Ecuații logaritmice

ecuațiile lui Ba ritmice sunt ecuații

care conține cunoscuta ca argument

sau ca bază a logaritmului în rezolvarea

ecuațiilor logaritmice vom Ține

cont de urmatoarele aspecte m Dacă

avem o ecuație de forma logaritm

în bază f de x din g de x egal

cu b atunci pe baza definiție logaritmului

această ecuație se va scrie s d

x la puterea b este egal cu g de

x compunere de asemenea și condiții

de existență pentru această ecuație

un logaritm există dacă baza logaritmului

este număr strict pozitiv și diferit

de 1 iar argumentul logaritmului

trebuie să fie de asemenea un număr

strict pozitiv Așadar vom pune

condiția ca f de x să fie mai mare

ca 0 f de x diferit de 1 și g de

x mai mare ca 0 putem întâlni și

ecuații în care avem o egalitate

de 2 logaritm cu aceeași bază logaritm

în bază a din f de x egal cu logaritm

în bază a din gdx atunci pe baza

injectivitatii funcției logaritmice

putem elimina logaritmi și obținem

o egalitate de forma f de x egal

cu g de x și în această situație

vom pune condițiile de existență

pentru această ecuație baza logaritmului

numărul ei trebuie să fie strict

pozitiv a diferit de 1 f de x mai

mare ca 0 și g de x mai mare ca

0 la unele ecuații vom folosi anumite

substituții sau proprietăți ale

logaritmilor și apoi aducem ecuațiile

la una dintre cele două forme să

rezolvăm O primă ecuație avem ecuația

logaritm zecimal din x minus 3

egal cu logaritm zecimal din 5

pune mai întâi condițiile de existență

pentru această ecuație baza logaritmilor

este 10 Așadar singura condiție

ce trebuie pusă este ca x minus

3 să fie mai mare ca 0 rezolvăm

această in ecuație și obține x

mai mare ca 3 în consecință domeniul

de existență pentru această ecuație

este intervalul 3 plus infinit

având în vedere că funcția logaritmică

este injectivă putem elimina logaritmi

și obținem relația x minus 3 egal

cu 5 x este egal cu 8 8 aparține

acestui interval Așadar soluția

ecuației va fi numărul 8 următoarea

ecuație logaritm în baza x minus

2 din x pătrat minus 2x minus 6

egal cu 1 RON pune mai întâi condițiile

de existență pentru această ecuație

baza logaritmului trebuie să fie

număr strict pozitiv și diferit

de 1 Așadar x minus 2 mai mare

ca 0 x minus 2 diferit de 1 și

argumentul logaritmului x pătrat

minus 2x minus 6 trebuie de asemenea

să fie un număr strict pozitiv

acestea sunt condițiile de existență

pentru această ecuație Acum putem

să rezolvăm aceste inecuații și

la final să obținem domeniul de

existență prin intersecția soluțiilor

și apoi să trecem la rezolvarea

ecuației sau o altă metodă ar fi

să rezolvăm mai întâi ecuația și

la final să vedem dacă soluția

obținută verifică toate condițiile

de existență Eu zic că a doua metodă

e mult mai rapid dăm așa că vom

trece direct la rezolvarea ecuației

din definiția logaritmului avem

că x minus 2 ridicat la puterea

întâia o să scriem așa ca să se

vadă mai clar este egal cu x pătrat

minus 2x minus 6 trecem totul întrun

membru și avem x pătrat minus 2x

minus 6 minus x plus 2 este egal

cu 0 x pătrat minus 3x minus 4

egal cu 0 Delta este b pătrat 9-a

minus 4 Ace 4 ori 1 ori minus 4

9 plus 16 25 x 1 este 3 plus 5

supra 2 8 pe 2 4 x 2 este egal

cu 3 minus 5 supra 2 minus 2 supra

2 este egal cu minus 1 verificăm

acum prin calcul direct Dacă ambele

soluții obținute verifica condițiile

de existență 4 minus doi este mai

mare ca 0 devarat 4 minus doi este

diferit de unu adevărat 4 la a

doua este 16 minus 8 8 minus 6

2 2 este mai mare ca 0 adevărat

următoarea soluție obținută este

minus 1 observăm că a minus 1 minus

2 nu este mai mare decât 0 așa

dar această Soluție Nu verifică

condițiile de existență În consecință

singura soluție acceptată este

numărul 4 a treia ecuație logaritm

în baza 2 din x minus 1 plus logaritm

în bază 2 din x minus 3 este egal

cu 3 vom scrie condițiile de existență

pentru această ecuație argumentul

primului logaritm x minus unu trebuie

să fie mai mare ca 0 și de asemenea

și x minus trei trebuie să fie

mai mare ca 0 dacă intersectăm

cele două soluții obținute se poate

vedea foarte ușor că domeniul de

existență este intervalul 3 plus

infinit trecem acum la rezolvarea

ecuației vom folosi una din proprietățile

logaritmilor are loc următoarea

formulă logaritm în bază a din

3 expresie b plus logaritm în bază

a Din ce se poate restrânge sub

forma logaritm în bază a din b

ori c aplicăm această formulă aici

și vom obține logaritm în bază

2 din x minus 1 pe lângă x minus

3 este egal cu 3-a Cum aplicăm

definiția logaritmului și avem

că x minus 1 pe lângă x minus 3

este egal cu 2 la puterea a treia

acum desfacem parantezele avem

x pătrat minus 3x minus x ne dă

minus 4x plus 3 este egal cu 8

obținem ecuația de gradul al doilea

x la a doua minus 4x minus 5 este

egal cu 0 Delta este 16 minus 4

ori minus 5 16 plus 20 este 36

x 1 este egal cu 4 plus 6 supra

210 pe 2 este 5 x 2 egal cu 4 minus

6 supra 2-a minus 2 pe 2 este minus

1 numărul 5 îndeplinește ambele

condiții de existență însă numărul

minus unu nu îndeplinește condițiile

pentru că minus 1 minus 1 ne dă

minus 2 minus 2 nu este mai mare

ca 0 Așadar numărului minus unu

nu verifică condițiile de existență

în consecință soluție acestei ecuații

este numărul 5 a patra ecuație

2 logaritm în baza 5 din x plus

logaritm în baza x din 5 este egal

cu 3 vom scrie condițiile de existență

pentru această ecuație având în

vedere că x apare atât ca bază

cât și ca argument arunca Ritmului

Compune condiția ca x să fie mai

mare ca 0 și x diferit de 1 observăm

că avem logaritm în baza diferite

și Încercăm să aducem la aceeași

bază pentru aceasta vom folosi

o altă proprietate alungă aritmiilor

are loc următoarea formulă logaritm

în bază a din b este egal cu 1

supra logaritm în baza b din a

astfel logaritm în baza 5 din x

se poate scrie 1 supra logaritm

în baza x din 5 Revenim la ecuație

și avem 2 înmulțit cu 1 supra logaritm

în baza x din 5 plus logaritm în

baza x din 5 este egal cu 3 acum

vom face următoarea substituție

vom nota logaritmul în baza x din

5 cute obținem astfel următoarea

ecuație 2 supra a plus b este egal

cu 3 înmulțim cute și Avem doi

plus de pătrat egal cu 3 t trecem

totul între un membru și obținem

ecuația te pătrat minus 3 plus

2 este egal cu 0 Delta este 9.900

truehr2 1 pe 1 este 3 plus 1 supra

2 și egal cu 2 iar Tei 2 este egal

cu 3 minus 1 supra 2 și egal cu

1 Revenim la notația făcută și

avem că logaritm în baza x din

5 este egal cu 2 de unde obținem

ecuația x la a doua egal cu 5 x

este egal cu radical din 5 nu luăm

în calcul și soluția minus radical

din 5 întrucât x trebuie să fie

număr strict pozitiv și cealaltă

posibilitate logaritm în baza x

din 5 egal cu unu de unde obținem

că x la unu egal cu 5 Deci x este

egal cu 5 am obținut soluțiile

radical din 5 și 5 și observăm

că ambele verifică condițiile de

existență Așadar soluția ecuației

este mulțimea formată din elementele

radical din cinci și cinci și ultima

ecuație avem logaritm pătrat în

baza radical din 7 din x minus

5 logaritm în baza radical din

7 din x plus patru este egal cu

0 pentru început vom pune condiția

ca x să fie mai mare ca 0 logaritm

pătrat în baza radical din 7 din

x este notația folosită pentru

logaritm în baza radical din 7

din x totul la pătrat deci putem

să scriem ecuația și sub forma

aceasta minus 5 logaritm în baza

radical din 7 din x plus 4 egal

cu zero vom face iarăși o substituție

Vom nota logaritm în baza radical

din 7 din x cute obținem te pătrat

minus 5 t plus 4 egal cu 0 Delta

este 25 minus 4 ori 4 egal cu 9

1 este 5 plus 3 supra 2 și egal

cu 4 pe 2 este egal cu 5 minus

3 supra 2 și egal cu 1 Revenim

la notația făcută și avem logaritm

în baza radical din 7 din x egal

cu 4 de unde x este egal cu radical

din șapte la a patra radical din

7 la a patra se poate scrie radical

din 7 la a doua și totul la a doua

Așadar x este egal cu 49 iar pentru

cealaltă soluție obținută avem

logaritm în baza radical din 7

din x egal cu unu de unde obținem

că x este egal cu radical din 7

am obținut soluțiile x egal cu

49 x egal cu radical din 7 ambele

verifică condiția de existență

în consecință soluția este mulțimea

formată din numerele 49 și radical

din 7