Ecuații de gradul întâi cu două necunoscute

în această secvență ne vom ocupa

de ecuații de gradul întâi cu două

necunoscute Care este forma unor

asemenea ecuații avem această formă

a x adunat cu b ori y egal cu c

egal 0 unde a b și c sunt toate

numere reale iar x y parcurg hiene

mulțimea numerelor reale ce avem

aici este o ecuație de gradul întâi

cu două necunoscute pe Clar că

are două necunoscute necunoscutele

sunt x și y De ce se numește ecuație

de gradul întâi pentru că necunoscutele

cea mai cel mai mare exponent la

care se află necunoscutele este

1 avem aici x la 1 Iași la el și

avem acest exemplu 2x adunat cu

3 minus 7 egal 0 unde x și y sunt

numere reale Care este mulțimea

soluțiilor acestei ecuații sau

să întreb altfel Câte soluții credeți

că avem Păi avem o infinitate de

soluții pentru că ori De câte ori

îi dăm o valoare lui x vom obține

o valoare pentru Y6 să fie mai

clar acest lucru iar că putem să

le exprimăm pe yii2 x mai întâi

Haideți să separăm pe trei ori

intreg de restul termenilor și

avem aici 3y Cu cât este egal petrecem

pe 7 peste egal cu semn schimbat

Deci ne dă pe minus 7 Pardon Și

ne dă 7 aici avem 2x peste egal

vom avea minus 2x acum ca să îl

obținem pe al împărțim la 3 această

relație și vom avea că y este șapte

supra 3 minus 2 supra 3 înmulțit

cu x Deci la exprimat pe câmp funcție

de x și acum e clar că ori De câte

ori dăm o valoare reală a lui x

vom obține o valoare reală pentru

y61 infinitate de Valori înseamnă

că și y și atat o infinitate de

Valori Deci avem o infinitate de

soluții și chiar Haideți să facem

un tabel de Valori ca la funcții

să găsim câteva din soluțiile acestei

ecuații trecem aici x și aici Y6

îi dăm lui x câteva valori de exemplu

se dăm valoarea minus unu Cât este

atunci y y dacă x este egal cu

minus 1 atunci y cu cât va fi egal

înlocuim aici în loc de x trece

minus 1 și avem 7 supra 3 la primul

termen minus 2 supra 3 înmulțit

cu x care este minus 1 și cât vom

avea pe minus ori minus ne dă plus

Deci aici vom avea plus 2 supra

3 Deci obținem 7 adunat cu 2 totul

supra 3 cu alte cuvinte 9 împărțit

la trei adică trei și trecem aici

tre să dăm o altă valoare lui x

de exemplu 2 daca x este egal cu

2 atunci y vei fi egal cu avem

aici în loc de x trecem doi Deci

avem șapte pardon 7 supra 3 din

care scădem 2 supra 3 înmulțit

cu 2 și vom avea linie de fracție

aici Avem doi ori doi patru de.com

obține 4 supra 367 pe trei deci

7 minus 4 totul supra 3 de 3 supra

3 1 trecem aici 1 și să mai luăm

încă o valoare pentru x Să considerăm

că x este egal cu ID să trecem

mai întâi și unu supra doi unu

supra doi dacă x ne dă unu pe doi

dacă x este pardon unu pe doi atunci

y vei fi egal cu 7 supra 3 minus

2 supra 3 înmulțit cu x care e

unu pe doi și observăm că aici

putem să simplificăm pe 2:02 prin

2 ne dă unu și unu cu alte cuvinte

ne dă 1 pe 3 7 minus 1 totul supra

3 să notăm aici 7 minus 1 totul

supra 3 înseamnă 6 supra 3 adică

doi și avem aici doi acum nu putem

toate soluțiile pentru că avem

o infinitate de soluții de aceea

cel mai bine este să Reprezentăm

grafic soluțiile unei asemenea

ecuații românce Pepina reprezenta

aceste trei puncte pe care le am

obținut și să trecem coordonatele

obținute avem minus 1 și 3 notăm

aici minus 1 și 3 următoarele coordonate

sunt 2 și 1 și apoi avem 1 supra

2 și 2 și le Reprezentăm într un

sistem de coordonate trecem aici

minus 1 și 3 Deci minus 1 și acum

Haide să trecem pe 3 avem aici

1 2 și 3 punctul de coordonate

minus 1 și 3 este acesta apoi punctul

de coordonate 2 și 1 aici este

1 Aici este 2 aici la bmp nu găsim

punctul și ultimul punct unu pe

doi și doi aici la avem pe unul

Deci aici este unu supra doi adică

0 ai 502 și ia de aceste trei puncte

Cum sunt aceste trei puncte pe

ele sunt puncte coliniare chiar

putem să trasăm dreapta determinată

de ele acum orice altă soluție

am găsit pentru această ecuație

Adică o pereche de numere cum am

notat aici atunci punctul care

va avea coordonatele respective

se va situa pe această dreaptă

și putem să luăm încă un exemplu

ca să ne convingem dacă îi dăm

lui x valoarea a 3 Haide să trecem

aici dăm lui x valoarea 3 chiar

Haideți să prelungesc și această

dreaptă Deci am da lui valoarea

trei Cât este acum Y8 am ce avem

și îi dăm cum am spus lui x valoarea

3 Ce rezultă că va fi 7 supra 3

minus 2 supra 3 înmulțit cu trei

Da Și vom avea X6 pe trei Deci

avem șapte minus unu nu pardon

7 minus 6 totul supra 3 și rezultatul

este 1 supra 3i punctul de coordonate

3 și 1 pe 3 pe care il trec aici

pentru că este soluție a acestei

ecuații 3 și 1 supra 3 se află

pe această dreaptă Haide să trecem

Deci dacă avem abscisă A3 Aici

este 3 și ordonată 1 supra 3 1

supra 3 cam pe aici 1 pe 3 și trasăm

găsim acest punct iată că acest

punct de coordonate 3 și 1 pe 3

care verifică ecuația noastră se

află chiar pe această dreaptă Deci

mulțimea soluțiilor ecuației 2x

plus 3 y minus 7 egal 0 se Reprezintă

printr o dreaptă evident că aici

nu am dată nu am demonstrat riguros

și am dat o explicație mai mulți

intuitivă ca să înțelegeți că de

fapt mulțimea soluțiilor unei asemenea

ecuații este o dreaptă de aceea

dreapta obținută Deci această dreaptă

se numește dreapta de ecuație 2x

plus 3 y minus 7 egal 0 și chiar

putem să notăm aici 2 x plus 3

y minus 7 egal 0 Putem să scriem

pe această dreaptă și Ecuația a

cu alte cuvinte când i se dă o

ecuație de gradul întâi cu două

necunoscute Deci o ecuație de această

formă a ore x plus b plus c egal

0 mulțimea soluțiilor unei asemenea

ecuații se reprezintă printre o

dreaptă iar acea dreaptă se numește

dreapta de ecuație a x plus b plus

c egal cu 0 să Reprezentăm acum

geometric mulțimea soluțiilor acestei

ecuații 2x minus y plus cinci egal

0 ca să ne fie mai simplu Haideți

să exprimăm pe în funcție de x

sigur putem să facem și invers

să le exprimăm pe x în funcție

de igrec oricare variantă Este

corectă Dar dacă îl scriem pe Y8

funcție de x atunci de fapt să

trecem peste egal cu semn schimbat

și vom avea că e y este 2 ori x

adunat cu 5 și acum Haideți să

facem tabelul de valori de câte

valori avem nevoie de vreme Ce

știm deja că mulțimea soluțiilor

acest ecuații este reprezentată

prin o dreaptă Păi o dreaptă determinată

de două puncte înseamnă că avem

nevoie de două valori asta înseamnă

că îi dăm lui x două valori și

să luăm de exemplu un numerele

0 și minus unu putem să trecem

ce valori dorim pentru că x și

y sunt numere reale parcurg mulțimea

numerelor reale dacă x este 0 atunci

y Cu cât este egal Avem doi ori

0 adunat cu cincimea de 5 Deci

trecem aici 5 dacă x este minus

1 atunci y vei fi egal cu 2 ori

minus unu adunat cu cinci Asta

înseamnă trei Deci avem punctele

de coordonate 0 și 5 și al doilea

punct de coordonate minus 1 și

3 și haide să le trecem aici roșii

5 trecem 5 pe axa o y 1 2 3 4 și

aici îl avem pe 5 acesta este punctul

de coordonate 0 și 5 minus 1 și

3 Aici este minus unu aici avem

unul doi trei și iată avem acest

punct dreapta care e determinată

de aceste două puncte Haideți so

trasăm Iată aceasta este dreapta

chiar o să prelungesc ca să ardem

de să scriem aceasta este dreapta

de ecuație să notăm doi x doi x

minus y plus cinci egal 0 în ultima

problemă vrem Să arătăm că dreptele

care au aceste ecuații sunt concurente

în punctul de coordonate doi și

zero tehnici Se dau două drepte

Haideți să le notăm de indice 110

mai întâi numerele dreptei urmate

două puncte și apoi scriem ecuația

minus 2x minus y plus 4 egal 0

și dreapta d indice 2 cu ecuația

x plus igrec minus 2 egal 0 vrem

Să arătăm că aceste două drepte

sunt concurente în punctul de coordonate

doi și zero Ce înseamnă drepte

concurente pe două sau mai multe

drepte sunt concurente dacă ele

au un singur punct în comun de

exemplu aceste două drepte Iată

sunt concurente singurul punct

comun este acesta ca Să arătăm

că d1 și d2 sunt concurente în

punctul de acest care are aceste

coordonate ce avem de făcut În

primul rând trebuie să arătăm că

acest punct se află pe ambele drepte

Deci arătăm că punctul de coordonate

2 și 0 aparține dreptei d 1 dar

el aparține și dreptei de 2 această

condiție Este suficientă pentru

a arăta că dreptele sunt concurente

nu pentru că e posibil ca cele

două drepte să fie și suprapuse

aici arătăm doar că un punct este

comun celor două drepte Dar putem

avea și situația în care dreptele

au infinitate de puncte în comun

de cele sunt suprapuse ca să evităm

acest lucru arătăm că dreptele

de indice 1 și d indice 2 sunt

drepte distincte Deci două drepte

distincte cu un punct în comun

înseamnă că avem drepte concurente

Cum arătăm că punctul de coordonate

2 și 0 aparține dreptei d 1 pe

acest lucru se întâmplă dacă și

numai dacă locuitul pe x cu 2 și

pe y cu zero vom obține o relație

adevărată Deci minus 2 înmulțit

cu x 2 minus y 0 plus 4 egal 0

este această relație adevărată

a calcula avem aici minus 4 minus

0 minus 4 cu 4 0 0 egal cu 0 adevărat

Deci această relație îndeplinită

același lucru îl facem și aici

echivalent Cum dacă x este 2 și

y60 minus 2 egal 0 avem relație

adevărată singura avem toți 0 egal

cu 0 Deci am arătat că acest punct

cu aceste coordonate se află și

pe dreapta d1 și pe dreapta de

2 Cum arătăm că cele două drepte

sunt diferite Păi putem să găsim

un punct care aparține dreptei

de 1 și nu aparține dreptei de

2 sau invers Haideți să ne uităm

mai întâi la dreapta D2 e mai ușor

să găsim un punct care e pe această

dreaptă avem coeficienții mai mici

iar dacă îi dăm lui x valoarea

1 și lui tot valoarea 1 Cum obține

o relație adevărată Deci punctul

de coordonate 1 și 1 aparține dreptei

d 2 pentru că să Înlocuim pe x

și pe Grecu 1 avem 1 plus 1 minus

2 ne dă 0 Da avem o relație adevărată

de ce echipă alint cu 0 egal cu

0 adevărat acest punct de coordonate

1 și 1 aparține Oare și dreptei

D indice 1 Păi Haideți să verificăm

îi dăm lui x valoarea 1 iar lui

y totul valoarea 1 și avem A minus

2 înmulțit cu 1 minus 1 plus 4

egal 0 echivalent cu aici obținem

așa minus 3 cu 4 ne dă un cuvant

cu 1 egal cu 0 cum e această relație

falsă Deci acest punct de coordonate

minus de coordonate pardon 1 și

1 nu aparține dreptei d 1 pentru

că Iată avem această relație Deci

am arătat că dreptele sunt distincte

Ele au ca punct comun punctul de

coordonate doi și zero și acest

punct este unic deci vorbim de

drepte concurente