Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Funcții mărginite (aplicații)

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
18 voturi 533 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în acest clip poți să facem câteva

exerciții în care vom studia mărginirea

unor funcții reamintesc o funcție

f definită pe a cu valori in R

este mărginită dacă există două

numere reale a și b astfel încât

valorile funcției f să fie cuprinse

în intervalul închis ab pentru

orice x din a sau o altă definiție

echivalentă este mărginită dacă

există un număr pozitiv m astfel

încât modul din f de x să fie mai

mic sau egal cu m pentru orice

x din a primul exercițiu Arătați

că următoarele funcții sunt mărginite

avem patru funcții o să începem

cu punctul a avem funcția f definită

pe mulțimea minus 1 0 1 2 cu valori

in r f de x egal cu 2x plus 3 pentru

a demonstra că este mărginită vom

arăta că există două numere reale

a și b astfel încât funcția să

ia valori cuprinse în intervalul

închis ab pentru aceasta nu Am

calculat valorii aceste funcții

avem f de minus 1 egal cu 2 ori

minus 1 plus 3 și egal cu 1 f de

0 2 0 plus 3 trei de unu doi ori

unu plus trei cinci și este doi

doi ori doi plus trei șapte observăm

că cea mai mică valoare pe care

o poate lua funcția este 1 și cea

mai mare valoare este 7 cu alte

cuvinte putem să scriem că e f

de x aparține intervalului închis

1 7 oricare ar fi x un număr din

domeniul de definiție prin urmare

am arătat astfel că f de x este

mărginită continuăm cu punctul

B în funcția f definită pe intervalul

închis minus 2 3 cu valori in r

f de x egal cu 3x minus 5 mama

arăta și de data aceasta că funcția

f ia valori cuprinse între un interval

închis dacă domeniul șuvițe este

intervalul închis minus 2 3 atunci

x aparține acestui interval Iar

acest lucru se mai poate scrie

minus 2 mai mic sau egal decât

x mai mic sau egal decât 3 minus

certați să construim funcția f

pornind de la această inegalitate

ca să obținem 3 x înmulțim toate

inegalitatea cu 3 ale minus 6 mai

mic sau egal decât 3 x mai mic

sau egal decât 9 și acum mai trebuie

să scădem numărul 5 obținem minus

11 mai mic sau egal decât 3x minus

5 mai mic sau egal decât 4 am obținut

aici funcția f Așadar minus 11

este mai mic sau egal decât f de

x mai mic sau egal decât 4 prin

urmare funcția f iar valori cuprinse

în intervalul închis minus 11 patru

Așadar funcția este mărginită punctul

c avem funcția f definită pe intervalul

minus 1 2 cu valori in r f de x

egal cu x la a treia x aparține

intervalului minus unu doi Așadar

minus 1 este mai mic sau egal decât

x mai mic sau egal decât doi ca

să obținem x la a treia o să ridicăm

această inegalitate la puterea

a treia minus 1 este mai mic sau

egal decât x la a treia mai mic

sau egal decât 8 am obținut astfel

funcția f și avem minus unu mai

mic sau egal decât f de x mai mic

sau egal decât 8 Putem să scriem

așa dar că x aparține intervalului

închis minus unu opt pentru orice

x din intervalul minus 1 2 Așadar

funcția este mărginită punctul

d e f e este definită pe intervalul

închis 1 3 cu valori in r f de

x este minus doi x dacă x aparține

intervalului închis 1 2 și f de

x este egal cu 3 x plus 2 dacă

x aparține intervalului 2 3 deschis

la 2:00 și închis la 3:00 nu mă

lăsa pe rând cele două situații

în primul caz x aparține intervalului

1 2 în această situație avem 1

mai mic sau egal decât x mai mic

sau egal decât 2 Daca x este din

intervalul 1 2 atunci f de x este

egal cu minus 2x ca să obținem

aici minus 2x înmulțim inegalitatea

cu minus doi atenție avem o inegalitate

pe care o înmulțim cu un număr

negativ va trebui să schimbăm semnul

inegalității obținem minus 2 mai

mare sau egal decât minus 2x mai

mare sau egal decât minus 4 prin

urmare e f d x aparține intervalului

închis minus patru minus 2 Așadar

pentru x din intervalul 1 2 funcția

este mărginită să vedem ce se întâmplă

dacă x aparține intervalului 2

3 Acest lucru se mai poate scrie

astfel 2 mai mic strict decât x

mai mic sau egal decât 3 în cazul

în care x este din intervalul 2

3 funcția este egală cu 3 x plus

doi ca să obținem aici 3x plus

2 înmulțit în egalitatea cu 3 avem

șase mai mic decât 3x mai mic sau

egal decât 9 mai trebuie să adunăm

numărul 2 continuăm mai jos 8 este

mai mic decât 3x plus 2 mai mic

sau egal decât 11 Așadar 8 este

mai mic decât f de x mai mic sau

egal decât 11 în acest caz funcția

f de x aparține intervalului 8

11 deschis la 8:00 și închis la

11:00 avem Așadar f de x aparține

intervalului minus 4 minus 2 și

f de x aparține intervalului 8

11 în concluzie f d x aparține

intervalului minus 4 minus 2 reunit

cu intervalul 811 observăm astfel

că cea mai mică valoare pe care

o poate lua funcția f este minus

4 și cea mai mare valoare pe care

o poate lua a fi este 11:00 așa

dar putem să scriem că f de x aparține

intervalului minus 4 11 urmare

am arătat că funcția este mărginită

și mai facem un exercițiu Arătați

că funcția f definită pe r cu valori

in r f de x egal cu 3 x plus 6

nu este mărginită o Să presupunem

prin absurd că funcția este mărginită

presupunem f mărginită mergem pe

a doua definiție Dacă F este mărginită

înseamnă că există un număr pozitiv

m astfel încât modul din f de x

să fie mai mic sau egal decât n

oricare ar fi x din r Așadar există

m pozitiv astfel încât modul din

3x plus 6 să fie mai mic sau egal

decât m pentru orice x real Iar

acest lucru se mai poate scrie

astfel minus m mai mic sau egal

decât 3 x plus 6 mai mic sau egal

decât m Dacă scădem pe 6 obținem

minus A minus 6 mai mic sau egal

decât 3 x mai mic sau egal decât

m minus șase iar dacă împărțim

inegalitatea la 3:00 avem minus

A minus 6 totul supra 3 mai mic

sau egal decât x mai mic sau egal

decât m minus 6 supra 3 oricare

ar fi x real însă această relație

este falsă deoarece această inegalitate

nu are loc pentru orice x număr

real De exemplu dacă alegem X3

fiind partea întreagă din m minus

6 pe 3 plus 1 atunci această valoare

este mai mare decât m minus 6 de

trei așa dar relația aceasta nu

are loc pentru orice x 3 prin urmare

presupunerea de la care am pornit

este falsă Așadar funcția f nu

este mărginită

Funcții mărginiteAscunde teorie X

Fie funcția:

f colon A rightwards arrow B comma space A comma space B subset of or equal to straight real numbers.

Definiție. Imaginea funcției f (sau mulțimea valorilor funcției f) este mulțimea:

Im f equals f left parenthesis A right parenthesis equals open curly brackets f left parenthesis x right parenthesis space left enclose space x element of A space close curly brackets equals open curly brackets y element of B space left enclose space there exists x element of A space a. space î. space f left parenthesis x right parenthesis equals y close curly brackets subset of or equal to B. space

Definiție. Funcția f este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este inclusă într-un interval de numere reale.

Funcția f este mărginită dacă:

bullet there exists space a comma space b element of straight real numbers space a. space î. space a less or equal than f left parenthesis x right parenthesis less or equal than b comma space for all x element of A.
bullet there exists space a comma space b element of straight real numbers space a. space î. space I m f subset of open square brackets a comma b close square brackets
bullet there exists space M greater than 0 space a. space î. space open vertical bar f left parenthesis x right parenthesis close vertical bar less or equal than M comma space for all x element of A.

Observație. Dacă o funcție este mărginită, atunci graficul acesteia este cuprins între două drepte paralele cu axa Ox.

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri