Ecuații matriceale
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
nu de puține ori nu am consultat
cu situația în care trebuia să
determinăm o anume Matrice din
egalitate o astfel de egalitate
poartă numele de ecuație matricială
în care recunoscuta este o matrice
studiul inversabilitatea unei Matrice
ne permite rezolvarea unor ecuații
matriceale Fie ecuația matricială
a ori x egal cu b în care matricea
a este o matrice pătratică de ordinul
n cu elemente în mulțimea numerelor
complexe a iar b este o matrice
cu m linii m coloane cu elemente
în mulțimea numerelor complexe
dacă matricea a este ne singulară
adică determinantul a este nenul
putem înmulți aceasta egalitate
la stânga cu inversă matricei a
obținând egalitatea a la minus
1 înmulțit cu a ori x egal cu Ana
minus 1 ori matricea b cu Mulțimea
matricelor este o operație asociativă
obținem egalitatea a la minus 1
ori a înmulțit cu matricea x egal
cu a la minus 1 vorbesc cu mala
minus 1 este inversă matricei a
acest produs este egal cu matricea
unitate de ordin n obținem Așadar
egalitatea e n ori x egal cu a
la minus 1 vorbe dar indice n este
elementul neutru la înmulțirea
matricelor obținem astfel acest
produs egal cu matricea x iar egalitatea
obținută ne oferă soluția ecuației
matriceale soluție unică dată de
expresia a la minus 1 vorbe Analog
procedăm și în cazul ecuației matriciale
x ori A egal cu b unde a este o
matrice pătratică de ordinul n
cu elemente în mulțimea numerelor
complexe iar b este o matrice cu
n linii și m coloane și elemente
în mulțimea numerelor complexe
dacă matricea a este o matrice
inversabilă înmulțim această egalitate
la dreapta cu a la minus 1 și obținem
egalitatea x ori A totul înmulțit
cu a la minus 1 este egal cu b
ori a la minus 1 Cum înmulțirea
matricelor este o operație asociativă
avem egalitatea x înmulțit cu a
ori a la minus 1 este egal cu b
ori a la minus unu dar așa la minus
1 sunt Matrice invers Așadar acest
produs este matricea unitate în
consecință x înmulțit cu e n este
egal cu b ori a la minus 1 dar
en este Matrice unitate ceea ce
înseamnă că acest produs este de
fapt matricea x am obținut Așadar
soluția ecuației matriciale ca
fiind egală cu b ori a la minus
1 în cazul ecuații matriceale a
ori x ori b egal cu matricea c
unde a este o matrice pătratică
de ordin n cu elemente în mulțimea
numerelor complexe b o matrice
pătratică de ordin m cu elemente
în mulțimea numerelor complexe
iar si o matrice cu n linii și
m coloane și elemente în mulțimea
numerelor complexe dacă a și b
sunt Matrice inversabilă atunci
putem înmulți aceasta egalitate
la stânga cu a la minus 1 iar la
dreapta cu Bela minus unu obținând
egalitatea a la minus 1 înmulțit
cu a ori x ori b înmulțit cu de
la minus 1 este egal cu a la minus
1 ori c ori b la minus aplicăm
de 9 asociativitatea înmulțirii
matricelor și obținem egalitatea
a la minus 1 ori a totul înmulțit
cu matrice aici care se înmulțește
la rândul ei cu produsul b ori
b la minus 1 egal cu a la minus
1 ori c ori b la minus 1 și a la
minus unu sunt matricei invers
asta înseamnă că acest produs este
matricea unitate de ordin n b și
b la minus 1 sunt Matrice inversă
ce înseamnă că acest produs este
matricea unitate de ordin n Așadar
egalitatea devine en înmulțit cu
x înmulțit cu e m egal cu a la
minus 1 ori c ori b la minus 1
Așadar soluția acestei ecuații
este unică și are expresia a la
minus 1 înmulțit cu ce înmulțit
cu B la minus unu să rezolvăm acum
ecuația matricială mate 1 2 3 4
înmulțit cu matricea x înmulțit
cu matricea 1 0 1 1 este egal cu
matricea 2 minus 1 2 3 vom nota
cu a matricea 1 2 3 4 cu b matricea
1 0 1 1 și cu ce matricea 2 minus
1 2 3 pentru a aplica metoda de
mai sus Avem nevoie ca aceste Matrice
a și b să fie Matrice inversabile
să calculăm în acest sens determinantul
matricei a acesta este 1 ori 4
minus 2 ori 3 adică 4 minus 6 egal
cu minus 2 diferit de zero ceea
ce seamna că matricea a este o
matrice inversabilă în mod Analog
determinantul matricei b este 1
1 minus 0 1 adică 1 diferit de
0 De ce matricea b este o matrice
inversabilă În consecință soluția
acestei ecuații este dată de relația
a la minus 1 ori c ori balosin
să calculăm inversă matricei a
coulomb transpusă matricei a inversând
liniile cu coloanele 1 2 3 4 calculăm
acum matricea adjuncta care se
obține înlocuind în matricea transpusă
cu complement ții algebrici a acestor
elemente adică Delta unu unu Delta
1 2 Delta 2 1 Delta 2 2 Delta unu
unu este minus 1 la puterea 1 plus
1 înmulțit cu determinantul obținut
prin suprimarea liniei 1 și a coloanei
1 adică 4 egal cu 4 Delta 1 2 este
minus 1 la puterea 1 plus 2 înmulțit
cu determinantul obținut prin suprimarea
liniei 1 și a coloanei 2 adică
3 egal cu minus 3 Delta 2 1 este
minus 1 la puterea 2 plus 1 înmulțit
cu determinantul obținut prin suprimarea
liniei 2 și a coloanei 1 adică
2 egal cu minus 2 și Delta 2 2
egal cu minus 1 la puterea 2 plus
2 înmulțit cu determinantul obținut
prin suprimarea liniei 2 și a coloanei
2 Adică 1 egal cu 1 așa da inversă
matricei a este 1 supra determinantul
acesteia înmulțit cu matricea adjuncta
Adică 1 supra minus 2 înmulțit
cu matricea 4 minus 3 minus 2 1
egal cu matricea a minus 2 1 3
supra 2 minus 1 supra 2 să calculăm
acum și inversă matricei b transpusă
matricei b este 0 1 1 iar matricea
adjunctă este matricea obținută
din b transpus înlocuind fiecare
element cu complementul său algebric
Delta 1 1 Delta 1 2 Delta 2 1 Delta
2.2 Delta unu unu este minus 1
la puterea 1 plus 1 înmulțit cu
determinantul obținut prin suprimarea
liniei 1 și a coloanei 1 adică
1 Deci egal cu 1 Delta 1 2 este
minus 1 la puterea 1 plus 2 înmulțit
cu determinantul obținut prin suprimarea
liniei 1 și a coloanei 2 adică
unu egal cu minus unu Delta doi
unu este minus 1 la puterea 2 plus
1 înmulțit cu determinantul obținut
prin suprimarea liniei 2 și a numărului
0 și Delta 2 2 este egal cu minus
1 la puterea 2 plus 2 înmulțit
cu determinantul obținut prin suprimarea
liniei 2 și a coloanei 2 adică
1 egal cu un matricea B la minus
1 este egală cu 1 supra determinantul
matricei b înmulțit cu matricea
adjuncta Cum determinantul matricei
b este egal cu unu obținem că inversă
matricei b este de fapt adjuncta
matricei b Adică matricea 1 minus
1 0 1 să calculăm acum soluția
ecuației matriciale x egal cu a
la minus 1 minus 2 1 3 supra 2
minus 1 pe 2 înmulțit cu matricea
ce adică 2 minus 1 2 3 înmulțit
cu matricea 1 0 minus 1 1 să efectuăm
întâi prima înmulțire obținând
minus 2 ori 2 plus 1 ori 2 minus
2 ori minus 1 plus 1 ori 3 3 supra
2 ori 2 plus minus 1 supra 2 ori
2 3 supra 2 ori minus 1 plus minus
1 supra 2 înmulțit cu 3 totul înmulțit
cu matricea 1 0 minus unu unu egal
cu matricea minus 4 plus 2 minus
2 2 plus 3 5 3 minus 1 2 minus
3 supra 2 plus minus 3 supra 2
este minus 6 supra 2 adică minus
3 înmulțit cu matricea 1 0 minus
unu unu se fac Toma cum și această
înmulțire a minus 2 ori 1 plus
5 ori minus 1 minus 2 ori 0 plus
5 ori 2 ori 1 plus minus 3 ori
minus 1 2 ori 0 plus minus 3 ori
1 egal cu metri minus 2 plus minus
5 minus 7 0 plus cinci cinci doi
plus trei cinci zero plus minus
3 minus 3