Funcția putere cu exponent natural

în unele formule ce exprimă arii

și volume întâlnim funcția putere

de exemplu aria pătratului este

latura la puterea a doua sau volumul

cubului este latura la puterea

a treia o funcție f definită pe

r cu valori în R f de x egal cu

x la n unde n este număr natural

nenul se numește funcția putere

Dacă n este egal cu 1 obține Funcția

de gradul întâi este x egal cu

x iar dacă n este egal cu 2 obține

Funcția de gradul al doilea f de

x egal cu x la pătrat în cele ce

urmează vom discuta a proprietățile

funcției putere în cazul în care

n este număr par respectiv impar

Dacă n este număr par atunci acesta

va fi de forma 2k unde k este număr

natural nenul iar în acest caz

fdx va fi egal cu x la puterea

a 2 ca să verific în continuare

paritatea acestei funcții pentru

aceasta vom calcula f de minus

x vom avea minus x la puterea a

2 ca orice număr negativ ridicat

la o putere pară devine pozitiv

în consecință vom avea egal cu

x la puterea 2 ca și egal cu fdx

am obținut că e f de minus x este

egal cu f de x în consecință este

o funcție pară Așadar graficul

aceste funcții va fi Simetric față

de axa o y funcția f nu este monotona

pe tot domeniul de definiție însă

există intervale de monotonie pentru

a studia monotonia aceste funcții

vom considera mai întâi primul

caz în care X1 și X2 aparțin intervalului

minus infinit 0 astfel încât x

1 să fie mai mic decât x 2 nu am

ridicat la o putere pară această

inimă litate și vom obține că x

1 la puterea a 2 ca este mai mare

decât x 2 la puterea a 2 ca pentru

a înțelege mai bine acest aspect

Iată un exemplu concret știind

că A minus 4 este mai mic decât

minus 3 Dacă ridicăm la o putere

pară această inegalitate vom avea

căminul 4 la a doua este mai mare

decât minus 3 la a doua pentru

că 16 este mai mare decât 9 obținem

Așadar că e f de x 1 este mai mare

decât f de x 2 în consecință funcția

f este strict descrescătoare pe

intervalul minus infinit 0 să vedem

ce se întâmplă în cazul în care

X1 și X2 aparține intervalului

0 infinit Considerăm x 1 mai mic

decât x 2 dacă ridicăm la o putere

pară această inegalitate vom avea

că x 1 la 2 k este mai mic decât

x 2 la puterea 2k atunci când Numerele

sunt pozitive relația de ordine

dintre acestea se păstrează prin

ridicare la putere obținem Așadar

că f de x 1 este mai mic decât

f de x 2 în consecință f este strict

crescătoare pe intervalul 0 plus

infinit în continuare vom studia

semnul funcției pentru x egal cu

0 f de x va fi egal cu zero Dacă

x y au valori de la minus infinit

la 0 funcția are valori pozitive

pentru că orice număr negativ ridicat

la o putere pară devine pozitiv

iar în cazul în care x este mai

mare ca 0 și funcția f de x va

avea valori pozitive observăm Așadar

că funcția ia doar valori pozitive

Deci graficul acesteia va fi situat

deasupra axei o x și va trece prin

punctul de coordonate 0 0 în continuare

vom reprezenta grafic două funcții

particulare f de x egal cu x la

a doua și f de x egal cu x la a

patra am făcut un tabel de Valori

și în continuare vom calcula valorile

funcției f de x egal cu x la a

doua pentru x egal cu 0 f de 0

este 0 1 la a doua este 1 3 supra

2 la a doua este 9 pe 4 iar 2 la

a doua este 4 minus 1 la a doua

este 1 minus 3 supra 2 la a doua

este 9 pe 4 minus 2 la a doua este

egal cu 4 să calculăm și valorile

funcției f de x egal cu x la a

patra pentru x egal cu 0 funcția

are valoarea 0 1 la a patra este

1 3 supra 2 la puterea a patra

va fi 81 pe 16 2 la a patra este

16 minus 1 la a patra este 1 minus

3 supra 2 la a patra este 81 pe

16 și minus 2 la a patra este egal

cu 16 graficul acestor funcții

se va obține prin puncte adică

unim cu o linie continuă punctele

ale căror coordonate sunt valorile

din acest tabel Iată graficul funcției

f de x egal cu x la a doua observăm

că această parabolă trece prin

punctul de coordonate 0 0 și prin

punctele de coordonate minus unu

unu respectiv unu unu așa cum spuneam

mai devreme funcția este strict

descrescătoare pentru x lume valori

de la minus infinit până la 0 și

strict crescătoare pentru x luni

valori de la 0 la plus infinit

de asemenea remarcăm faptul că

axa o y este axa de simetrie pentru

graficul acestei funcții să vedem

în continuare în graficul funcției

f de x egal cu x la a patra Iată

observăm că și eu această parabolă

trece prin punctul de coordonate

0 0 și prin punctele de coordonate

minus unu unu respectiv unu unu

de fapt toate parabolele de forma

x la puterea 2 k trec prin punctele

de coordonate minus unu unu și

unu unu Cu cât exponentul funcție

este mai mare cu atât ramurile

parabolei sunt mai apropiate de

axa o y o serveam că funcția f

de x egal cu x la 2 k nu este bijectivă

însă dacă luăm în considerare doar

o jumătate din această parabolă

funcția de vine bijectivă astfel

pentru x luni ma lor de la minus

infinit la 0 și pentru y2 de la

0 la plus infinit funcția este

bijectivă deci inversabilă de asemenea

se obține o funcție bijectivă și

pentru x sunt valori de la 0 la

plus infinit și codomeniul 0 plus

infinit în continuare dorim să

studiem proprietățile funcției

putere cu exponent natural în cazul

în care n este număr impar Dacă

n este impar atunci n se poate

scrie sub forma 2k plus 1 unde

ca este număr natural nenul iar

în această situație f de x egal

cu x la puterea 2 k plus unu pentru

a studia paritatea funcției vom

calcula f de minus x și avem minus

x la puterea a 2 ca plus unu un

număr negativ la o putere impară

își păstrează semnul minus în consecință

vom avea minus x la puterea a 2

ca plus 1 și egal cu minus ftx

obținem astfel că funcția f este

o funcție impară așa dar pentru

n par funcția este pară iar în

azil în care an este impar funcția

este impară în această situație

graficul funcției va fi Simetric

față de originea reperului cartezian

să studiem în continuare monotonia

aceste funcții numerele negative

ridicate la putere impară își păstrează

semnul prin urmare putem studia

în monotonia acestei funcții pe

tot domeniul de definiție ar fi

Așadar X1 și X2 numere reale astfel

încât x unu să fie mai mic decât

x 2 dacă ridicăm inegalitatea la

puterea 2 ca plus 1 vom avea X1

la 2k plus 1 mai mic decât x 2

la puterea 2 k plus 1 obținem astfel

că f de x 1 este mai mic decât

f de x 2 în consecință funcția

f este strict crescătoare în continuare

așa să vedem semnul aceste funcții

pentru x egal cu zero funcția ia

valoarea zero pentru x luni valori

negative funcția f de x are De

asemenea valori negative pentru

că orice număr negativ la o putere

impară rămâne negativ iar pentru

x valori mai mari ca 0 funcția

are valori pozitive putem astfel

trage concluzia că pentru valorile

lui x mai mici decât 0 graficul

va fi situat sub axa o x iar pentru

acele valori ale lui x mai mare

ca 0 graficul va fi situat deasupra

axei o x de asemenea graficul trece

prin punctul de coordonate 0 0

în continuare vom reprezenta grafic

funcția f de x egal cu x la puterea

a treia vom face un tabel de Valori

pentru x egal cu zero avem 0 la

puterea a treia egal cu 0 1 la

a treia este 1 3 supra 2 la puterea

a treia este 27 supra 8 și 2 la

a treia este egal cu 8 minus 1

la a treia este minus 1 minus 3

supra 2 la a treia este minus 27

supra 8 și minus 2 la a treia este

egal cu minus 8 graficul funcției

se obține unind printr o linie

continuă punctele ale căror coordonate

sunt valorile din acest tabel Iată

graficul funcției această parabolă

se numește parabolă cubică toate

parabolele de forma x la puterea

2 ca plus 1 trec prin punctele

de coordonate minus 1 minus 1 0

0 și 1 1 800 funcția este strict

crescătoare pe tot domeniul de

definiție iar punctul O este centrul

de simetrie pentru graficul acestei

funcții