Formule trigonometrice pentru suma și diferența a două unghiuri

uneori pentru a calcula funcțiile

trigonometrice ale unor unghiuri

este necesar să exprimăm aceste

unghiuri ca o sumă sau diferență

de două unghiuri remarcabile De

exemplu dacă dorim să calculăm

cosinus de 75 de grade vom exprimă

această măsură ca o sumă de două

măsuri remarcabile și vom avea

cosinus de 45 plus 30 de grade

noi cunoaștem valorile funcțiilor

trigonometrice pentru aceste unghiuri

uzuale mai trebuie doar să găsim

și o formulă care se poate aplica

aici și care va returna această

valoare Așadar ne propunem în continuare

să găsim o formulă de calcul pentru

cosinus de a plus b pentru a demonstra

această formulă vom construit două

unghiuri Pe cercul trigonometric

Iată am construit două unghiuri

pe care le am notat cu a mic și

b mic și vrem să calculăm cosinus

de a plus b trebuie să facem niște

construcții auxiliare așa că o

să merg puțin imaginea mai exact

O să mărim zona aceasta a primului

cadran am notat cu ce proiecția

punctului b pe axa o x și cu n

proiecția punctului b pe raza o

a am dus din and două perpendiculare

e n d este perpendiculară pe axa

o x și n m este perpendiculară

pe b c sau format Așadar niște

triunghiuri dreptunghice triunghiul

o s c este dreptunghic în c și

triunghiul b n s este dreptunghic

în n aceste două unghiuri sunt

congruente pentru că sunt unghiuri

opuse la vârf din moment ce și

unghiurile s c o și b n s sunt

congruente ele fiind unghiuri drepte

înseamnă că trebuie ca unghiurile

c o s și s b n să fie și ele congruente

prin urmare unghiul s b n este

egal cu a și acum ne uităm În triunghiul

dreptunghic b o c și exprimăm din

acest triunghi cosinus de a plus

b avem triunghiul b o c cosinus

de a plus b este cateta alăturată

supra ipotenuză Deci o c supra

o b dar o b este rază În cercul

unitate Deci acest raport este

egal cu oc oc este egal cu OD minus

CD iar CD este congruent cu MN

Deci avem o d minus en acum trebuie

să exprimăm lungimile acestor segmente

o d și m n notăm În triunghiul

o n d și exprimăm cosinus de a

cosinus de ar este cateta alăturată

o d supra ipotenuza o n prin urmare

o d este egal cu o n ori coș de

a Acum ne uităm În triunghiul dreptunghic

b m n și exprimăm sinus de a avem

m n supra b n Deci MN este egal

cu bn ori ținut de ei acum înlocuim

aceste două relații în relația

de mai sus și vom avea cosinus

de a plus b egal în loc de o d

avem o n ori cos de a iar în loc

de m n avem n ori sinus de a ne

uităm acum în triunghiul obn și

exprimăm din acest triunghi cu

sinus de B cosinus de B este o

n supra obs dar OB este unul Deci

cosinus de B este o n sinus de

B va fi egal cu b n supra OB egal

cu BN din toate aceste trei relații

o să avem cosinus de a plus b egal

în loc de om vom scrie cosinus

de b ori colț de a minus în loc

de bien avem sinus de b ori sinus

de a așadar am găsit următoarea

formulă cosinus de a plus b este

egal cu cosinus de a ori cosinus

de b minus sinus de a ori sinus

de b și acum putem să calculăm

cosinus de 75 de grade o să avem

cosinus de 45 plus 30 de grade

și aplicăm formula de mai sus obținem

costă 45 ori cozi de 30 minus sinus

de 45 ori sinus de 30 cosinus de

45 este radical din doi pe doi

colți de 30 este radical din 3

pe 2 sin de 45 și este radical

din 2 pe 2 fiind de 30 este 1 pe

2 egal cu radical din 6 supra 4

minus radical din 2 supra 4 se

mai poate da factor comun radical

din 2 pe 4 pe lângă radical din

3 minus 1 și acum să deducem și

formula pentru cosinus de a minus

b vom aplica formula găsită mai

sus de oarece cosinus de a minus

b se poate scrie cosinus de a plus

a minus b și vom avea cosinus de

a ori cosinus de minus b minus

sin de a ori sinus de minus b în

continuare vom aplica paritatea

funcțiilor sinus și cosinus și

obținem formula cosinus de a minus

b egal cosinus de a ori funcția

cosinus este pară Deci cosinus

de minus b este egal cu cosinus

de B funcția sinus este impară

Deci sinus de minus b va fi minus

sinus de B acel minus trece în

față și se va transforma în plus

Deci vom avea plus sinus de a ori

sinus de B în continuare vrem să

demonstrăm și formulele pentru

sinus de a plus b și sinus de a

minus b pentru început berea amintesc

formula unghiurilor complementare

sinus de x este egal cu cosinus

de pi pe 2 minus x și atunci sinus

de a plus b va fi egal cu cosinus

de pi supra 2 minus a plus b conform

acestei relații scrise mai sus

care se mai poate scrie egal cu

cosinus de pi supra 2 minus a a

minus b egal acum aplicăm formula

de mai sus cosinus de a minus b

unde această paranteză este oul

Din formula de mai sus iar b este

b și obținem cosinus de pi supra

2 minus a ori cosinus de b plus

sinus de pi supra 2 minus a ori

ținuți de bere dar cosinus de pi

supra 2-a minus a este sinus de

a ori cosinus de b plus sinus de

pi supra 2 minus a este cosinus

de n ori sinus de B am găsit Așadar

formula sinus de a plus b este

egal cu sinus de a ori cosinus

de b plus cosinus de a ori sinus

de b pentru a d duce formula sinus

de a minus b Aplicând formula găsită

mai sus Pentru că sinus de a minus

b este același lucru cu sinus de

a plus a minus b și vom avea sinus

de a ori cosinus de minus b plus

cosinus de ori sinus de minus b

folosim în continuare paritatea

funcțiilor sinnis și cosinus și

vom obține formula sinus de a minus

b egal cu sinus de a ori cosinus

este pară de cos de minus b este

cosinus de B sinus este impară

acel minus trece în față și va

fi minus cos de a ori sin de B

este bine să reținem aceste patru

formulei așa că Haideți le mai

citim încă o dată cozi de a plus

b este egal cu cosinus de aur cosinus

de b minus sinus de a sinus de

B cosinus de a minus b este egal

cu cozi de a cos de b plus sin

de a sin de B sinus de a plus b

este egal cu sinus de B cosinus

de b plus cosinus de a sinus de

b și sinus de a minus b este egal

cu sin de a cos de b minus coș

de acdb în speranța că nu va plictisiti

cu atâtea demonstrații o să mai

ai de ducem repede eu formulăm

tangentă de a plus b știind că

tangenta este raportul dintre sinus

și cosinus Deci avem sinus de a

plus b supra cosinus de a plus

b egal sinus de a plus b este sin

de a cos de b plus cozi de a sin

de B iar Costin use de a plus b

este caz de acord de b minus fiind

de a țin de bere acum o să împărțim

și numărătorul și numitorul la

cu sinus de a ori cosinus de b

și o să avem o fracție mai mare

la numărător avem sinus de a cosinus

de b plus cosinus de a sinus de

B totul supra os de a cos de b

iar la numitor avem poze a cos

de b minus sin de a sin de B totul

sub Da cosinus de a ori cosinus

de B la numărător o să scrie ma

ceastă fracție ca o sumă de două

fracții prin efracție va fi sin

de a cos de b supra coș de acord

de b se va simplifica cosinus de

b și o să îmi rămână sinus de a

supra cosinus de a 2-a fracție

ar fi cozi de afine de b supra

coș de a b se simplifică cosinus

de ei și ne rămâne sinus de b supra

cosinus de B la numitor dacă despărțim

această fracție în două prima fracție

va fi cozi de acord de b supra

cost de acord de b se simplifică

și ne rămâne 1 minus a doua fracție

este sinus de a sinus de b supra

cosinus de a cosinus de b care

la rândul ei se poate scrie ca

un produs de două fracții sin de

a supra cos de a ori sin de B supra

cos de b egal acum sinus de a supra

cosinus de a este tangentă de a

sin de B supra coș de B este tangentă

de b aici la fel tangentă de a

și tangentă de B Așadar tangentă

de a plus b va fi egal cu tangentă

de a plus tangentă de b supra 1

minus tangentă de a ori tangentă

de b în mod Analog se demonstrează

și formula pentru tangentă de a

minus b nu o să mai fac și acele

calcule se obține formula tangentei

de a minus tangentă de b supra

1 plus tangentă de a o tangentă

de B gata