Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Ecuații trigonometrice (1)

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
14 voturi 404 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în acest videoclip o să rezolvăm

câteva ecuații trigonometrice fundamentale

acestea sunt ecuații de forma sinus

de x egal cu a cosinus de x egal

cu a tangentă de x egal cu a și

cotangentă de x egal cu a pentru

început aș vrea să vedem care au

fost funcțiile trigonometrice inverse

Iată funcția arcsinus este definită

pe intervalul închis minus unu

unu cu valori în intervalul închis

minus pi pe 2 pipe 2 funcția arcsinus

este impară Așadar arcsinus de

minus x este egal cu minus arcsinus

de x funcția arc cosinus este definită

pe intervalul închis minus unu

unu cu valori în intervalul închis

0 pi funcția arc cosinus nu este

nici pară și nici impară aici are

loc relația arc cosinus de minus

X egal cu minus ar cosinus de x

funcția arctangenta este definită

pe mulțimea numerelor reale cu

valori în intervalul deschis minus

pi pe 2 pipe 2 funcția arctangenta

este impară arctangent de minus

x este egal cu minus ar tangentă

de x funcția arccotangenta este

definită pe mulțimea numerelor

reale și cu valori în intervalul

deschis 0 pi funcția arc cotangentă

nu este nici pară și nici impară

și aici are loc relația arc cotangentă

de minus x este egal cu pi minus

arc cotangentă de x să trecem acum

la rezolvarea ecuației sinus de

x egal cu a mulțimea valorilor

funcției sinus este intervalul

închis minus unu unu Așadar această

ecuație admite soluții Dacă și

numai dacă numărul n mic aparține

intervalului minus unu unu în caz

contrar ecuația nu are soluții

Așadar Avem două cazuri dacă numărul

A nu aparține intervalului închis

minus unu unu atunci soluția ecuației

este mulțimea vidă să vedem ce

se întâmplă în cazul în care numărul

a face parte din intervalul închis

minus unu unu pentru a rezolva

ecuația sinus de x egal cu a exprimăm

necunoscuta x x va fi egal cu a

arcsinus de ei trebuie să ținem

cont și de periodicitatea funcției

sinus Așadar la această valoare

trebuie să adunăm doi Capi ne uităm

puțin Pe cercul trigonometric și

observăm că sunt două puncte pe

cerc respectiv m și n care au aceeași

ordonată cu alte cuvinte unghiurile

x și penis x au același sinus să

scriem Așadar că sinus de pi minus

x este egal cu sinus de x egal

cu a mic de aici se obține o a

doua soluție a acestei ecuații

și anume x egal cu pi minus arcsinus

de ei și la această valoare adunăm

doi copii din cele două relații

putem trage concluzia că soluția

ecuației sinus de x egal cu a este

mulțimea formată din elementele

arcsinus de a plus doi capii unde

ca este număr întreg reunită cu

b minus arcsinus de a plus doi

capii unde ca este număr întreg

această relație din a doua acoladă

se poate scrie și astfel a minus

arcsinus de a plus p plus doi copii

iar dacă dau factori cu un pic

pot să scriu Doica plus unu observăm

că în fața numărului arcsinus de

a avem 1 acest număr 1 poate fi

scris minus unu la o putere pară

în a doua acoladă avem minus arcsinus

de a acest minus poate fi scris

minus unu la o putere impară Vreau

astăzi să facem o analogie între

exponentul numărului minus 1 și

valoarea ei ce trebuie adunată

după arcsinus observăm Așadar că

în cazul în care coeficientul numărului

arcsinus este minus 1 la putere

pară adunăm multiplu par dep iar

în cazul în care avem minus 1 la

putere impară adunăm un multiplu

impar de pin cu alte cuvinte această

soluție sau această reuniune de

mulțimi se poate scrie într o formă

prescurtată astfel s egal minus

1 la ca arcsinus de a plus copy

unde ca este număr întreg aceasta

este soluția ecuației sinus de

x egal cu a în cazul în care numărul

a face parte din intervalul închis

minus unu unu trece mai departe

la rezolvarea ecuației cosinus

de x egal cu a mulțimea valorilor

funcției cosinus este intervalul

închis minus unu unu așa dar această

ecuație are soluții Dacă și numai

dacă numărul a aparține intervalului

închis minus unu unu în caz contrar

soluția este mulțimea vidă discutăm

în continuare cazul în care a aparține

intervalului închis minus unu unu

pentru a rezolva ecuația cosinus

de x egal cu a exprimăm necunoscuta

x aceasta va fi egală cu arc cosinus

de a ținem și aici cont de periodicitatea

funcției cosinus adunăm Așadar

doi capi însă dacă ne uităm pe

cercul trigonometric observăm că

există două puncte pe cerc care

au aceeași asa amic cele două puncte

corespund unghiurilor x și minus

x cu alte cuvinte cosinus de minus

x este egal cu cosinus de x egal

cu a din această relație se obține

o a doua soluția ecuației x să

fie egal cu minus arc cosinus de

a plus doi copii din cele două

relații putem trage concluzia că

soluția ecuației cosinus de x egal

cu a este mulțimea formată din

elementele plus minus arc cosinus

de a plus doi copii unde e ca este

număr întreg trecem mai departe

la rezolvarea ecuației tangentă

de x egal cu ei având în vedere

că funcția tangență ia toate valorile

reale ecuația are soluții pentru

orice numar real Așadar pentru

a rezolva ecuația tangentă de x

egal cu a pentru orice numar real

exprimăm necunoscuta x x va fi

egal cu arc tangentă de a plus

copy funcția tangentă este funcție

periodică a în perioada principală

pai există un singur punct pe tangentă

la cerc având ordonata egală cu

a mic Așadar soluția ecuației tangentă

de x egal cu a va fie mulțimea

Parton genta de a plus copy unde

ca este număr întreg în mod similar

se rezolvă și ecuația cotangentă

de x egal cu a ecuația admite soluții

pentru orice a număr real rezolvăm

Așadar ecuația cotangentă de x

egal cu a Oricare ar fi a număr

real X va fi egal cu arc cotangentă

de a plus copy și funcția cotangentă

este periodică având perioada principală

pi există un unic punct pe tangentă

la cerc având abscisa egală cu

a mic în consecință soluția ecuației

este arc cotangentă de a plus copy

unde ca este număr întreg și acum

putem sintetiza cele discutate

până acum ecuația sinus de x egal

cu a are soluția minus 1 la ca

arcsinus de apela scapi unde ca

este număr întreg dacă a aparține

intervalului închis minus unu unu

în caz contrar soluția este mulțimea

vidă ecuația trigonometrică cosinus

de x egal cu a admite soluțiile

plus minus arc cosinus de a plus

doi copii dacă a aparține intervalului

închis minus unu unu și mulțimea

vidă dacă a nu aparține acestui

interval ecuația tangentă de x

egal cu a admite soluțiile arctangenta

de a plus capii unde ca este număr

întreg pentru orice a real iar

Ecuația a cotangentă de x egal

cu a are mulțimea soluțiilor formată

din elementele arc cotangentă de

apela scapi Unde este număr întreg

pentru orice are el să rezolvăm

în continuare câteva ecuații prima

ecuație sinus de x egal cu radical

din 5 având în vedere că radical

din 5 nu aparține intervalului

închis minus unu unu putem trage

concluzia că soluția ecuației este

mulțimea vidă următoarea ecuație

ținut de x egal cu radical din

2 pe 2 radical din 2 pe 2 aparține

intervalului închis minus unu unu

Așadar soluția ecuației va fi x

egal cu minus 1 la ca arcsinus

de radical din 2 pe 2 plus copy

arcsinus de radical din 2 supra

2 este pipi 4 Așadar soluția ecuației

va fi minus 1 la ca ori pe supra

4 plus capii unde ca este număr

întreg a treia ecuație sinus de

x egal cu minus 1 supra 2 la fel

minus 1 pe 2 aparține intervalului

închis minus unu unu și atunci

x va fi egal cu minus 1 la arc

sinus de minus 1 pe 2 plus copy

arcsinus de minus x este minus

arcsinus dx Așadar acest minus

trece în față și vom obține x egal

cu minus 1 la puterea ca plus 1

ori arcsinus de 1 pe 2 plus copy

arcsinus de 1 supra 2 este pi pe

6 soluția va fi minus 1 loc a plus

1 ori pe supra 6 plus capii unde

ca este număr întreg a patra ecuație

cosinus de x egal cu 1 pe 2 x va

fi egal cu plus minus arc cosinus

de 1 pe 2 plus 2 copy arc cosinus

de 1 supra 2 este pi pe 3 și atunci

soluția va fi plus minus pi pe

3 plus 2 copy unde ca este număr

întreg a cincea ecuație cosinus

de x egal cu minus 3 minus 3 nu

aparține intervalului minus unu

unu Așadar soluția este mulțimea

vidă următoarea ecuație tangentă

de x egal cu minus 3 ecuația are

soluție pentru orice a real Așadar

x va fi egal cu arctangent de minus

3 plus copy arctangent de minus

x este minus ar tangentă de x Așadar

x va fi egal cu minus arctangenta

de 3 plus copy aceasta nu este

o valoare uzuală Așadar lăsăm soluția

sub forma aceasta este egal minus

arctangenta de trei plus capii

unde ca este număr întreg și ultima

ecuație cotangentă de x egal cu

minus radical din 3 pe 3 x va fi

egal cu arc cotangentă de minus

radical din 3 pe 3 plus copy arc

cotangentă de minus x este egal

cu minus arc cotangentă de x Așadar

x va fi egal cu minus arc cotangentă

de radical din 3 pe 3 plus capii

arc cotangentă de radical din 3

pe 3 este pi pe 3 avem x egal cu

pi minus pi pe 3 plus Capi x egal

cu 2 pe 3 plus copy este egal 2

pi pe 3 plus capii unde ca este

număr întreg

Ecuații trigonometrice fundamentaleAscunde teorie X

1. Ecuații trigonometrice de forma sinx=a, a\in \left [ -1,1 \right ] :
S=\left \{ (-1)^{k}arcsina+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \right \}

2. Ecuații trigonometrice de forma cosx=a, a\in \left [ -1,1 \right ] :
S=\left \{ \pm arccosa+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \right \}

3. Ecuații trigonometrice de forma tgx=a, a\in \mathbb{R} :
S=\left \{ arctga+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \right \}

4. Ecuații trigonometrice de forma ctgx=a, a\in \mathbb{R} :
S=\left \{ arcctga+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \right \}.

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri