Funcția sinus

în lecția aceasta o să discutăm

despre funcția trigonometrică sinus

și despre proprietățile acesteia

avem în imagine cercul trigonometric

și am construit un unghi Alfa căruia

îi corespunde punctul m pe cerc

am văzut în lecția trecută că proiectând

raza om pe axele o x respectiv

oe y se obțin coordonatele punctului

m x este abscisa iar y este ordonata

dacă ne uităm în acest triunghi

dreptunghic care sa format observăm

că sinusul unghiului Alfa este

raportul dintre cateta opusă adică

acest segment roz și ipotenuza

om însă om este rază În cercul

trigonometric prin urmare lungimea

acestui segment este egală cu 1

și atunci obținem că sinus de Alfa

este egal cu y observăm Așadar

că putem să construim o funcție

care Asociază fiecărui unghi Alfa

ordonata punctului corespunzător

de pe cerc iar această funcție

se va numi funcția sinus în acest

exemplu unghiul Alfa este pozitiv

deoarece a fost construit pornind

de la zero în sens trigonometric

Deci în sens pozitiv însă există

și unghiuri negative Iată dacă

plecăm de la zero în sens invers

adică în sens negativ atunci valoarea

unghiului Alfa este negativă prin

urmare domeniul de definiție al

funcției sinus va fie mulțimea

numerelor reale deoarece unghiurile

Alfa a pot să fie atât pozitive

cât și negative și acum Haideți

să vedem semnul aceste funcții

pentru unghiuri în diferite cadrane

mai întâi o să șterg punctul acesta

m ca să nu fie prea încărcată figura

dacă unghiul Alfa este în primul

cadran Deci alfă aparține intervalului

0 piept 2 atunci sinusul acestui

unghi este pozitiv deoarece ordonata

punctului m este pozitivă în cazul

în care unghiul este situat în

cadranul al doilea Deci Alpha aia

valori cuprinse în intervalul pipi

2 pini sinusul unghiului Alfa este

pozitiv pentru că avem de asemenea

ordonată pozitivă dacă Alfa este

un unghi din cadranul al treilea

atunci ordonata este negativă observăm

că aici este negativ pentru că

suntem situați sub axa o x ia Ba

că asta este un unghi în cadranul

al patrulea cu alte cuvinte Alfa

aparține intervalului 3 pi pe 2

și 2 pini sinusul unghiului Alfa

va avea de asemenea o valoare negativă

pentru că ordonata acestui punct

este negativă Așadar să reținem

că pentru unghiuri situate în primul

și în al doilea cadran sinusul

este pozitiv iar dacă Alfa este

în cadranul 3 sau 4 sinusul este

negativ în continuare ne interesează

imaginea funcției sinus pentru

aceasta ar trebui să vedem Care

este cea mai mică respectiv cea

mai mare valoare pe care o poate

lua sinusul unui unghi Alfa în

cazul în care unghiul are măsura

egală cu 0 grade sau 0 radiani

atunci sinusul unghiului Alfa va

fi egal cu zero pentru că ordonata

acestui punct este 0 dacă Alfa

este egal cu pi pe 2 atunci observăm

că sinus de pi pe 2 este 1 dacă

asta este egal cu pi Deci avem

un unghi cu măsura de 180 de grade

atunci sinus de Alfa va fi 0 dacă

Alfa este 3pi pe 2 atunci sinusul

va avea valoarea minus 1 și dacă

Alfa este egal cu 2 pi sinus de

2 pi este egal cu 0 remarcăm Așadar

faptul că cea mai mică valoare

pe care o poate lua sinus de Alfa

este minus 1 și aceasta are loc

pentru unghiul cu măsura de 3pi

pe 2 radiani ia cea mai mare valoare

pe care o ia sinus de asta este

1 pentru unghiul cu măsura de pipe

2 radiani o să vedem imediat că

funcția sinus este o funcție periodică

și mai sunt și alte unghiuri pentru

care sinusul ia valoare a minus

1 respectiv 1 în concluzie să reținem

că imaginea funcției sinus este

interval închis minus unu unu putem

să verificăm acest lucru și pentru

câteva valori intermediare de exemplu

dacă unghiul Alfa are măsura de

30 de grade 45 sau 60 de grade

atunci sinus de Alfa ia valorile

1 pe 2 radical din 2 pe 2 și radical

din 3 supra 2 iar Toate aceste

fracții sunt subunitare Așadar

sinus de Alfa poate lua valoarea

maximă unu în concluzie putem să

definim funcția sinus pe mulțimea

numerelor reale și cu valori în

intervalul închis minus unu unu

să vedem în continuare câteva aspecte

legate de monotonie aceste funcții

dacă Alfa este un unghi în primul

cadran atunci funcția sinus este

o funcție crescătoare ne uităm

la segmentul roz și observăm că

lungimea acestui segment crește

Pe măsură ce crește valoarea unghiului

Alfa iar t pentru unghiul din ce

în ce mai mari atunci și sinusul

e Avalor din ce în ce mai mari

dacă Alfa este unul din cadranul

al doilea funcția ce nu zi este

descrescătoare observăm că Pe măsură

ce unghiul Alfa crește valoarea

funcției sinus scade și ei se apropie

de zero dacă Alfa este un om din

cadranul al treilea funcția sinus

este de asemenea funcție descrescătoare

pentru că aici avem ordonată negativă

Așadar sinus pornește de la 0 și

scade până la valoarea minus 1

iar pentru unghiurile din cadranul

al patrulea funcția cynus este

crescătoare aici ordonata crește

de la minus 1 până la 0 Așadar

să reținem că funcția sinus este

crescătoare pe intervalul 0 pi

supra 2 respectiv 3 pi pe 2 2 pi

iar în intervalul pi supra 2 și

3 pi supra 2 funcția este descrescătoare

sau cu alte cuvinte funcția este

crescătoare pentru unghiuri din

cadranul întâi și cadranul 4 și

descrescătoare pentru unghiurile

din cadranul 2 și 3 în continuare

aș vrea să verificăm paritatea

aceste funcții ne interesează să

vedem ce se întâmplă cu valoarea

funcției sinus pentru unghiuri

negative iar pentru aceasta voi

construi un unghi negativ Iată

avem acest unghi care a fost construit

pornind din punctul inițial în

sens negativ adică în sens orar

observăm că ordonata acestui punct

este negativă pentru că suntem

sub axa o x însă în modul cele

două ordonate au aceeași valoare

cu alte cuvinte sinus de minus

Alfa va fi egal cu minus sinus

de Alfa pentru ca aceste două segmente

segmentul roz respectiv segmentul

roșu au aceeași lungime în concluzie

Putem afirma că funcția sinus este

o funcție impară spuneam mai devreme

că funcția sinus este periodică

Iar asta înseamnă că pentru unghiuri

diferite funcția sinus poate avea

aceeași valoare Haideți să verificăm

acest lucru nu știm că un cerc

întreg are 360 de grade sau 2 pi

radiani dacă la acest unghi Alfa

voi aduna 2 pi ajungem în același

punct m din care am pornit Deci

cele două unghiuri Alfa respectiv

Alfa plus 2 pi vor avea același

sinus pentru că ordonata coincide

la fel se întâmplă și dacă pornesc

de aici și efectuezi o rotație

completă dar în sens negativ Așadar

Dacă scădem din Alfa valoarea 2pi

Toma ajunge în același punct din

care am pornit Deci unghiul Alfa

minus 2 pi are același sinus cu

unghiul Alfa și cu unghiul Alfa

plus 2 pi în concluzie Putem afirma

că funcția ce nu zi este periodică

iar perioada principală a acesteia

este 2 pi în continuare o să vedem

graficul funcției sinus acesta

este graficul funcției sinus observăm

că valorile acestei funcții sunt

cuprinse în intervalul minus unu

unu sinus de 0 este 0 sinus de

pi pe 2 este 1 sinus de pi este

0 sinus de 3pi pe 2 este minus

unu sinus de 2 pi este 0 și așa

mai departe spuneam mai devreme

că funcția ce nu este periodică

iar perioada principală este 2pi

prin urmare este suficient să generăm

graficul acestei funcții pe lungimea

unei perioade adică pe intervalul

0 2 pai iar apoi se translată la

stânga și la dreapta proprietățile

funcției sinus se pot citi și de

pe graficul funcției de exemplu

remarcăm faptul că funcția este

impară datorită faptului că graficul

acesteia este Simetric față de

origine apoi observăm monotonia

funcției pe intervalul 0 pi pe

2 funcția este crescătoare pe intervalul

pi supra 2 3 pi pe 2 funcția este

descrescătoare iar pe intervalul

3 pi pe 2 și 2 pi funcția este

crescătoare