Funcția exponențială

funcția exponențială are o importanță

deosebită pentru că ea Ilustrează

o serie de fenomene naturale atunci

când o cantitate crește cu un procent

constant spunem că avem o creștere

exponențială Dacă un număr de obiecte

scade cu un procent dat atunci

avem o descreștere exponențială

această funcție ilustrează fenomene

precum creșterea populației dacă

se cunoaște populația unui oraș

la un moment de zero și rata de

creștere se poate calcula populația

orașului după un anumit număr de

ani în cazul în care depunem la

bancă o sumă de bani putem calcula

dobânda compusă și implicit Suma

obținută după o anumită perioadă

cu ajutorul funcției exponențiale

noțiunea de exponențială are o

aplicație practică și în calculul

presiunii atmosferice aceasta scade

odată cu creșterea altitudinii

cu cât alt Ea este mai mare cu

atât presiunea scade exponențial

din păcate uneori au loc și evenimente

neplăcute precum accidentul nuclear

de la cernobîl din 1986 sau cel

de la fukushima din 2011 în urma

cărora sa produs o creștere puternică

a radioactivității în zonele înconjurătoare

substanțele radioactive se dezintegrează

în timp iar nivelul de radioactivitate

se reduce exponențial o măsură

de evaluare pentru durata persistenței

radioactivității este timpul de

înjumătățire care se poate calcula

folosind funcția exponențială această

funcție are aplicații și în medicină

pentru că Motivează răspândirea

epidemiilor în continuare vom vedea

Care e diferența dintre o creștere

liniară și o creștere exponențială

dacă ai avea 2 euro ce ai prefera

să primești în continuare un milion

de euro pe zi timp de o lună și

sau a doua variantă pot vinde la

cei doi euro să ți se dubleze în

fiecare zi suma avut în ziua anterioară

timp de o lună Eu aș Alege varianta

b dacă tu ai ales varianta A să

știi că la finalul lunii eu voi

avea de 72 de ori mai mulți bani

decât tine să verificăm Să presupunem

că ai doi euro și primești în continuare

un milion de euro pe zi timp de

o lună vom considera lună de 30

de zile astfel în prima zi ziua

întâi vei avea un milion de euro

plus cei doi euro pe care ai la

început sumă pe care o Vom neglija

pentru a ușura calculele în a doua

zi mai primești un milion de euro

A astfel că în ziua a doua le avea

în total două milioane de euro

în a treia zi vei avea 3 milioane

de euro și așa mai departe în ziua

30 vei avea în total 30 de milioane

de euro să vedem ce sumă va avea

la finalul lunii în cazul în care

se dublează în fiecare zi suma

din ziua anterioară în prima zi

dublăm cei doi euro și vom avea

2 ori 2 egal 4 euro în a doua zi

dublăm suma din ziua precedentă

și vom avea a 2 ori 4 egal 8 euro

în a treia zi vom avea 2 ori 8

egal 16 Euro observăm că aceste

numere 4 8 16 pot fi scrise ca

puteri ale lui 2 4 este egal cu

2 la a doua 8 este egal cu 2 la

a treia 16 este egal cu 2 la a

patra apoi în ziua a patra vom

avea doi la puterea a cincea și

așa mai departe în ziua 30 vom

avea doi la puterea 31 euro să

vedem ce înseamnă 2 la puterea

31 2 la puterea 31 este egal cu

2 miliarde 147 de milioane 400

83.000 648 de euro în varianta

A sumă a avut la finalul lunii

era de 30 de milioane de euro astfel

că dacă împărțim Acest rezultat

la 30 de milioane obținem aproximativ

72 Așadar suma din varianta B este

de 72 de ori mai mare decât cea

din varianta A nu îmi reprezenta

aceste sume printre o diagramă

pentru a evidenția diferența dintre

cele două creșteri dacă mergem

pe varianta A avem o creștere liniară

pentru că suma inițială crește

cu o valoare constantă creșterea

liniară este reprezentată de coloanele

marcate cu roșu pe diagramă creșterea

liniară e o creștere treptată în

linie dreaptă în schimb la varianta

b avem o creștere exponențială

cea evidențiată cu verde pentru

că în fiecare zi suma de bani crește

cu un procent constant procent

care se aplică la suma din ziua

precedentă creșterea exponențială

e mai lentă la început dar de la

un anumit nivel ea devine explozivă

așa cum se poate observa în tabel

până în ziua 23 inclusiv sumele

de pe coloana A sunt mai mari decât

cele din coloana B dar începând

cu ziua 24 sumele din coloana B

înregistrează o creștere impresionantă

ajungând dar sper ca la finalul

lunii suma din ziua 30 nu viața

exponențială să fie de 72 de ori

mai mare decât cea din varianta

liniară să reținem că în timp rezultatul

unei creșteri exponențiale e mult

mai mare decât rezultatul unei

creșteri liniare înainte de a defini

funcția exponențială aș vrea să

precizezi următorul aspect dacă

a este un număr real strict pozitiv

iar x este un număr real atunci

întotdeauna a la puterea x va fi

strict mai mare ca 0 de exemplu

Să considerăm un număr pozitiv

trei trei la puterea a doua este

9 strict mai mare ca 0 3 la puterea

minus 2 este egal cu 1 supra 3

la a doua egal cu 1 pe 9 strig

mai mare ca 0 3 la puterea 1 pe

2 este egal cu radical din 3 strict

mai mare ca 0 sau 3 la puterea

0 este egal cu 1 strict mai mare

ca 0 așa dar întotdeauna un număr

strict pozitiv ridicat la orice

putere va avea o valoare strict

pozitivă și acum putem să definim

funcțiile exponențială Fie a un

număr real strict pozitiv a diferit

de 1 o funcție f definită pe r

cu valori în intervalul 0 plus

infinit dată prin legea f de x

egal cu a la puterea x se numește

funcția exponențială de bază a

codomeniul este intervalul 0 plus

Infinit din considerentele menționate

mai sus se pune condiția ca numărul

ei să fie strict pozitiv pentru

că Dacă am avea de exemplu numărul

minus trei la puterea unu pe doi

acesta ar conduce la radical din

minus 3 iar în mulțimea numerelor

reale nu există radical de ordin

par dintre un număr negativ Acesta

este un număr complex iar codomeniul

funcției este o submulțime a mulțimii

numerelor reale se pune condiția

ca ei să fie diferit de unu pentru

că 1 la orice putere x este egal

cu 1 iar în cazul în care a este

egal cu 1 am avea funcția f de

x egal cu 1 iar aceasta este funcție

constantă Așadar funcția exponențială

este o funcție în care bază este

întotdeauna număr strict pozitiv

și diferit de 1 un caz particular

al funcției exponențiale cu numeroase

aplicații practice este funcția

f de x egal cu e la puterea x este

numărul lui Euler constantă matematică

având o valoare aproximativă egală

cu 2 în continuare vom prezenta

câteva proprietăți ale funcției

exponențiale să calculăm f de 0

f de 0 va fi a la puterea zero

Orice număr ridicat la puterea

0 este egal cu 1 Așadar funcția

exponențială are proprietatea că

f de 0 este egal cu unu în consecință

punctul de coordonate 0 1 aparține

graficului aceste funcții să studiem

în continuare monotonia funcției

exponențiale Avem două situații

posibile dacă a este mai mare ca

1 atunci funcția f de x egal cu

a la x este o funcție strict crescătoare

iar în cazul în care a este mai

mic decât 1 dar mai mare decât

0 Deci 0 este mai mic decât a și

mai mic decât 1 atunci funcția

exponențială a la puterea x este

o funcție strict descrescătoare

demonstra chest lucru pentru situația

în care a este mai mare ca 1 cealaltă

situație se demonstrează în mod

Analog demonstrație și a mai mare

ca 1 și Considerăm X1 și X2 numere

reale astfel încât x 1 să fie mai

mic decât x 2 dacă X1 este mai

mic decât x 2 atunci exista si

o constantă reală strict pozitivă

astfel încât x 2 să fie egal cu

x 1 plus această constantă ce se

calculăm acum fdx 1 minus f de

x 2 vrem să stabilim semnul aceste

diferențe este X1 este egal cu

a la x 1 f de x 2 este a la x 2

egal în continuare cu Ela x 1 minus

în loc de x 2m scrie X1 plus.com

avea așa dar a la puterea X1 plus

c egal cu a la x 1 minus aici folosind

proprietățile puterilor și voi

scrie a la x 1 înmulțit cu a la

c egal de în continuare factor

comun a la x 1 pe lângă 1 minus

a la C A la puterea X1 este strict

mai mare ca 0 spuneam mai devreme

că un număr strict pozitiv ridicat

la o putere Rămâne în continuare

strict pozitiv și acum să evaluăm

semnul aceste diferențe din paranteză

având în vedere că a este mai mare

ca 1 și ce este mai mare ca 0 atunci

a la puterea Ce va fi mai mare

ca un nu în consecință 1 minus

la puterea Ce va fi mai mic decât

0 Așadar această diferență este

strig negativă în consecință produsul

va fi mai mic decât 0 am obținut

că ies de x 1 minus f de x 2 este

mai mic decât 0 în consecință este

x 1 este mai mic decât f de x 2

Am pornit de la faptul că x 1 este

mai mic decât x 2 și am Arătați

că ef tx1 este mai mic decât f

de x 2 așa dar putem trage concluzia

că funcția f este strict crescătoare

dacă a este mai mic decât 1 demonstrația

este asemănătoare cu excepția faptului

că paranteza 1 minus a la ce va

fi mai mare decât 0 Așadar diferența

fdx 1 minus f de x 2 va fi mai

mare ca 0 Așadar funcția va fi

strict descrescătoare o a treia

proprietate funcția f este bijectivă

am arătat mai sus că funcția este

strict monotonă f este strict monotonă

În consecință a fi este injectivă

demonstrație a subiectivității

funcției exponențiale necesită

noțiunea de continuitate care se

învață la analiza matematică în

clasa a 11-a Așadar această demonstrație

depășește cunoștințele de clasa

a 10-a însă intuitiv surjectivitatea

funcției se poate vedea de pe graficul

acesteia Așadar este surjectivă

în consecință a fi este bijectivă

și inversabilă în continuare vom

vedea câteva reprezentări grafice

avem în imagine reprezentarea geometrică

a graficului funcției exponențiale

2 la puterea x trasarea graficului

aceste funcții se realizează prin

puncte a făcut un tabel de Valori

astfel pentru x luni valoarea minus

2 f de x este egal cu 1 pe 4 pe

3 x egal cu minus 1 f de minus

1 este 1 pe 2 Pentru x egal cu

0 f de 0 este 1 pentru x egal cu

unu funcția are valoare a doi și

pentru x egal cu 2 f de 2 este

egal cu 4 unim este puncte printr

o linie continuă și vom Ține cont

de faptul că funcția exponențială

este strict crescătoare în cazul

în care bază este mai mare ca 1

se poate observa că graficul funcției

Se apropie din ce în ce mai mult

de axa o x însă nu o va intersecta

niciodată îmi spune că axa OY este

asimptotă orizontală pentru graficul

funcției f Cum putem știi că graficul

funcției nu intersectează niciodată

axei o x Păi nu există niciun x

pentru care f de x să fie egal

cu 0 Deci indiferent ce valoare

are numărul x 2 la puterea x nu

va fi niciodată egal cu 0 axa o

x este dreapta de ecuație y egal

cu zero vom spune Așadar că dreapta

y egal cu 0 este asimptotă orizontală

spre minus infinit Pentru graficul

funcției f pornind de la graficul

funcției exponențiale 2 la puterea

x se poate realiza foarte ușor

graficul funcției 2 la puterea

x plus 1 prefixul funcției 2 la

puterea x va urca cu o unitate

pe axa o y astfel dacă graficul

funcției 2 la x trecea prin punctul

de coordonate 0 1 atunci graficul

funcției 2 la x plus 1 trece prin

punctul de coordonate 0 2 Așadar

graficul urcă cu o unitate pe axa

o y se poate observa că în această

situație dreapta de ecuație y egal

cu unu este asimptotă orizontală

pentru graficul funcției f în această

situație codomeniul funcției se

poate considera intervalul 1 plus

infinit deschis la 1 pentru că

graficul funcției este situat deasupra

dreptei de ecuație y egal cu 1

pornind tot de la graficul funcției

2 la puterea x se poate trasa și

graficul funcției 2 la puterea

x minus 2 graficul funcției 2 la

x coboară cu două unități pe axa

y astfel dacă graficul funcției

2 la x trece prin punctul de coordonate

0 1 atunci graficul funcției 2

la x minus 2 trece prin punctul

de coordonate 0 și minus unu în

acest caz asimptota orizontală

va fi dreapta de ecuație y egal

cu minus 2 iar codomeniul funcției

se poate considera intervalul minus

2 plus infinit Pentru că graficul

acestei funcții este situat deasupra

dreptei de ecuație y egal cu minus

2 tot pornind de la graficul funcției

2 la x se poate realiza graficul

funcției 1 supra 2 la puterea x

1 pe 2 la puterea x este același

lucru cu 2 la minus 1 totul la

x și egal cu 2 la minus x graficele

funcțiilor 2 la x și 2 la de la

minus x vor fi în oglindă simetrice

față de axa o y pentru că x se

înlocuiește cu minus x Iată dacă

Reprezentăm cele două grafice în

același reper cartezian se poate

observa că ele sunt în oglindă

iar axa o y este axa de simetrie

iar la final să vedem și reprezentarea

grafică a funcției exponențiale

e la puterea x este o constantă

matematică având o valoare aproximativă

de 2 Considerăm 2 pentru a ușura

calculele fd1 înseamnă a la puterea

întâi și egal cu 2 Deci graficul

trece prin punctul de coordonate

1 și 2 Aici este 2 iar a la puterea

minus 1 înseamnă 1 supra 2 și este

aproximativ egale cu 0 Deci graficul

funcției trece prin punctul de

coordonate minus 1 și 0 și această

funcție este strict crescătoare

pentru că baza numărul e este mai

mare ca 1 pentru a trasa Cât mai

exact graficele acestor funcții

prezentate se recomandă și întocmirea

unui tabel de valori