Funcții injective
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
știm că o funcție este o relație
între două mulțimi care Asociază
fiecărui element din domeniu un
singur element din codomeniu asta
înseamnă că atunci când Reprezentăm
graficul funcției dacă ducem o
paralelă la axa o intrec aceasta
va intersecta graficul funcției
intru un singur punct în cazul
în care paralela intersectează
graficul în două puncte atunci
nu avem o funcție Așadar graficul
din partea dreaptă nu poate fi
graficul unei funcții o categorie
importantă de funcție este cea
a funcțiilor bijective o funcție
se numește bijectivă dacă este
injectivă și surjectivă Haideți
să vedem în continuare Ce este
o funcție injectivă avem în imagine
trei funcții reprezentate prin
aceste diagrame pentru prima funcție
avem următoarea corespondență lui
unu e se asociază numărul 4 numărul
lui 4 se asociază 7 iar numărul
lui 6 îi corespunde nouă o expresie
analitică ce ar putea descrie prima
corespondență este formula f de
x egal cu x plus 3 pentru a doua
funcție avem următoarele corespondențe
numărului minus doi îi corespunde
patru numărului doi îi corespunde
patru numărului minus 3 îi corespunde
9 iar numărul lui 3 îi corespunde
nouă această lege de corespondență
sar putea exprima analitic folosind
formula f de x egal cu x la pătrat
iar pentru ultima funcție avem
următoarele corespondențe numărul
lui unu e se asociază 1 numărului
minus unu îi corespunde 1 lui 3.000
corespunde trei lui minus 3y corespunde
trei numărului 5 îi corespund de
5 iar numărului minus 5 a corespunde
5 formula care poate descrie această
corespondență este f de x egal
cu modul din x observăm că pentru
funcția f de x egal cu x plus trei
argumente distincte generează imagini
distincte aspecte ce nu are loc
în cazul celorlalte două funcții
Iată la a doua funcție avem argumente
distincte minus doi și doi care
generează aceeași imagine 4 sau
3 și minus 3 care generează aceeași
margine 9 și la a treia funcție
avem imagini egale generate de
argumente diferite Iată numerele
unu și minus nu au aceeași imagine
1 numerele 3 și minus 3 au aceeași
margine 3 iar 5 și minus 5 au aceeași
imagine 5 o funcție se numește
funcție injectivă sau injecție
Dacă și numai dacă două elemente
diferite din domeniu au imagini
diferite în codomeniu astfel prima
funcție este o funcție injectivă
însă celelalte două funcții nu
sunt funcții injective pentru că
avem elemente în codomeniu spre
care se îndreaptă câte două săgeți
Așadar o funcție este injectivă
sau injecție Dacă și numai dacă
oricare ar fi X1 și X2 din ei cu
X1 diferit de X2 să avem că fdx
1 este diferit de f de x 2 o altă
definiție echivalentă cu aceasta
și următoarea este injectivă dacă
și numai dacă oricare ar fi X1
și X2 elemente din domeniu cu este
X1 egal cu f de x 2 să avem că
x 1 este egal cu x 2 de cele mai
multe ori se recomandă aplicarea
acestei definiții pentru că e mult
mai ușor să demonstrăm egalități
decât relații ce conțin simbolul
diferit o funcție nu este injectivă
dacă putem pune în evidență două
argumente distincte astfel încât
imaginile lor să fie egal în exemplele
de mai sus am avut funcții definite
pe mulțimi finite Haideți acum
să extindem aceste funcții la aer
și să studiem injectivitatea lor
pe baza acestor definiții prima
funcției este f definită pe r cu
valori in r f de x egal cu x plus
3 vom alege două valori X1 și X2
din R și presupunem că f de x 1
este egal cu f de x doi va trebui
să arătăm că și x 1 este egal cu
x 2 fdx 1 este x 1 plus 3 iar f
de x 2 este x 2 plus 3 Dacă scădem
din ambii membri ai Egalității
numărul 3 obținem că x 1 este egal
cu x 2 iată că pornind de la egalitatea
fdx 1 egal cu f de x doi am arătat
că are loc și o relație de egalitate
între argumentele funcției în consecință
putem trage concluzia că funcția
f este injectiva pentru a doua
funcție f de x egal cu x pătrat
pornim de la relația f de x 1 este
egal cu f de x doi și vrem să verificăm
dacă X1 este egal cu X2 fdx unul
este X1 la pătrat iar f de x 2
este egal cu X2 la pătrat trece
totul în primul membru și obținem
X1 la pătrat minus X2 la pătrat
egal cu 0 Descompune în factori
și avem x 1 minus x 2 pe lângă
x 1 plus x 2 este egal cu 0 un
produs este 0 dacă unul din factori
este 0 Așadar avem X1 egal cu x
2 sau x unu egal cu minus x 2 deja
dată că nu întotdeauna are loc
o egalitate între argumentele funcției
așa dar având în vedere că f de
x 1 este egal cu f de x 2 conduce
la relația X1 egal cu minus x 2
înseamnă că funcția f nu este o
funcție injectivă pentru funcția
f de x egal modul din x procedăm
asemănător pornind de la egalitatea
fdx 1 egal cu este x2 și vrem să
verificăm dacă X1 este egal cu
x 2 avem modul din x 1 egal cu
modul din x 2 dar aceasta egalitate
va conduce la relația X1 egal plus
minus X2 în consecință funcția
f nu este funcție injectivă atunci
când studiem injectivitatea unei
funcții este important să verificăm
și domeniul de definiție Iată funcția
f de x egal cu x pătrat nu este
injectivă pe aer însă dacă domeniul
de definiție este mulțimea numerelor
naturale atunci obținem o funcție
injectivă o altă metodă de a studia
injectivitatea unei funcții este
metoda grafică Haideți să vedem
cum arată graficele acestor funcții
acestea sunt graficele celor trei
funcții iar pentru a studia injectivitatea
ducem paralele la axa o x dacă
orice paralelă la axa o x dusă
prin elementele codomeniului taie
graficul funcției în cel mult un
punct atunci funcția este injectivă
dacă paralela taie graficul în
două puncte atunci acea funcție
nu este funcție injectivă în continuare
Haideți să studiem injectivitatea
unei funcții definite pe ramuri
avem următorul exercițiu Arătați
că funcția de mai jos este injectivă
f definită pe r cu valori in r
f de x egal cu 3X pătrat plus 2
dacă x este mai mic sau egal cu
0 și minus x plus doi dacă x este
mai mare ca 0 pentru acest tip
de exerciții vom lua în considerare
trei cazuri posibile primul caz
în care se alege X1 și X2 din primul
interval minus infinit 0 al doilea
caz alege mix 1 și x 2 din intervalul
0 infinit și al treilea caz în
care x 1 este mai mic sau egal
cu 0 și x 2 este mai mare ca 0
începem Așadar cu primul caz fie
X1 și X2 din intervalul minus infinit
0 astfel încât f de x 1 să fie
egal cu f de x doi trebuie să demonstrăm
că x 1 este egal cu x 2 și avem
trei X1 la pătrat plus 2 egal cu
3 x 2 la pătrat plus 2 scădem 2
din ambii membri și obținem 3 x
1 la pătrat egal cu 3 x 2 la pătrat
împărțim la 3 și avem X1 la pătrat
egal cu X2 la pătrat dar având
în vedere că X1 și X2 sunt din
intervalul minus infinit 0 înseamnă
că X1 va fi egal cu x 2 De ce am
pornit de la egalitatea fdx 1 egal
cu f de x 2 și am arătat că X1
este egal cu x 2 al doilea caz
fie X1 și X2 din intervalul 0 plus
infinit astfel încât fdx 1 este
egal cu f de x 2 trebuie să demonstrăm
că x 1 este egal cu x 2 ef tx1
este minus x 1 plus 2 iar f de
x 2 este minus x 2 plus 2 scădem
numărul 2 din Ami membrii și avem
minus x unu egal cu minus x 2 înmulțim
cu minus 1 și obținem X1 egal cu
x 2 și al treilea cos fie X1 din
intervalul minus infinit 0 și x
2 din intervalul 0 infinit observăm
Așadar că X1 și X2 fac parte din
intervale diferite înseamnă că
X1 este diferit de X2 și atunci
va trebui să arătăm că f de x 1
este diferit de acting doi vom
presupune prin absurd că f de x
1 poate să fie egal cu f de x 2
înseamnă că f de x 1 este 3 x 1
la pătrat plus 2 egal cu minus
x 2 plus 2 Deci trei X1 la pătrat
este egal cu minus X2 X1 face parte
din intervalul minus infinit 0
înseamnă că X1 la pătrat este mai
mare sau egal cu 0 Deci membrul
stâng este un număr mai mare sau
egal cu 0 x 2 este număr pozitiv
înseamnă că minus x 2 este negativ
având în vedere că numărul din
membrul stâng este mai mare sau
egal cu 0 iar numărul din membrul
drept este strict negativ înseamnă
că aceasta egalitate este imposibilă
Așadar presupunerea făcută este
falsă În consecință f de x 1 este
diferit de e f d x 2 am arătat
în acest mod că funcția f este
injectivă o altă modalitate de
a studia injectivitatea unei funcții
este verificarea monotoniei acesteia
întrucât are loc următoarea teoremă
fie f o funcție definită pe a cu
valori în b dacă ia fi este strict
monotonă atunci f este injectiva