Ecuații exponențiale

o ecuație exponențială este o ecuație

care are necunoscută la exponent

în rezolvarea ecuațiilor exponențiale

îmi Ține cont de faptul că funcția

exponențială este injectivă și

astfel două puteri egale cu aceeași

bază vor avea exponenții egali

prima ecuație 7 la puterea 2x plus

9 egal cu 7 la minus 5 egal a exponenții

și obținem 2x plus 9 egal cu minus

5 2 x egal cu minus 14 x egal cu

minus 7 soluția ecuației este mulțimea

formată din elementul minus 7 următoarea

ecuație exponențială 3 la puterea

x pătrat înmulțit cu 1 supra 3

la 2 x egal cu 27 când avem puteri

cu baze diferite Încercăm să le

aducem la aceeași bază 3 la x pătrat

ori 1 supra 3 este egal cu 3 la

minus 1 și pentru că avem aici

2x nu avea trei la minus doi x

egal 27 se poate scrie 3 la a treia

aici folosind proprietăți ale puterilor

atunci când înmulțim două puteri

cu aceeași bază exponenții se adunăm

vom avea a 3 la x pătrat minus

doi x egal cu 3 la a treia acum

egalăm exponenții x la a doua minus

doi x egal cu 3 obținem ecuația

de gradul al doilea x la a doua

minus 2x minus 3 egal cu 0 Delta

este egal cu 4 minus 4 ori minus

3 egal cu 16 x 1 este 2 plus 4

supra 2 și egal cu 3 și x 2 este

egal cu 2-a minus 4 supra 2 egal

cu minus 1 soluția acestei ecuații

este mulțimea formată din elementele

3 și minus 1 următoarea ecuație

exponențială 8 la puterea radical

din x plus 2 egal cu 16 ori 2 la

puterea a 2 radical din x plus

2 având în vedere că necunoscuta

Este sub radical de ordin par va

trebui să punem condiții de existență

vom pune condiția ca x plus 2 să

fie mai mare sau egal cu 0 radical

de ordin pare există doar din valori

pozitive obținem x mai mare sau

egal cu minus 2 Așadar domeniul

de existență a acestei ecuații

va fi intervalul minus 2 plus infinit

după ce obținem soluția va trebui

să verificăm dacă această soluție

aparține intervalului minus 2 plus

infinit o să scriem pe 8 și pe

16 ca puteri ale lui 2 8 este 2

la a treia și totul la puterea

radical din x plus 2 egal 16 este

2 la a patra înmulțit cu 2 la puterea

2 radical din x plus 2 2 la puterea

3 radical din x plus 2 egal cu

2 la puterea 4 plus doi radical

din x plus doi avem două puteri

cu aceeași bază egalăm exponenții

3 radical din x plus 2 egal cu

4 plus 2 radical din x plus 2 trecem

acest radical în primul membru

3 radical din x plus 2 minus 2

radical din x plus 2 va fi radical

din x plus 2 egal cu 4 ridicăm

egalitatea la pătrat și obținem

x plus 2 egal cu 16 De unde x este

egal cu 14 această valoare aparține

Domeniului de existență În consecință

soluția este numărul 14 următoarea

ecuație exponențială 2 la puterea

a 2 x plus 1 minus 3 ori 2 la x

plus 1 egal cu 0 la puterea a 2

x plus 1 se poate scrie 2 ori 2

la 2x minus 3 ori 2 la x plus 1

egal cu 0 doi ori doi la puterea

a 2 x se poate scrie 2 la x totul

la a doua minus 3 ori 2 la x plus

1 egal cu 0 în continuare vom face

o substituție Vom nota 2 la x cute

obținem 2 t pătrat minus 3 t plus

1 egal cu zero Am obținut astfel

o e poate de gradul al doilea cu

necunoscuta Delta este egal cu

9 minus 4 ori 2 egal cu 1 pe 1

este egal cu 3 plus 1 supra 4 egal

cu 1 pe 2 este egal cu 3.000 pneus

1 supra 4 egal cu 1 pe 2 Revenim

la notația făcută și avem 2 la

x egal cu unu obținem 2 la x egal

1 se poate scrie 2 la 0 în consecință

x egal cu zero aceasta este prima

soluție și 2 la x egal cu 1 pe

2 avem 2 la x egal cu 2 la minus

unu pentru că unu pe doi este 2

la minus 1 egalăm exponenții și

obținem x egal cu minus 1 soluția

ecuații exponențiale este mulțimea

formată din elementele 0 și minus

1 următoarea ecuație exponențială

Nu întotdeauna putem face substituție

în forma în care este dată ecuația

inițial așa Dar uneori este nevoie

să facem câțiva pași intermediari

pentru această ecuație exponențială

bun împărți ambii membri ai Egalității

cu 9 la x același rezultat se obține

și dacă împărțim egalitatea cu

6 la X sau cu 4 la X Ideea este

să eliminăm una din exponențiale

și apoi să facem o substituție

vom avea 6 supra 9 totul la x plus

3 ori 4 pe 9 totul la x egal cu

2 6 pe 9 este egal cu 2 supra 3

pentru că am simplificat cu 3 2

pe 3 la x plus 3 ori 4 pe 9 este

2 pe 3 totul la a doua și pentru

că mai avem aici un x vom avea

2 pe 3 la 2 x egal cu 2 nu faci

următoarea substituție notăm 2

supra 3 la x cute obținem din nou

o ecuație de gradul al doilea 3

de pătrat plus minus 2 egal cu

0 Delta este egal cu 1 minus 4

ori 3 ori minus 2 și egal cu 25

de unu egal cu minus 1 plus 5 supra

6 egal cu 2 pe 3 iar t 2 este egal

cu minus 1 minus 5 supra 6 egal

cu minus 1 Dacă 2 supra 3 la x

este egal cu t f înseamnă că te

Trebuie obligatoriu să fie strict

mai mare ca 0 pentru că exponențială

ia doar valori pozitive Așadar

dintre cele două soluții pe care

le am obținut numele ține doar

soluția pozitivă Revenim la notația

inițială și avem 2 pe 3 la x egal

cu 2 pe 3 de unde se obține x egal

cu 1 aceasta este soluția ecuației

exponențiale următoarea ecuație

avem ecuația 2 la puterea 2x ori

3 la x minus 2 ori 5 la x plus

1 egal cu 9 observăm că aici nu

putem aduce puterile la aceeași

bază și atunci logaritmam ambii

membri ai ecuației între o bază

convenabilă de exemplu putem logaritm

în bază 10 și vom avea logaritm

zecimal din 2 la 2 x ori 3 la x

minus 2 ori 5 la x plus 1 egal

cu logaritm zecimal din 9 vă reamintesc

câteva proprietăți ale logaritmilor

dacă avem logaritm zecimal din

a la n acesta va fi egal cu n logaritm

zecimal din A deci exponentul trece

în fața logaritmului iar logaritmul

unui produs logaritm zecimal din

a ori b ori c va fi egal cu suma

lung aritmiilor logaritm zecimal

din a plus lui Marin Deci mal din

b plus logaritm zecimal din cer

de asemenea dacă avem o diferență

de forma logaritm zecimal din A

minus logaritm zecimal din b aceasta

se poate restrânge sub forma logaritm

din a supra b aceste trei formule

le vom aplica în continuare așa

cum spuneam avem logaritmul unui

produs care se poate scrie sub

forma unei sume de logaritm și

avem logaritm zecimal din 2 la

2 x plus logaritm zecimal din 3

la x minus 2 plus logaritm zecimal

din 5 la x plus 1 egal cu logaritm

zecimal din 9 exponentul se scrie

fața logaritmului 2x logaritm zecimal

din 2 plus x minus 2 logaritm zecimal

din 3 plus x plus 1 logaritm zecimal

din 5 egal cu logaritm zecimal

din 9 cum desfaci aici parantezele

avem 2x logaritm zecimal din 2

plus x logaritm din 3 minus 2 logaritm

din 3 plus x logaritm zecimal din

5 plus logaritm zecimal din 5 egal

cu logaritm zecimal din 9 în continuare

subliniam termenii care îl conțin

pe x pentru el Da factor comun

și vom avea x pe lângă 2 logaritm

zecimal din 2 plus logaritm zecimal

din 3 plus logaritm zecimal din

5 este egal cu logaritm zecimal

din 9 plus 2 logaritm zecimal din

3 minus logaritm zecimal din 5

2 logaritm din 2 este egal cu logaritm

zecimal din 2 la doua adică logaritm

zecimal din 4 2 logaritm zecimal

din 3 este egal cu logaritm zecimal

din 3 la a doua adică logaritm

zecimal din 9 vom avea x ori logaritm

zecimal aici de strângem suma lungă

aritmiilor sub forma logaritmului

unui produs 4 ori 3 este 12 ori

5 este 60 egal logaritm din 9 plus

logaritm din 9 este egal cu logaritm

din 9 ori 9 adică logaritm din

81 și pentru că avem în continuare

minus logaritm din 5 aplicăm această

formulă și obținem logaritm zecimal

din 81 supra 5 de aici se obține

x egal cu logaritm zecimal din

81 pe 5 supra logaritm zecimal

din 60 aceasta este soluția ecuației

exponențiale și ultima ecuație

3 la x minus 2 supra 7 la x egal

cu 19 supra 7 pentru a rezolva

acest tip de coasă exponențiale

vom ghici soluția și apoi demonstrăm

unicitate acesteia pe baza injectivitatii

funcției exponențiale așa dar Haideți

să dăm Valul lui x pentru a verifica

Care dintre acestea va fi soluție

a ecuației date Daca x este egal

cu 0 Orice număr ridicat la puterea

0 este 1 avem 1 minus 1 egal cu

19 supra 7 fals dacă x este egal

cu 1 Avem 3 minus 2 pe 7 egal cu

19 supra 7 amplificăm cu șapte

trei ori 721 minus 219 pe 7 am

obținut astfel că x egal cu 1 este

soluția ecuației date și acum putem

de mostra unicitatea acesteia pe

baza injectivitatii aceste funcții

notăm funcția aceasta cu f de x

și f de x egal cu 3 la x minus

2 pe 7 la puterea x Aceasta este

o funcție strict crescătoare fiind

o sumă de funcții strict crescătoare

dacă nu te cu g de x funcția 3

la puterea x Aceasta este o funcție

exponențială cu baza supraunitară

Deci este strict crescătoare dacă

notez cu htx funcția minus 2 supra

7 la x 2 supra 7 la x este funcția

exponențială cu baza subunitară

și este strict descrescătoare însă

atunci când înmulțim această funcție

strict descrescătoare cu un număr

negativ se obțină funcție strict

crescătoare întotdeauna înmulțirea

unei funcții monotone cu un număr

negativ va schimba monotonia dacă

funcțiile g și h sunt strict crescătoare

înseamnă că funcția f de x fiind

suma funcțiilor gdx și htx va fi

și această o funcție strict crescătoare

iar o funcție strict monotonă este

injectivă rezultă f injectivă înseamnă

că soluția pe care am obținut o

xe egal cu 1 este soluție unică