Ecuații trigonometrice (1)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în acest videoclip o să rezolvăm
câteva ecuații trigonometrice fundamentale
acestea sunt ecuații de forma sinus
de x egal cu a cosinus de x egal
cu a tangentă de x egal cu a și
cotangentă de x egal cu a pentru
început aș vrea să vedem care au
fost funcțiile trigonometrice inverse
Iată funcția arcsinus este definită
pe intervalul închis minus unu
unu cu valori în intervalul închis
minus pi pe 2 pipe 2 funcția arcsinus
este impară Așadar arcsinus de
minus x este egal cu minus arcsinus
de x funcția arc cosinus este definită
pe intervalul închis minus unu
unu cu valori în intervalul închis
0 pi funcția arc cosinus nu este
nici pară și nici impară aici are
loc relația arc cosinus de minus
X egal cu minus ar cosinus de x
funcția arctangenta este definită
pe mulțimea numerelor reale cu
valori în intervalul deschis minus
pi pe 2 pipe 2 funcția arctangenta
este impară arctangent de minus
x este egal cu minus ar tangentă
de x funcția arccotangenta este
definită pe mulțimea numerelor
reale și cu valori în intervalul
deschis 0 pi funcția arc cotangentă
nu este nici pară și nici impară
și aici are loc relația arc cotangentă
de minus x este egal cu pi minus
arc cotangentă de x să trecem acum
la rezolvarea ecuației sinus de
x egal cu a mulțimea valorilor
funcției sinus este intervalul
închis minus unu unu Așadar această
ecuație admite soluții Dacă și
numai dacă numărul n mic aparține
intervalului minus unu unu în caz
contrar ecuația nu are soluții
Așadar Avem două cazuri dacă numărul
A nu aparține intervalului închis
minus unu unu atunci soluția ecuației
este mulțimea vidă să vedem ce
se întâmplă în cazul în care numărul
a face parte din intervalul închis
minus unu unu pentru a rezolva
ecuația sinus de x egal cu a exprimăm
necunoscuta x x va fi egal cu a
arcsinus de ei trebuie să ținem
cont și de periodicitatea funcției
sinus Așadar la această valoare
trebuie să adunăm doi Capi ne uităm
puțin Pe cercul trigonometric și
observăm că sunt două puncte pe
cerc respectiv m și n care au aceeași
ordonată cu alte cuvinte unghiurile
x și penis x au același sinus să
scriem Așadar că sinus de pi minus
x este egal cu sinus de x egal
cu a mic de aici se obține o a
doua soluție a acestei ecuații
și anume x egal cu pi minus arcsinus
de ei și la această valoare adunăm
doi copii din cele două relații
putem trage concluzia că soluția
ecuației sinus de x egal cu a este
mulțimea formată din elementele
arcsinus de a plus doi capii unde
ca este număr întreg reunită cu
b minus arcsinus de a plus doi
capii unde ca este număr întreg
această relație din a doua acoladă
se poate scrie și astfel a minus
arcsinus de a plus p plus doi copii
iar dacă dau factori cu un pic
pot să scriu Doica plus unu observăm
că în fața numărului arcsinus de
a avem 1 acest număr 1 poate fi
scris minus unu la o putere pară
în a doua acoladă avem minus arcsinus
de a acest minus poate fi scris
minus unu la o putere impară Vreau
astăzi să facem o analogie între
exponentul numărului minus 1 și
valoarea ei ce trebuie adunată
după arcsinus observăm Așadar că
în cazul în care coeficientul numărului
arcsinus este minus 1 la putere
pară adunăm multiplu par dep iar
în cazul în care avem minus 1 la
putere impară adunăm un multiplu
impar de pin cu alte cuvinte această
soluție sau această reuniune de
mulțimi se poate scrie într o formă
prescurtată astfel s egal minus
1 la ca arcsinus de a plus copy
unde ca este număr întreg aceasta
este soluția ecuației sinus de
x egal cu a în cazul în care numărul
a face parte din intervalul închis
minus unu unu trece mai departe
la rezolvarea ecuației cosinus
de x egal cu a mulțimea valorilor
funcției cosinus este intervalul
închis minus unu unu așa dar această
ecuație are soluții Dacă și numai
dacă numărul a aparține intervalului
închis minus unu unu în caz contrar
soluția este mulțimea vidă discutăm
în continuare cazul în care a aparține
intervalului închis minus unu unu
pentru a rezolva ecuația cosinus
de x egal cu a exprimăm necunoscuta
x aceasta va fi egală cu arc cosinus
de a ținem și aici cont de periodicitatea
funcției cosinus adunăm Așadar
doi capi însă dacă ne uităm pe
cercul trigonometric observăm că
există două puncte pe cerc care
au aceeași asa amic cele două puncte
corespund unghiurilor x și minus
x cu alte cuvinte cosinus de minus
x este egal cu cosinus de x egal
cu a din această relație se obține
o a doua soluția ecuației x să
fie egal cu minus arc cosinus de
a plus doi copii din cele două
relații putem trage concluzia că
soluția ecuației cosinus de x egal
cu a este mulțimea formată din
elementele plus minus arc cosinus
de a plus doi copii unde e ca este
număr întreg trecem mai departe
la rezolvarea ecuației tangentă
de x egal cu ei având în vedere
că funcția tangență ia toate valorile
reale ecuația are soluții pentru
orice numar real Așadar pentru
a rezolva ecuația tangentă de x
egal cu a pentru orice numar real
exprimăm necunoscuta x x va fi
egal cu arc tangentă de a plus
copy funcția tangentă este funcție
periodică a în perioada principală
pai există un singur punct pe tangentă
la cerc având ordonata egală cu
a mic Așadar soluția ecuației tangentă
de x egal cu a va fie mulțimea
Parton genta de a plus copy unde
ca este număr întreg în mod similar
se rezolvă și ecuația cotangentă
de x egal cu a ecuația admite soluții
pentru orice a număr real rezolvăm
Așadar ecuația cotangentă de x
egal cu a Oricare ar fi a număr
real X va fi egal cu arc cotangentă
de a plus copy și funcția cotangentă
este periodică având perioada principală
pi există un unic punct pe tangentă
la cerc având abscisa egală cu
a mic în consecință soluția ecuației
este arc cotangentă de a plus copy
unde ca este număr întreg și acum
putem sintetiza cele discutate
până acum ecuația sinus de x egal
cu a are soluția minus 1 la ca
arcsinus de apela scapi unde ca
este număr întreg dacă a aparține
intervalului închis minus unu unu
în caz contrar soluția este mulțimea
vidă ecuația trigonometrică cosinus
de x egal cu a admite soluțiile
plus minus arc cosinus de a plus
doi copii dacă a aparține intervalului
închis minus unu unu și mulțimea
vidă dacă a nu aparține acestui
interval ecuația tangentă de x
egal cu a admite soluțiile arctangenta
de a plus capii unde ca este număr
întreg pentru orice a real iar
Ecuația a cotangentă de x egal
cu a are mulțimea soluțiilor formată
din elementele arc cotangentă de
apela scapi Unde este număr întreg
pentru orice are el să rezolvăm
în continuare câteva ecuații prima
ecuație sinus de x egal cu radical
din 5 având în vedere că radical
din 5 nu aparține intervalului
închis minus unu unu putem trage
concluzia că soluția ecuației este
mulțimea vidă următoarea ecuație
ținut de x egal cu radical din
2 pe 2 radical din 2 pe 2 aparține
intervalului închis minus unu unu
Așadar soluția ecuației va fi x
egal cu minus 1 la ca arcsinus
de radical din 2 pe 2 plus copy
arcsinus de radical din 2 supra
2 este pipi 4 Așadar soluția ecuației
va fi minus 1 la ca ori pe supra
4 plus capii unde ca este număr
întreg a treia ecuație sinus de
x egal cu minus 1 supra 2 la fel
minus 1 pe 2 aparține intervalului
închis minus unu unu și atunci
x va fi egal cu minus 1 la arc
sinus de minus 1 pe 2 plus copy
arcsinus de minus x este minus
arcsinus dx Așadar acest minus
trece în față și vom obține x egal
cu minus 1 la puterea ca plus 1
ori arcsinus de 1 pe 2 plus copy
arcsinus de 1 supra 2 este pi pe
6 soluția va fi minus 1 loc a plus
1 ori pe supra 6 plus capii unde
ca este număr întreg a patra ecuație
cosinus de x egal cu 1 pe 2 x va
fi egal cu plus minus arc cosinus
de 1 pe 2 plus 2 copy arc cosinus
de 1 supra 2 este pi pe 3 și atunci
soluția va fi plus minus pi pe
3 plus 2 copy unde ca este număr
întreg a cincea ecuație cosinus
de x egal cu minus 3 minus 3 nu
aparține intervalului minus unu
unu Așadar soluția este mulțimea
vidă următoarea ecuație tangentă
de x egal cu minus 3 ecuația are
soluție pentru orice a real Așadar
x va fi egal cu arctangent de minus
3 plus copy arctangent de minus
x este minus ar tangentă de x Așadar
x va fi egal cu minus arctangenta
de 3 plus copy aceasta nu este
o valoare uzuală Așadar lăsăm soluția
sub forma aceasta este egal minus
arctangenta de trei plus capii
unde ca este număr întreg și ultima
ecuație cotangentă de x egal cu
minus radical din 3 pe 3 x va fi
egal cu arc cotangentă de minus
radical din 3 pe 3 plus copy arc
cotangentă de minus x este egal
cu minus arc cotangentă de x Așadar
x va fi egal cu minus arc cotangentă
de radical din 3 pe 3 plus capii
arc cotangentă de radical din 3
pe 3 este pi pe 3 avem x egal cu
pi minus pi pe 3 plus Capi x egal
cu 2 pe 3 plus copy este egal 2
pi pe 3 plus capii unde ca este
număr întreg
Ecuații trigonometrice fundamentaleAscunde teorie X
Navigare în lectii
Cumpara abonament
