Funcții mărginite (aplicații)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în acest clip poți să facem câteva
exerciții în care vom studia mărginirea
unor funcții reamintesc o funcție
f definită pe a cu valori in R
este mărginită dacă există două
numere reale a și b astfel încât
valorile funcției f să fie cuprinse
în intervalul închis ab pentru
orice x din a sau o altă definiție
echivalentă este mărginită dacă
există un număr pozitiv m astfel
încât modul din f de x să fie mai
mic sau egal cu m pentru orice
x din a primul exercițiu Arătați
că următoarele funcții sunt mărginite
avem patru funcții o să începem
cu punctul a avem funcția f definită
pe mulțimea minus 1 0 1 2 cu valori
in r f de x egal cu 2x plus 3 pentru
a demonstra că este mărginită vom
arăta că există două numere reale
a și b astfel încât funcția să
ia valori cuprinse în intervalul
închis ab pentru aceasta nu Am
calculat valorii aceste funcții
avem f de minus 1 egal cu 2 ori
minus 1 plus 3 și egal cu 1 f de
0 2 0 plus 3 trei de unu doi ori
unu plus trei cinci și este doi
doi ori doi plus trei șapte observăm
că cea mai mică valoare pe care
o poate lua funcția este 1 și cea
mai mare valoare este 7 cu alte
cuvinte putem să scriem că e f
de x aparține intervalului închis
1 7 oricare ar fi x un număr din
domeniul de definiție prin urmare
am arătat astfel că f de x este
mărginită continuăm cu punctul
B în funcția f definită pe intervalul
închis minus 2 3 cu valori in r
f de x egal cu 3x minus 5 mama
arăta și de data aceasta că funcția
f ia valori cuprinse între un interval
închis dacă domeniul șuvițe este
intervalul închis minus 2 3 atunci
x aparține acestui interval Iar
acest lucru se mai poate scrie
minus 2 mai mic sau egal decât
x mai mic sau egal decât 3 minus
certați să construim funcția f
pornind de la această inegalitate
ca să obținem 3 x înmulțim toate
inegalitatea cu 3 ale minus 6 mai
mic sau egal decât 3 x mai mic
sau egal decât 9 și acum mai trebuie
să scădem numărul 5 obținem minus
11 mai mic sau egal decât 3x minus
5 mai mic sau egal decât 4 am obținut
aici funcția f Așadar minus 11
este mai mic sau egal decât f de
x mai mic sau egal decât 4 prin
urmare funcția f iar valori cuprinse
în intervalul închis minus 11 patru
Așadar funcția este mărginită punctul
c avem funcția f definită pe intervalul
minus 1 2 cu valori in r f de x
egal cu x la a treia x aparține
intervalului minus unu doi Așadar
minus 1 este mai mic sau egal decât
x mai mic sau egal decât doi ca
să obținem x la a treia o să ridicăm
această inegalitate la puterea
a treia minus 1 este mai mic sau
egal decât x la a treia mai mic
sau egal decât 8 am obținut astfel
funcția f și avem minus unu mai
mic sau egal decât f de x mai mic
sau egal decât 8 Putem să scriem
așa dar că x aparține intervalului
închis minus unu opt pentru orice
x din intervalul minus 1 2 Așadar
funcția este mărginită punctul
d e f e este definită pe intervalul
închis 1 3 cu valori in r f de
x este minus doi x dacă x aparține
intervalului închis 1 2 și f de
x este egal cu 3 x plus 2 dacă
x aparține intervalului 2 3 deschis
la 2:00 și închis la 3:00 nu mă
lăsa pe rând cele două situații
în primul caz x aparține intervalului
1 2 în această situație avem 1
mai mic sau egal decât x mai mic
sau egal decât 2 Daca x este din
intervalul 1 2 atunci f de x este
egal cu minus 2x ca să obținem
aici minus 2x înmulțim inegalitatea
cu minus doi atenție avem o inegalitate
pe care o înmulțim cu un număr
negativ va trebui să schimbăm semnul
inegalității obținem minus 2 mai
mare sau egal decât minus 2x mai
mare sau egal decât minus 4 prin
urmare e f d x aparține intervalului
închis minus patru minus 2 Așadar
pentru x din intervalul 1 2 funcția
este mărginită să vedem ce se întâmplă
dacă x aparține intervalului 2
3 Acest lucru se mai poate scrie
astfel 2 mai mic strict decât x
mai mic sau egal decât 3 în cazul
în care x este din intervalul 2
3 funcția este egală cu 3 x plus
doi ca să obținem aici 3x plus
2 înmulțit în egalitatea cu 3 avem
șase mai mic decât 3x mai mic sau
egal decât 9 mai trebuie să adunăm
numărul 2 continuăm mai jos 8 este
mai mic decât 3x plus 2 mai mic
sau egal decât 11 Așadar 8 este
mai mic decât f de x mai mic sau
egal decât 11 în acest caz funcția
f de x aparține intervalului 8
11 deschis la 8:00 și închis la
11:00 avem Așadar f de x aparține
intervalului minus 4 minus 2 și
f de x aparține intervalului 8
11 în concluzie f d x aparține
intervalului minus 4 minus 2 reunit
cu intervalul 811 observăm astfel
că cea mai mică valoare pe care
o poate lua funcția f este minus
4 și cea mai mare valoare pe care
o poate lua a fi este 11:00 așa
dar putem să scriem că f de x aparține
intervalului minus 4 11 urmare
am arătat că funcția este mărginită
și mai facem un exercițiu Arătați
că funcția f definită pe r cu valori
in r f de x egal cu 3 x plus 6
nu este mărginită o Să presupunem
prin absurd că funcția este mărginită
presupunem f mărginită mergem pe
a doua definiție Dacă F este mărginită
înseamnă că există un număr pozitiv
m astfel încât modul din f de x
să fie mai mic sau egal decât n
oricare ar fi x din r Așadar există
m pozitiv astfel încât modul din
3x plus 6 să fie mai mic sau egal
decât m pentru orice x real Iar
acest lucru se mai poate scrie
astfel minus m mai mic sau egal
decât 3 x plus 6 mai mic sau egal
decât m Dacă scădem pe 6 obținem
minus A minus 6 mai mic sau egal
decât 3 x mai mic sau egal decât
m minus șase iar dacă împărțim
inegalitatea la 3:00 avem minus
A minus 6 totul supra 3 mai mic
sau egal decât x mai mic sau egal
decât m minus 6 supra 3 oricare
ar fi x real însă această relație
este falsă deoarece această inegalitate
nu are loc pentru orice x număr
real De exemplu dacă alegem X3
fiind partea întreagă din m minus
6 pe 3 plus 1 atunci această valoare
este mai mare decât m minus 6 de
trei așa dar relația aceasta nu
are loc pentru orice x 3 prin urmare
presupunerea de la care am pornit
este falsă Așadar funcția f nu
este mărginită