facem

calculul x minus 5 supra 2 totul

la pătrat și aici vom avea minus

3 supra 4 egal cu zero Păi deja

e mult mai ușor să rezolvăm o asemenea

ecuație decât cea de la care am

plecat pentru că Iată acest termen

3 supra 4 Cum îl putem scrie Păi

putem să facem în așa fel încât

să avem o diferență de pătrate

face este un număr pozitiv deci

putem să îl scriem radical din

3 supra 2 totul deci totul la a

doua Haide să se vadă mai bine

ce vom obține avem x minus 5 supra

2 totul la pătrat minus acest termen

egal cu 0 cum a spus diferență

de pătrate desfacem această diferență

avem x minus 5 supra 2 Deci acest

termen minus ce avem aici Deci

minus radical din 3 supra 2 înmulțit

cu suma dintre acest termen x minus

5 supra 2 adunat cu radical din

3 pe 2 de ce Am aplicat formula

diferenței de pătrate nu am făcut

nimic egal cu 0 Deci nu am făcut

nimic nou și acum când un produs

de două numere reale ne dă 0 când

cel puțin unul din numere este

0 Deci fie a avem acest număr egal

zero adică x minus supra 2 minus

radical din 3 pe 2 egal 0 sau putem

să avem această variantă în care

x minus 5 supra 2 plus radical

din 3 supra 2 ne dă 0 alte cuvinte

aici vom avea echivalente cu X

cât ne dă Păi trecem fiecare termen

peste egal cu semi schimbat și

vom avea așa numitorul este doi

și avem 5 plus radical din 3 5

plus radical din 3 pe 2 sau x este

egal cu vom avea aicea 5 minus

radical din 3 supra 2 deci de fapt

Avem două soluții și putem să le

notăm diferit X1 și X2 am obținut

pentru această ecuație două soluții

și notăm soluția este să notăm

aici sub avem cinci plus sau minus

radical din 3 supra 2 deci trecem

linia de fracție 5 plus sau minus

radical din 3 supra 2 Și acum Haideți

să găsim metoda de rezolvare pentru

o ecuație de gradul al doilea scris

în Forma generală iar Forma generală

este aceasta avem ax pătrat plus

bx plus c egal cu 0 ca să construim

mai ușor pătratul din care face

parte necunoscuta mă refer la acest

pătrat ar trebui ca acel coeficient

a lui x pătrat să fie egal cu unu

bun însă noi avem coeficientul

lui x pătrat egal cu a Cum să facem

ca locul lui a să fie 1 foarte

simplu a este diferit de 0 de aceea

putem să împărțim această egalitate

chiar la ei tragem o bară verticală

și împărțim la ei și vom avea Haideți

să facem acesta mai mare se vadă

a împărțit la n de 1 Deci vom avea

x pătrat adunat cu b supra a înmulțit

cu x adunat cu c supra a egal cu

zero și acum haide să construim

pătratul Deci avem x pătrat pe

care îl copiem adunat cu 8 3 cm

aici 2 înmulțit cu pi dacă înmulțim

acest produs cu doi ca el să nu

se modifice trebuie să îl împărțim

tot la 2:00 Deci vom avea b supra

2 ori a înmulțit cu x Iată doi

cu doi se simplifică Deci ne rămâne

b supra a oryx exact ce avem aici

adunat cu acum ca să formăm pătratul

de ce mai avem nevoie Păi avem

x pătrat adunat cu 2 ori x înmulțit

cu b supra 2 ora de ce avem nevoie

de pătratul acestui Factor b supra

2 ori a totul la pătrat ca să nu

se modifice cu nimic ecuația noastră

scădem ce am adăugat b supra 2

ori a totul la pătrat adunat cu

termenul nostru ce aveam aici adică

ce supra a egal cu zero Iată aici

obținem 0 această diferență ne

dă 0 plus c supra adică ce aveam

mai sus Cele Două ecuații scrise

sunt echivalente primii trei termeni

vom folosi formula știută și vom

obține x adunat cu b supra 2-a

totul ridicat la pătrat minus și

aici ai de să facem calculul avem

b pătrat supra 4-a la a doua chiar

putem să amplificăm cu 4-a și vom

avea la numitor 4-a pătrat iar

la numărător 4-a cuțit cu c egal

cu 0 Deci obținem x plus Deci aici

avem plus b supra 2-a totul ridica

la pătrat și aici se restrânge

în calculul Vom avea în minus linie

de fracție 4 la a doua ce avem

la numărător apoi minus b pătrat

minusul de jale am scos în față

aici trebuie să obținem plus pe

sistem trecem aici minus ori minus

ne dă plus Deci om avea de pătrat

minus 4 ac egal cu 0 iar minus

b pătrat minus b pătrat minus ori

minus de de plus acest termen exact

ce avem aici până la acest moment

nu am făcut nimic Decât să parcurgem

pașii așa cum am făcut și la această

ecuație și acum ca să ne fie mai

simplu Haideți să notăm această

diferență cu Delta și notăm aici

Delta egal cu b pătrat minus 4

a c și să se vadă mai clar Voi

păstra doar această ecuație bun

Haideți să păstrăm nu chiar ultima

forma ba chiar să lăsăm doar ultima

formă pentru că vom avea nevoie

de spațiu descriere Delta se numește

discriminantul și vom nota discriminantul

ecuației a x pătrat plus bx plus

c egal 0 adică discriminantul ecuației

date inițial iar acum vom avea

folosind această scriere cu Delta

x plus b supra 2-a totul ridicat

la pătrat minus Delta supra 4-a

pătrat ne dă 0 de ce folosim denumirea

de discriminant pentru că această

diferență exact ce avem aici face

deosebirea între soluțiile ecuației

noastre cu alte cuvinte discriminantul

hotărăște să zicem așa Ce fel de

soluții are această ecuație discriminantul

este un număr real Păi asta înseamnă

că el poate să fie ce ai de să

notăm poate să fie strict mai mic

decât 0 sau poate să fie egal cu

0 sau poate să fie strict mai mare

decât 0 Deci avem una din aceste

trei variante pe care le am și

notat Ce se întâmplă dacă discriminantul

este un număr negativ Păi Haideți

să ne uităm aici Patru a la a doua

este un număr strict pozitiv da

Deci asta înseamnă că toată această

fracție Cum va fi numărătorul e

negativ numitorul e pozitiv Deci

vom obține că Delta supra 4-a este

strict mai mic ca 0 cu minus în

față înseamnă caminos Delta supra

4-a pătrat pardon Aici am scris

doar patru a va fi cam strict mai

mare ca 0 Păi ce soluții vom obține

pentru această ecuație Haideți

să dăm chiar un exemplu concret

ca să înțelegeți mai bine dacă

Delta e de exemplu minus unu Deci

cazul Delta strig negativ vom avea

urmări mic x plus b supra 2-a totul

la pătrat minus acest minus Delta

care ne dă minus 1 supra 4-a pătrat

egal 0 2 minus ori minus ne dă

plus Deci vom avea x plus b supra

2-a totul la pa plus 1 supra 4-a

pătrat ne dă 0 Ce fel de număr

iar sista strict pozitiv ce fel

de număr Acesta e pătratul unui

număr real De ce mai mare sau egal

cu 0 Păi putem noi să adunăm un

număr mai mare sau egal cu 0 cu

1 strict pozitiv iar rezultatul

să fie 0 nu de centru asemenea

situație în care Delta este negativ

strig negativ nu avem soluții de

soluția este mulțimea vidă Haide

să ștergem aici și vom nota rezultă

că soluția este mulțimea vidă Deci

dacă discriminantul e un număr

negativ nu avem soluție pentru

ecuația noastră dacă discriminantul

este 0 vom obține avem aici 0 supra

4-a pătrat Deci ne dă 0 Deci x

plus b supra 2-a la pătrat cât

ne dă 0 Păi asta echivalent cu

a spune că ce avem aici x plus

b supra 2-a ne dă 0 echivalent

cu x egal cu minus b supra 2-a

Deci notăm că soluția este minus

b supra 2-a de ce în situația în

care discriminantul este 0 avem

o singură soluție și anume aceasta

dacă discriminantul este un număr

strict mai mare ca 0 atunci ce

o să rezulte Păi vom avea exact

situația descrisă în exemplul nostru

când am rezolvat prima ecuație

având aici un număr strict pozitiv

pentru că acum Delta supra 4-a

pătrat va fi strict pozitiv putem

să îl scriem ca fiind pătratul

unui număr concret vom avea Deci

rezultă rescriem x plus b supra

2-a totul la pătrat minus radical

din Delta pe care putem să scriem

acum pentru că Delta este strict

pozitiv supra 2-a totul la pătrat

egal cu 0 și acum facem exact ce

am făcut inecuația noastră desfacem

diferența de pătrate de x plus

b supra 2-a minus ce avem aici

radical din Delta supra 2-a totul

un pardon nu totul la pătrat Deci

totul în paranteză înmulțit cu

x plus ce avem aici b supra 2-a

Și acum ce trecem adunat cu acest

radical din Delta supra 2-a ne

dă 0 și ce variante avem Păi fie

obținem aici 0 și obținem aici

0 și vom avea de fapt că x plus

b supra 2-a minus radical din Delta

supra 2-a ne dă 0 sau exact cum

scrie și în ce alt exemplu ce avem

aici adică x plus b supra 2-a plus

radical din deltă supra 2-a ne

dă 0 e deja e simplu aici pentru

că x va fi egal cu trecem numitorul

comun care este 2-a și vom avea

minus b plus radical din deltă

supra 2-a sau avem varianta următoare

tot așa numitorul este 2-a minus

b minus radical din deltă supra

2-a de ceartă că și aici Avem două

soluții X1 și X2 Deci notăm că

în acest caz soluția va fi trecem

numitorul Care este 2-a minus b

plus sau minus radical din deltă

supra 2-a raționamentul pe care

îl am făcut aici nu este unul simplu

nu mai este nici foarte complicat

și îl am făcut pentru că am vrut

să vedeți că ai de se vadă și Delta

am vrut să vedeți de unde apare

necesitatea de a calcula această

diferență de ce numim această diferență

discriminant Și de ce e nevoie

să luăm în calcul la aceste trei

variante pentru Delta pentru că

de fapt iată că Delta decide Ce

fel de soluție are ecuația noastră

acum să facem o scurtă recapitulare

când ni se dă o ecuație de gradul

al doilea Cum procedăm ca să o

rezolvăm mi se dă o ecuație de

gradul al doilea mai întâi calculăm

discriminantul acestei ecuații

și discriminantul este egal cu

trebuie să învățăm această formulă

sau pe de rost avem pătratul coeficientului

lui x adică b pătrat minus 4 înmulțit

cu a înmulțit cu ce Deci minus

patru ace și apoi în funcție de

Delta bun Stabiliți soluțiile avem

trei variante Delta este strict

mai mic ca 0 sau Delta este egal

cu 0 sau ultima variantă Delta

este un număr prim mai mare ca

0 dacă Delta este strig negativ

De ce obținem aici atunci soluția

acestei ecuații este mulțimea vidă

dacă Delta este 0 avem o singură

soluție și ea este dată de elementul

a minus b supra 2-a aceasta este

mulțimea soluțiilor și dacă Delta

este un număr strig mai mare ca

0 atunci vom avea două soluții

pardon și anume trecem linia de

fracție b Deci coeficientul lui

x cu minus în față plus sau minus

radical din deltă Care este un

număr real pentru că Delta este

strict pozitiv totul supra 2 înmulțit

cu coeficientul lui x pătrat adică

doi A deci ca să rezolvăm corect

o ecuație de gradul al doilea trebuie

să urmărim această schemă și evident

Să știm și formulele care apar

în secvența ce urmează chiar o

să rezolvăm câteva ecuații de gradul

al doilea

Ecuația de gradul al doileaAscunde teorie X

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație de forma:

box enclose space a x squared plus b x plus c equals 0 space end enclose space a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space b comma space c element of straight real numbers space left parenthesis x element of straight real numbers right parenthesis

și ea este echivalentă cu ecuația:

open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a squared end fraction equals 0.

Discriminantul ecuației este numărul

box enclose space increment equals b squared minus 4 a c space end enclose

Distingem trei cazuri, în funcție de semnul lui delta:

1. space increment greater than 0

Ecuația are două soluții distincte și acestea sunt:

box enclose space x subscript 1 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction space end enclose

box enclose space x subscript 2 equals fraction numerator negative b minus square root of increment over denominator 2 a end fraction space end enclose

2. space increment equals 0

Ecuația are o singură soluție:

box enclose space x equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction space end enclose

3. space increment less than 0

Ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale

S equals empty set.

 

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri