Înmulțirea matricelor cu scalari
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
Să considerăm următoarea situație
practică unde trebuitor de produse
farmaceutice aprovizionează farmaciile
F1 F2 f3 cu produsele pe 1 pe 2
pe 3 datorită unor promoții solicitarea
farmaciilor pentru aceste produse
sa dublat primului tabel Matrice
le corespund de matricea a iar
celui de al doilea tabel matricial
îi corespunde matricea b observăm
că elementele matricei b sunt obținute
din elementele matricei a înmulțite
cu doi 600 este egal cu 300 ori
2 1000 este egal cu 500 ori 2 motive
pentru care putem nota că matricea
a b este egal cu 2 ori matricea
a putem formula următoarea definiție
fie a o matrice de tipul Yemen
cu elemente din mulțimea numerelor
complexe și k un număr complex
numit produsul matricei a cu scalar
k matricea b de tipul MN unde fiecare
element al matricei b se obține
din elementele matricei a mulțimile
cu scalarul k matricea b se notează
cu k mulți tăcu matricea a iar
operația prin care fiecărei perechi
K A îi asociem matricea k a se
numește o operație de înmulțire
a matricelor cu scalari drept exemplu
să înmulțim matricea a egală cu
2 1 minus 5 2 4 0 o matrice de
tipul 3 2 elemente din z înmulțim
cu numărul 3 Patricia 3-a se obține
din elementele matricei a Înmulțind
un cu numărul trei adică trei ori
doi trei trei ori minus 5 3 ori
2 3 ori 4 3 orser obținem Așadar
matricea 6 3 minus 15 612 0 ar
fi interesant de știut Care sunt
proprietățile acestei operații
Dacă vom considera matricile a
și b de tipul 2 3 elemente din
mulțimea numerelor complexe a unde
a este egală cu 2 minus 1 0 minus
3 1 minus 2 iar matricea b este
1 1 minus 2 2 minus 1 4 ce obținem
dacă vă mulți matricea a cu numărul
1 pe 1 ori matricea a înseamnă
unu ori doi unu ori minus unu unu
ori 0 1 ori minus 3 1 ori 1 1 minus
2 adică matricea cu elementele
2 minus 1 0 minus 3 1 minus 2 adică
exact matricea a obținem astfel
egalitatea 1 ori a egal cu a iar
dacă înlocuim matricea a cu oricare
altă Matrice de orice tip de la
alții ar rămâne adevărată reținem
astfel proprietatea pe11 ori matricea
a este egală cu matricea a Oricare
ar fi matricea a de tipul m n cu
elemente din mulțimea numerelor
complexe cu alte cuvinte elementul
1 este element neutru pentru înmulțirea
matricelor cu scalari și acum Alfa
și Beta două numere complexe să
calculăm matricea Alfa înmulțită
cu matricea Betta War ea o ținem
matricea Alfa înmulțită cu Betta
ori 2 de tei ori minus unu Betta
ori 0 better minus 3 Beta for 1
și Beta ori minus 2 obținem matricea
Alfa ori 2 Beta minus Beta 0 minus
3 Betta Betta și minus 2b adică
matricea 2 alfabeta minus alfabeta
0 minus 3 alfabeta alfabeta și
minus 2 alfabeta Dacă vom calcula
acum matricea alfabeta vor matricea
a obținem alfabeta ori doi alfabeta
ori minus unu alfabeta ori 0 alfabeta
ori minus 3 alfabeta War 1 și alfabeta
ori minus 2 adică matricea 2 alfabeta
minus alfabeta 0 minus 3 alfabeta
alfabeta și minus 2 alfabeta comparând
acum cele două Matrice de ducem
egalitatea Alfa înmulțit cu matricea
Rita Ora este egal cu alfa or better
matricea dacă înlocuim matricea
a Curcă are Matrice de orice tip
această relație rămâne adevărată
putem formula o proprietate pe
2 și anume Alfa înmulțit cu de
tei ori este egal cu alfa ori Beta
totul înmulțit cu matricea a a
Oricare ar fi a o matrice de tipul
m n cu elemente mulțimea numerelor
complexe și oricare ar fi Alfa
și Beta numere complexe îți propun
să calculăm acum matricea Alpha
plus Beta înmulțit cu matricea
a obține matricea Alpha plus Beta
înmulțit cu doi Alpha plus Beta
înmulțit cu minus 1 Alpha plus
Betta înmulțit cu 0 Alpha plus
Betta înmulțit cu minus 3 Alpha
plus Beta înmulțit cu 1 Alpha plus
Betta înmulțit cu minus 2 obținem
Așadar matricea 2 Alpha plus 2
Betta Aplicând distributivitatea
înmulțirii numerelor complexe de
față de adunare a numerelor complexe
minus Alfa minus Beta 0 minus 3
Alpha minus 3 Beta Alfa plus b
minus 2 Alfa minus 2 Beta să calculăm
acum și matricea Alfa a plus b
taie Horea obținând matricea 2
Alfa minus Alpha 0 minus 3 Alpha
Alpha minus 2 Alpha plus matricea
2 b minus b 0 minus 3 minus 2 b
adunăm acum elementele corespunzatoare
din cele două Matrice și obține
matricea i2 Alpha plus 2b minus
Alfa Betta 0 minus 3 Alpha minus
3 Beta Alfa plus b minus 2 Alfa
minus 2b comparând acum elementele
celor două Matrice observăm că
ele sunt egale ceea ce ne permite
să afirmăm că și cele două Matrice
sunt egale adică Alpha plus better
matricea a este egal cu alfa ori
a plus Beta urea dacă înlocuim
acum matricea a în această egalitate
cu oricare Matrice de orice tip
propoziția rămâne adevărată avem
astfel și o a treia proprietate
pe 3 Alpha plus Beta ori matricea
a este egal cu alfa ori a plus
b ori a Oricare ar fi a în matrice
de tipul MN cu elemente din mulțimea
numerelor complexe și oricare ar
fi Alfa și Beta două numere complex
această proprietate poate fi reformulată
și astfel înmulțirea matricelor
cu scalari este distributivă față
de Adunarea numerelor complexe
Dar oare înmulțirea matricelor
cu scalari este distributivă față
de adunarea matricelor Să calculăm
matricea a Alfa înmulțit cu a plus
b obține matricea Alfa ori 2 plus
1 minus 1 plus 1 0 plus minus 2
minus 3 plus 2 1 plus minus 1 minus
2 plus 4 adică Alfa înmulțit cu
matricea 3 0 minus 2 minus 1 0
2 adică matricea trei ori Alpha
0 minus 2 ori Alfa minus Alpha
0 și 2 L Dacă vom calcula Acum
matricea pelham ori a plus Alpha
orb a obține matricea O2 Alfa minus
Elsa 0 minus 3 Alpha Alpha plus
matricea Alpha Alpha minus 2 alpha2l
fă minus Alpha 4 Alpha adică matricea
i2 Alpha plus Alpha minus Alpha
plus Alpha 0 minus 2 Alfa minus
3 Alpha plus 2 Alpha Alpha minus
Alpha minus 2 Alpha plus 4 Alpha
obținem astfel matricea 3 Alpha
0 minus 2 Alfa minus Alpha 0 2
Elsa comparând din nou elementele
celor două Matrice observăm că
ele sunt egale dar și matricele
calculate sunt egale adică Alfa
înmulțit cu a plus b este egal
cu alfa ori a plus Alfa vorbi pe
calitatea se păstrează și dacă
înlocuim matricile a și b cu oricare
alte două Matrice dar de același
timp pentru a putea efectua adunarea
avem acum răspuns afirmativ la
ultima întrebare formulând a patra
proprietate proprietatea 4 Alpha
înmulțit cu a plus b este egal
cu alfa ori a plus Alfa ori b Oricare
ar fi a și b două Matrice de tipul
m n cu elemente în mulțimea numerelor
complexe și oricare ar fi Alfa
un număr complex fii acum o matrice
si de tipul m n cu elemente în
mulțimea numerelor complexe și
Alfa un număr complex produsul
Alfa orice este de fapt produsul
numărului Alfa cu fiecare element
al matricei c egal în produsul
el face cu matricea nulă de tipul
m n obținem egalitățile Alfa și
j egal cu zero ceea ce înseamnă
orca Alfa este 0 sau elementele
cheie ale matricei Ce sunt 0 acest
raționament ne oferă ultima proprietate
pe 5 matricea Alfa a este egală
cu matricea nulă de tipul MN Dacă
și numai dacă ori Alfa egal cu
0 ori matricea a e matricea nulă
de tipul Emir să rezolvăm acum
următorul exercițiu fi matricele
a b și c trei Matrice pătratice
de ordinul doi cu elemente numere
complexe se determina matricea
a plus doi ori b și apoi să determinăm
parametrul k număr real a astfel
încât matricea a plus k ori matricea
ce să fie egală cu matricea b pentru
primul subpunct Să calculăm întâi
matricea 2 ori b adică 2 înmulțit
cu matricea 7 3 minus 3 minus 2
adică 2 ori 7 2 ori 3 2 ori minus
3 2 ori minus 2 obținând matricea
14 6 din 6 minus 4 calculăm acum
suma a plus 2b înlocuind matricea
a 1 minus 1 3 2 plus matricea 2b
adică 14 șase din șase din patru
aduna elementele corespunzatoare
din cele două Matrice 1 plus 14
minus 1 plus 6 3 plus minus 6 2
plus minus 4 obținând matricea
15 5-a minus 3 minus 2 pentru rezolvarea
sub punctului b al acestui exercițiu
putem proceda în două moduri și
anume putem efectua întâi produsul
k orice obținând matricea i3 k2k
minus 3 k minus 2 k calculând suma
a plus k orice Adică 1 minus unu
trei doi adunată cu matricea 3
k2k minus 3 k minus 2 k obținând
matricea 1 plus 3 k minus 1 plus
2k 3 minus 3 k2 minus 2 k egal
Dar cum faci asta Matrice ca matricea
b obținem egalitățile 1 plus 3
k este egal cu 7 minus 3 k este
egal cu minus 3 minus 1 plus 2k
este egal cu 3 x 2 minus 2 k este
egal cu minus 2 ecuații care au
ca soluție pe k egal cu 2 sau putem
rezolva acest subpunct și în modul
următor pornind de la egalitatea
a plus k ori c egal cu b determină
matricea a k orice diferență dintre
matricele a și b adică 7 3 minus
3 minus 2 minus matricea 1 minus
unu trei doi adică matricea 7 minus
1 3 minus minus 1 minus 3 minus
3 minus 2 minus 2 adică Patricia
6 4 minus 6 minus 4 Dar înlocuind
acum în această egalitate și matricea
ce obținem egalitatea k ori 3 2
minus 3 minus 2 este egal cu matricea
6 4 minus 6 minus 4 observăm că
egalitatea celor două Matrice are
loc numai în cazul în care k este
egal cu 2