Funcția logaritmică
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
Să considerăm funcția exponențială
definită pe r cu valori în intervalul
0 plus infinit exprimată prin legea
f de x egal cu 2 la puterea x funcția
exponențială este funcția în care
variabila x este la exponent elementul
3 va avea prin funcția f imaginea
8 pentru că 2 la puterea a treia
este egal cu 8 elementul 4 va avea
prin funcția f imaginea 16 pentru
că 2 la puterea a patra este egal
cu 16 spuneam în lecția trecută
că funcția exponențială este inversabilă
ne propunem în continuare să găsim
inversă aceste funcții mai exact
ne interesează funcția care duce
elementele din codomeniu în domeniu
care ar putea fi procedeul prin
care atașăm numărului 8 imaginea
3 având nume că 2 la puterea a
treia este egal cu 8 atunci din
definiția logaritmului unui număr
pozitiv avem că logaritm în baza
2 din 8 este egal cu 3 ori amintesc
că logaritmul este exponentul la
care ridică baza logaritmului pentru
a obține 8 în mod Analog avem că
logaritm în baza 2 din 16 este
egal cu 4 să reținem că logaritmul
este exponentul la care ridică
bază pentru a obține acel număr
astfel funcția care duce elementele
din codomeniul în domeniu va fi
f la minus 1 de y10 mul în baza
2 a numărului y dacă Revenim la
notația cu X avem că e f la minus
1 de x va fi egal cu logaritm în
baza 2 a numărului x Așadar inversă
funcției exponențiale este funcția
logaritmică în cazul general dacă
a este număr strict pozitiv a diferit
de 1 atunci funcția f definită
pe r cu valori în intervalul 0
plus infinit exprimată prin legea
f de x egal cu a la puterea x va
avea ca și inversă funcția f definită
pe intervalul 0 plus infinit cu
valori în R exprimată prin legea
f de x egal cu logaritm în bază
a a numărului x aceasta este funcția
logaritmică de bază a funcția logaritmică
este definită atâta vreme cât a
este număr strict pozitiv a diferit
de 1 trebuie să reținem că funcția
logaritmică există numai pentru
argumente pozitive în continuare
să vedem câteva proprietăți ale
funcției logaritmice dacă x este
egal cu 1 atunci f de 1 este egal
cu logaritm în baza a a numărului
1 și egal cu zero pentru că logaritmul
lui unu în orice bază este 0 putem
astfel trage concluzia că punctul
A de coordonate 1 și 0 aparține
graficului funcției logaritmice
să vedem în continuare monotonia
funcției logaritmice întotdeauna
inversă unei funcții păstrează
monotonia funcției directe astfel
dacă a este cuprins între 0 și
1 atunci funcția logaritmică este
strict descrescătoare pe domeniul
de definiție iar dacă a este mai
mare ca 1 atunci funcția logaritmică
este strict crescătoare Așadar
funcția logaritmică este strict
descrescătoare dacă bază este subunitară
și strict crescătoare dacă bază
este supraunitară funcția logaritmică
este bijectivă și inversabilă iar
inversa ei este funcția exponențială
în continuare să vedem câteva reprezentări
grafice să Reprezentăm grafic funcția
logaritmică e f de x egal cu logaritm
în bază 2 din x trasarea graficului
se va realiza prin puncte a făcut
astfel un tabel de valori pe prima
linie avem x pe a doua linie avem
fdx putem observa că este destul
de dificil să anticipăm care ar
fi acele valori ale lui x pentru
care putem calcula cu ușurință
logaritm în baza 2 a numărului
x Și atunci vom nota cu y f de
x și vom scrie relația logaritm
în baza 2 a numărului x egal cu
y sub formă exponențială această
egalitate se mai poate scrie exponențial
astfel 2 la puterea y egal cu x
Deci cele două relații exprimă
același lucru dar sunt scrise sub
forme diferite observăm că este
mai ușor să atribuim lui y Eva
lor și apoi să îl calculăm pe x
astfel Dacă y este minus 2 atunci
2 la puterea minus 2 va fi egal
cu 1 pe 4 Așadar x este egal cu
1 pe 4 iar y este minus doi Dacă
y este minus unu Avem doi la puterea
minus 1 egal cu 1 pe 2 x va fi
1 pe 2 iar y va fi minus 1 Dacă
y este egal cu 0 2 la puterea 0
este egal cu 1 avem punctul de
coordonate 1 0 iar Dacă y este
egal cu unu doi la unu a este egal
cu 2 palme avea punctul de coordonate
2 și 1 și acum vom reprezenta aceste
plante întru un reper cartezian
avem punctul de coordonate 1 pe
4 minus 2 apoi punctul de coordonate
1 pe 2 minus 1 punctul 1 0 și punctul
2 1 dacă un imprinto o linie continuă
aceste puncte obținem graficul
funcției logaritm în baza 2 din
x se poate observa că funcția este
strict crescătoare iar axa o y
sau dreapta de ecuație x egal cu
0 este asimptotă verticală pentru
graficul aceste funcții dacă Reprezentăm
în același reper cartezian și graficul
funcției 2 la puterea x Iată putem
observa că cele două grafice sunt
simetrice față de prima bisectoare
în continuare vom reprezenta grafic
funcția logaritm în baza 1 supra
radical din 3 a numărului x așa
cum spuneam mai devreme este destul
de dificil să anticipăm ce valori
să atribuim lui x pentru a putea
calcula cu ușurință acest logaritm
și atunci notăm f de x egal cu
y iar relația logaritm în baza
1 pe radical din 3 a numărului
x egal cu y se va scrie sub formă
exponențială astfel 1 supra radical
din 3 ridicat la puterea y egal
cu x în continuare putem scrie
această egalitate sub forma radical
din 3 la minus 1 și totul la y2j
adică el din 3 la minus y egal
cu x și acum a trebui în valori
lui y Dacă y este egal cu 2 radical
din 3 la puterea minus 2 va fi
egal cu 1 supra radical din 3 la
a doua Deci 1 pe 3 astfel obținem
punctul de coordonate 1 pe 3 și
2 Dacă y este egal cu 1 avem radical
din 3 la minus 1 și egal cu 1 supra
radical din 3 pentru x egal cu
1 pe radical din 3 am obținut yii2
el cu 1 Dacă y este egal cu zero
vom avea a radical din 3 la puterea
0 și egal cu unu îmi trece în tabel
punctul de coordonate 1 0 iar Dacă
y este egal cu minus unu avem radical
din 3 la minus minus unu deja adică
el din 3 la unuia egal cu radical
din 3 avem punctul de coordonate
radical din trei și minus unu să
mai luăm o valoare pentru a egal
cu minus 2 avem radical din 3 la
minus minus 2 adică radical din
3 la a doua și egal cu 3 am obținut
punctul de coordonate 3 minus 2
reprezenta aceste puncte un reper
cartezian avem punctul de coordonate
1 pe 3 2 punctul de coordonate
1 0 radical din 3 și minus 1 și
punctul 3 minus 2 unim cele patru
puncte albastre printr o linie
continuăm Iată acesta este graficul
funcției logaritm în baza 1 pe
radical din 3 din x se poate observa
în cazul în care baza logaritmului
este subunitară funcția logaritmică
este strict descrescătoare și în
această situație dreapta de ecuație
x egal cu 0 este asimptotă verticală
pentru graficul funcției