Inecuații logaritmice
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în rezolvarea inecuațiilor logaritmice
vom folosi monotonia funcției logaritmice
înainte de a trece la rezolvarea
inecuațiilor aș vrea să reamintim
câteva aspecte teoretice funcția
logaritmică este definită pe intervalul
0 plus infinit cu valori in R și
exprimată prin legea f de x egal
cu logaritm în bază a din x este
număr strict pozitiv și diferit
de 1 dacă bază este supraunitară
atunci funcția logaritmică este
strict crescătoare Așadar în cazul
în care logaritm în bază a din
x Unul este mai mic decât logaritm
în bază a din x 2 atunci vom obține
că x 1 este mai mic decât x 2 Așadar
în cazul funcție crescătoare relația
de ordine dintre argumente se păstrează
iar dacă bază este subunitară din
faptul că logaritm în bază a din
x 1 este mai mic decât logaritm
în bază a din x Baum obține că
X1 este mai mare decât X2 Așadar
în cazul în care funcția este strict
descrescătoare relația de ordine
dintre argumente se schimbă să
rezolvăm în continuare Prima in
ecuație avem logaritm în baza 5
din 2 x plus 3 este mai mic ca
0 pentru început vom pune condițiile
de existență pentru această inecuația
argumentul logaritmului trebuie
să fie mai mare ca 0 Așadar vom
pune condiția ca 2x plus 3 să fie
mai mare ca 0 rezolvăm această
inecuației obținem x mai mare decât
minus 3 supra 2 în consecință x
aparține intervalului minus 3 supra
2 plus infinit acesta este domeniul
de existență pentru această inecuația
notăm această relație cu unu pentru
a rezolva această in ecuație o
Vom scrie astfel încât să avem
în ambii membri logaritm cu aceeași
bază Așadar logaritm în baza 5
din 2 x plus 3 este mai mic decât
logaritm 5 din 1 pentru că zero
se poate scrie logaritm în baza
5 din 1 baza logaritmului este
supraunitară În consecință funcția
este strict crescătoare Așadar
avem inegalitatea 2x plus 3 mai
mic ca 1 obținem 2 x mai mic decât
minus 2x mai mic decât minus 1
x aparține intervalului minus infinit
minus 1 notez această relație cu
doi acum trebuie să intersectăm
cele două intervale din relațiile
1 și 2 obținem că x aparține intervalului
minus 3 supra 2 plus infinit intersectat
cu intervalul minus infinit minus
1 să Reprezentăm aceste intervale
pe o axă 0 minus 1 minus 2 minus
3 supra 2 este minus 1 aici avem
minus 3 supra 2 primul interval
este de la minus 3 supra 2 la plus
infinit al doilea interval este
de la minus infinit până la minus
1 intersecția celor două intervale
este intervalul minus 3 supra 2
minus 1 Așadar soluția inecuației
este intervalul minus 3 pe 2 minus
1 următoarea ecuație logaritm în
baza 1 supra 3 din 4 x minus unu
mai mare decât minus 3 vom pune
condițiile de existență pentru
această in ecuație argumentul logaritmului
trebuie să fie mai mare ca 0 4
x minus 1 este mai mare ca 0 obținem
x mai mare decât 1 pe 4 în consecință
x aparține intervalului 1 supra
4 plus infinit acesta este domeniul
de existență pentru această ecuație
notăm relația cu unul vom scrie
inecuația de mai sus astfel încât
să avem în ambii membri logaritm
cu aceeași bază logaritm în baza
1 pe 3 din 4 x minus 1 este mai
mare decât logaritm în baza 1 supra
3 din 27 pentru că 1 supra 3 la
puterea n minus 3 ne dă 27 avem
în ambii membri logaritm cu aceeași
bază subunitară în consecință funcția
este strict descrescătoare și atunci
relația de ordine dinții argumente
se schimbă vom avea 4 x minus unu
mai mic decât 27 obținem 4 x mai
mic decât 28 x este mai mic decât
7 x aparține intervalului minus
infinit 7 notez această relație
cu doi din relațiile 1 și 2 avem
că x aparține intervalului minus
infinit 7 intersectat cu intervalul
1 supra 4 plus infinit întotdeauna
trebuie să intersectăm soluția
obținută cu domeniul de existență
să Reprezentăm cele două intervale
pe o axă 1 2 3 4 5 6 7 avem intervalul
minus infinit 7 și intervalul 1
pe 4 plus infinit putem observa
că intersecția celor două intervale
este intervalul 1 supra 4 7 Așadar
soluția inecuației este intervalul
1 pe 4 7 și ultima inecuații logaritm
în baza 7 din 10 minus 3x este
mai mare decât logaritm în baza
7 din 2x minus 5 condițiile de
existență pentru această ecuație
10 minus 3x trebuie să fie mai
mare ca 0 și 2x minus 5 mai mare
ca 0 din prima in ecuație obținem
x mai mic decât 10 pe trei și din
a doua in ecuație obținem x mai
mare decât 5 supra 2 din prima
in ecuație avem x aparține intervalului
minus infinit 10 supra 3 din a
doua inecuației obținem că x aparține
intervalului 5 supra 2 plus infinit
vom reprezentat pe o axă cele două
intervale avem 0 1 2 3 10 supra
3 înseamnă 3 virgulă perioada 3
undeva aici avem 10 pe 3 primul
interval este minus infinit 10
pe 3 apoi avem intervalul 5 pe
2 plus infinit 5 supra 2 este 2
intersecție acestor două intervale
este intervalul 5 supra 2 10 pe
3 notez această relație cu unu
și acum să trecem la rezolvarea
inecuației avem în ambii membri
logaritmi cu aceeași bază bază
este supraunitară în consecință
funcția logaritmică este strict
crescătoare Așadar vom avea relația
10 minus 3x este mai mare decât
2x minus 5 avem 15 mai mare decât
5x x este mai mic ca 3 x aparține
intervalului minus infinit trei
notez această relație cu doi din
relațiile 1 și 2 avem x aparține
intervalului minus infinit 3 intersectat
cu intervalul 5 supra 2 10 pe 3
voi face cu albastru intervalul
minus infinit 3 și trebuie să intersectăm
acest interval cu intervalul 5
pe 210 pe 3 acesta este intervalul
5 pe 210 pe 3 se poate observa
de intersecție a acestora este
intervalul 5 supra 2 3 Așadar soluția
a inecuației este intervalul 5
supra 2 3 la final aș vrea să fac
o scurtă observație noi am pus
condiția ca 2x minus 5 să fie mai
mare ca 0 iar când am trecut la
rezolvarea inecuației am avut relația
10 minus 3 x mai mare ca 2x minus
5 Dacă 2x minus 5 este mai mare
ca 0 și 10 minus 3x este mai mare
decât 2x minus 5 atunci implicit
10 minus 3x va fi mai mare decât
0 așa dar nu era obligatoriu să
punem această condiție de existență
pentru că ea deja se regăsește
în rezolvarea inecuației dacă nu
a fi pusă această condiție a fi
interzise cu tot soluția a minus
infinit 3 cu intervalul 5 supra
2 plus infinit și a fi obținut
aceeași soluție intervalul 5 supra
2 3 așa dar această de existență
nu era obligatorie pentru această
in ecuație