Ecuații trigonometrice (2)

vom prezenta în această lecție

câteva tipuri importante de ecuații

trigonometrice care se reduc la

ecuații trigonometrice fundamentale

în lecția trecută am discutat despre

ecuațiile trigonometrice fundamentale

și am văzut soluțiile acestora

pe care le am prezentat alăturat

primul tip de ecuații trigonometrice

discutăm despre ecuații trigonometrice

de forma sinus de x egal cu sinus

de g de x cosinus de f de x egal

cu cosinus de g de x tangentă de

f de x egal cu tangentă de g de

x sau cotangentă de f de x egal

cu cotangentă de g de x pentru

a rezolva o ecuație trigonometrică

de forma sinus de f de x egal cu

sinus de gdx trecem sinus de Jetix

în primul membru și vom obține

ținute f de x minus sinus de g

de x egal cu 0 în continuare transformăm

diferența în produs și obținem

2 ori sinus de f de x minus g de

x supra 2 ori cosinus de f de x

plus g de x supra doi egal cu zero

egalăm pe rând cei doi factori

cu 0 și obținem sinus de f de x

minus g de x supra 2 egal cu 0

de aici obținem că f de x minus

g de x supra 2 este egal cu minus

1 la ca ori arcsinus de 0 arcsinus

de zero este zero plus copy iar

de aici se obține test de x egal

cu g de x plus doi capi îi dau

lemn celălalt Factor cu 0 cosinus

de f de x plus g de x supra 2 este

egal cu 0 obținem de aici că f

de x plus x supra 2 este egal cu

plus minus arc cosinus de 0 adică

plus minus pi pe 2 plus 2 capii

înmulțim relația cu 2 și obținem

f de x plus g de x egal cu plus

minus b plus 4K 4K este un multiplu

par dep dacă la un multiplu par

adunăm sau scădem Piri se obține

un multiplu impar de pânză f de

x plus g de x este egal cu doi

ca plus 1 pe multiplu impar de

piept iar de aici se obține f de

x egal cu minus GTX plus 2k plus

unu pai ne uităm puțin la cele

două soluții pe care le am obținut

observăm că în fața funcției g

de x avem 1 acest număr 1 poate

fi scris minus 1 la 2 k minus unu

la o putere pară iar mai departe

adunăm un multiplu par dep iar

în cealaltă relație avem minus

g de x plus multiplu impar de piept

a chest minus poate fi scris minus

1 la putere impară 2k plus 1 așa

dar în cazul în care în fața funcției

g de x avem minus 1 la puterea

impară adunăm un multiplu impar

de piept În consecință soluția

ecuației va fi f de x egal cu minus

1 la ca orice de x plus capii unde

ca este număr întreg Așadar pentru

ecuațiile de forma sinus de f de

x egal cu sinus de g de x se obține

soluția f de x egal cu minus 1

la ca orice de x plus copy folosind

același procedeu se obține în continuare

pentru ecuația cosinus de f de

x egal cu cosinus de g de x soluția

f de x egal cu plus minus GTX plus

doi capii unde ca este număr întreg

și mai sus ca este număr întreg

pentru ecuația tangentă de f de

x egal cu tangentă de g de x obținem

f de x egal cu g de x plus copii

ca este număr întreg la această

ecuație trebuie să eliminăm soluțiile

pentru care nu este definită tangenta

adică acele valori pentru care

conțin uz de ardei X sau cosinus

de g de x este egal cu 0 la ecuațiile

de forma cotangentă de x egal cu

cotangentă de c d x se obține soluția

e f de x egal cu 2x plus capii

unde ca este număr întreg și aici

trebuie să eliminăm soluțiile pentru

care nu este definită cotangenta

adică acele valori pentru care

ținute de x este 0 sau sinus de

g de x este 0 pentru acest tip

de ecuații rezolvăm în continuare

un prim exercițiu avem ecuația

sinus de 2x plus pi supra 3 egal

cu sinus de x plus y supra 2 în

cazul de față f de x este prima

paranteză iar g d x este a doua

paranteză conform celor prezentate

mai devreme Putem să scriem că

2x plus y supra 3 este egal cu

minus 1 la ca ori x plus spear

supra 2 plus capii unde ca este

număr întreg în continuare discutăm

două cazuri cazul în care numărul

ca este par ca de forma 2 L în

această situație avem ecuația 2

x plus y supra 3 egal cu x plus

y supra 2 plus 2 L P x este egal

cu pi pe 2 minus pi pe 3 plus 2

L P x este egal cu pi supra 6 plus

2 l e unde a este număr întreg

în cazul în care numărul ca este

impar de formă a 2 L plus 1 se

obține ecuația 2x plus y supra

3 egal cu minus x minus pi pe 2

plus 2 L plus 1 t 3x este egal

cu minus pi pe 2 minus pi pe 3

plus 2 L P PLUS p 3 x este egal

aici se obține minus 5 supra 6

plus pai ne dă piept 6 plus 2 L

P împărțim relația la trei voi

continua alăturat obținem x egal

cu pi supra 18 plus 2lp supra 3

unde el este număr întreg Dar cum

reunim cele două soluții aceasta

a fost soluția S1 iar aceasta este

soluția s 2 S este egal cu S1 reunit

cu s2s pași egal cu pi supra 6

plus 2lp unde El este în sat reunit

cu pi supra 18 plus 2 L P supra

3 unde x este număr întreg în continuare

discutăm despre un alt tip de ecuații

avem ecuații trigonometrice care

se reduc la ecuații algebrice putem

întâlni de exemplu ecuații trigonometrice

care se reduc la ecuații de gradul

al doilea Iată o astfel de ecuație

minus 3 sinus pătrat de x minus

2 cosinus de x plus 2 este egal

cu 0 moemax pătrat de x în funcție

de cosinus pătrat de x și vom obține

o ecuație de gradul al doilea ținuți

pătrat de x este 1 minus coș pătrat

de x și astfel obținem ecuația

minus 3 înmulțit cu 1 minus coș

pătrat de x minus 2 cosinus de

x plus 2 este egal cu 0 3 cosinus

pătrat de x minus 2 cosinus de

x minus 3 plus 2 este minus 1 egal

cu 0 notăm cosinus de x cu t și

obținem de gradul al doilea cu

necunoscuta t33 pătrat minus 2

minus 1 egal cu 0 Delta este b

pătrat minus 4 AC 4 minus 4 ori

3 ori minus 1 egal cu 16 t 1 este

minus b plus radical din Delta

supra 2 egal cu 1 pe 2 este minus

b minus radical din Delta supra

2-a egal cu minus 1 pe 3 pentru

prima soluție se obține cosinus

de x egal cu 1 iar de aici avem

x egal cu plus minus arc cosinus

de unu plus doi capii x este egal

cu doi copii pentru că ar cosinus

de 1 este egal cu 0 iar din a doua

relație vom obține cosinus de x

egal cu minus 1 pe 3 iar de aici

x este egal cu plus minus arc cosinus

de minus 1 pe 3 plus 2 capii rezultă

x egal ar cosinus de minus 1 pe

3 este pi minus ar cosinus de 1

pe 3 avem Așadar plus minus minus

arc cosinus de 1 pe 3 plus 2k în

final Soluția se obține reunind

cele două soluții aceasta este

soluția S1 iar aceasta este S2

soluția finală este egală cu S1

reunit cu s 2 egal cu doi copii

unde ca este număr întreg reunit

cu plus minus minus arc cosinus

de 1 pe 3 plus 2k ca este în Zet

și trecem în continuare la ultimul

tip de ecuații trigonometrice acestea

sunt ecuațiile trigonometrice liniare

în sinus de x și cosinus de x Forma

generală a acestora este a sinus

de x plus b cosinus de x este egal

cu c Iată un exemplu 2 sinus de

x plus cosinus de x este egal cu

2 există mai multe metode de a

rezolva acest tip de ecuații una

dintre metode presupune să notăm

tangentă de x supra 2 cu t și să

exprimăm sinus de x și cosinus

de x în funcție de ten sinus de

x este 2 3 supra 1 plus 3 pătrat

iar cosinus de x este 1 minus 3

pătrat supra 1 plus te pătrat tangentă

de x supra 2 există Dacă x supra

2 este diferit de doi ca plus unu

pe doi tangentă nu are valoare

reală pentru multipli impari de

pi supra 2 din acest motiv se pune

condiția ca x supra 2 să fie diferit

2k plus unu pe doi cu alte cuvinte

x trebuie să fie diferit de 2k

plus unu sau x diferit de y plus

2k trebuie să punem acestei condiții

pentru că noua ecuație pe care

o îmi scrie se folosește tangentă

de x pe 2 Și acum folosind formulele

de mai sus ecuația 2 sinus de x

plus cosinus de x egal cu 2 se

va scrie astfel 2 ori 2 este 401

plus t pătrat plus 1 minus te pătrat

supra 1 plus 3 pătrat este egal

cu 2 4 t plus 1 minus 3 pătrat

este egal cu 2 plus 2 te pătrat

se obține următoarea ecuație de

gradul al doilea 3t pătrat minus

4 t plus 1 este egal cu 0 Delta

este 16 minus 12 egal cu 4 pe 1

este 4 plus 2 supra 6 și egal cu

1 iar T2 este 4906 egal cu 1 pe

3 și acum Revenim la substituția

făcută tangentă de x pe 2 egal

cu unu de aici se obține x supra

2 egal cu arc tangentă de 1 plus

capii ar tangentă de 1 este pi

supra 4 înmulțim relația cu 2 și

obținem x egal cu pi supra 2 plus

2k iar pentru tangentă de x pe

2 egal cu 1 pe 3 obținem x pe 2

egal cu arc tangentă de 1 pe 3

plus scapi de unde x este egal

cu 2 arctangenta de 1 pe 3 plus

copy reunim cele două soluții S1

și S2 Aici trebuie menționat un

aspect foarte important noi am

pus condiția ca x să fie diferit

de p plus doi capii deoarece în

noua ecuație pe care am scris intervine

tangentă de x pe 2 iar tangenta

nu este definită pentru acele valori

însă prima ecuație 2 sinus de x

plus cosinus de x admite soluții

pentru orice x real Așadar Cele

Două ecuații nu sunt ecuații echivalente

și este posibil ca prin această

metodă să fii atent soluțiile de

forma plus doi capii așa dar la

final trebuie să verificăm dacă

această valoare este soluție pentru

ecuația inițială dacă această valoare

verifică ecuația inițială atunci

soluția nală va fi 1 reunit cu

S2 reunit cu pi plus 2 capii să

verificăm Așadar dacă pai plus

doi capii este soluție pentru ecuația

2 sinus de x plus cosinus de x

egal cu 2 trebuie să verificăm

Dacă 2 sinus de pi plus 2k plus

cosinus de pi plus 2k este egal

cu 2 funcțiile sinus și cosinus

în periodice având perioada principală

doi pini Așadar sinus de pi plus

2k este egal cu sinus de pi sinus

de pi este 0 cosinus de pi este

minus 1 0 și cu minus unu ne dă

minus unu Așadar valoarea plus

2k nu verifică ecuația inițială

Deci nu este soluție în final soluția

va fi S1 reunit cu S2 și obținem

pi supra 2 plus 2k unde ca este

în z reunit cu 2 arctangenta de

1 pe 3 plus 2k unde ca este număr

întreg aici amândoi