Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Înmulțirea matricelor cu scalari

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
6 voturi 301 vizionari
Puncte: 10

Transcript



Să considerăm următoarea situație

practică unde trebuitor de produse

farmaceutice aprovizionează farmaciile

F1 F2 f3 cu produsele pe 1 pe 2

pe 3 datorită unor promoții solicitarea

farmaciilor pentru aceste produse

sa dublat primului tabel Matrice

le corespund de matricea a iar

celui de al doilea tabel matricial

îi corespunde matricea b observăm

că elementele matricei b sunt obținute

din elementele matricei a înmulțite

cu doi 600 este egal cu 300 ori

2 1000 este egal cu 500 ori 2 motive

pentru care putem nota că matricea

a b este egal cu 2 ori matricea

a putem formula următoarea definiție

fie a o matrice de tipul Yemen

cu elemente din mulțimea numerelor

complexe și k un număr complex

numit produsul matricei a cu scalar

k matricea b de tipul MN unde fiecare

element al matricei b se obține

din elementele matricei a mulțimile

cu scalarul k matricea b se notează

cu k mulți tăcu matricea a iar

operația prin care fiecărei perechi

K A îi asociem matricea k a se

numește o operație de înmulțire

a matricelor cu scalari drept exemplu

să înmulțim matricea a egală cu

2 1 minus 5 2 4 0 o matrice de

tipul 3 2 elemente din z înmulțim

cu numărul 3 Patricia 3-a se obține

din elementele matricei a Înmulțind

un cu numărul trei adică trei ori

doi trei trei ori minus 5 3 ori

2 3 ori 4 3 orser obținem Așadar

matricea 6 3 minus 15 612 0 ar

fi interesant de știut Care sunt

proprietățile acestei operații

Dacă vom considera matricile a

și b de tipul 2 3 elemente din

mulțimea numerelor complexe a unde

a este egală cu 2 minus 1 0 minus

3 1 minus 2 iar matricea b este

1 1 minus 2 2 minus 1 4 ce obținem

dacă vă mulți matricea a cu numărul

1 pe 1 ori matricea a înseamnă

unu ori doi unu ori minus unu unu

ori 0 1 ori minus 3 1 ori 1 1 minus

2 adică matricea cu elementele

2 minus 1 0 minus 3 1 minus 2 adică

exact matricea a obținem astfel

egalitatea 1 ori a egal cu a iar

dacă înlocuim matricea a cu oricare

altă Matrice de orice tip de la

alții ar rămâne adevărată reținem

astfel proprietatea pe11 ori matricea

a este egală cu matricea a Oricare

ar fi matricea a de tipul m n cu

elemente din mulțimea numerelor

complexe cu alte cuvinte elementul

1 este element neutru pentru înmulțirea

matricelor cu scalari și acum Alfa

și Beta două numere complexe să

calculăm matricea Alfa înmulțită

cu matricea Betta War ea o ținem

matricea Alfa înmulțită cu Betta

ori 2 de tei ori minus unu Betta

ori 0 better minus 3 Beta for 1

și Beta ori minus 2 obținem matricea

Alfa ori 2 Beta minus Beta 0 minus

3 Betta Betta și minus 2b adică

matricea 2 alfabeta minus alfabeta

0 minus 3 alfabeta alfabeta și

minus 2 alfabeta Dacă vom calcula

acum matricea alfabeta vor matricea

a obținem alfabeta ori doi alfabeta

ori minus unu alfabeta ori 0 alfabeta

ori minus 3 alfabeta War 1 și alfabeta

ori minus 2 adică matricea 2 alfabeta

minus alfabeta 0 minus 3 alfabeta

alfabeta și minus 2 alfabeta comparând

acum cele două Matrice de ducem

egalitatea Alfa înmulțit cu matricea

Rita Ora este egal cu alfa or better

matricea dacă înlocuim matricea

a Curcă are Matrice de orice tip

această relație rămâne adevărată

putem formula o proprietate pe

2 și anume Alfa înmulțit cu de

tei ori este egal cu alfa ori Beta

totul înmulțit cu matricea a a

Oricare ar fi a o matrice de tipul

m n cu elemente mulțimea numerelor

complexe și oricare ar fi Alfa

și Beta numere complexe îți propun

să calculăm acum matricea Alpha

plus Beta înmulțit cu matricea

a obține matricea Alpha plus Beta

înmulțit cu doi Alpha plus Beta

înmulțit cu minus 1 Alpha plus

Betta înmulțit cu 0 Alpha plus

Betta înmulțit cu minus 3 Alpha

plus Beta înmulțit cu 1 Alpha plus

Betta înmulțit cu minus 2 obținem

Așadar matricea 2 Alpha plus 2

Betta Aplicând distributivitatea

înmulțirii numerelor complexe de

față de adunare a numerelor complexe

minus Alfa minus Beta 0 minus 3

Alpha minus 3 Beta Alfa plus b

minus 2 Alfa minus 2 Beta să calculăm

acum și matricea Alfa a plus b

taie Horea obținând matricea 2

Alfa minus Alpha 0 minus 3 Alpha

Alpha minus 2 Alpha plus matricea

2 b minus b 0 minus 3 minus 2 b

adunăm acum elementele corespunzatoare

din cele două Matrice și obține

matricea i2 Alpha plus 2b minus

Alfa Betta 0 minus 3 Alpha minus

3 Beta Alfa plus b minus 2 Alfa

minus 2b comparând acum elementele

celor două Matrice observăm că

ele sunt egale ceea ce ne permite

să afirmăm că și cele două Matrice

sunt egale adică Alpha plus better

matricea a este egal cu alfa ori

a plus Beta urea dacă înlocuim

acum matricea a în această egalitate

cu oricare Matrice de orice tip

propoziția rămâne adevărată avem

astfel și o a treia proprietate

pe 3 Alpha plus Beta ori matricea

a este egal cu alfa ori a plus

b ori a Oricare ar fi a în matrice

de tipul MN cu elemente din mulțimea

numerelor complexe și oricare ar

fi Alfa și Beta două numere complex

această proprietate poate fi reformulată

și astfel înmulțirea matricelor

cu scalari este distributivă față

de Adunarea numerelor complexe

Dar oare înmulțirea matricelor

cu scalari este distributivă față

de adunarea matricelor Să calculăm

matricea a Alfa înmulțit cu a plus

b obține matricea Alfa ori 2 plus

1 minus 1 plus 1 0 plus minus 2

minus 3 plus 2 1 plus minus 1 minus

2 plus 4 adică Alfa înmulțit cu

matricea 3 0 minus 2 minus 1 0

2 adică matricea trei ori Alpha

0 minus 2 ori Alfa minus Alpha

0 și 2 L Dacă vom calcula Acum

matricea pelham ori a plus Alpha

orb a obține matricea O2 Alfa minus

Elsa 0 minus 3 Alpha Alpha plus

matricea Alpha Alpha minus 2 alpha2l

fă minus Alpha 4 Alpha adică matricea

i2 Alpha plus Alpha minus Alpha

plus Alpha 0 minus 2 Alfa minus

3 Alpha plus 2 Alpha Alpha minus

Alpha minus 2 Alpha plus 4 Alpha

obținem astfel matricea 3 Alpha

0 minus 2 Alfa minus Alpha 0 2

Elsa comparând din nou elementele

celor două Matrice observăm că

ele sunt egale dar și matricele

calculate sunt egale adică Alfa

înmulțit cu a plus b este egal

cu alfa ori a plus Alfa vorbi pe

calitatea se păstrează și dacă

înlocuim matricile a și b cu oricare

alte două Matrice dar de același

timp pentru a putea efectua adunarea

avem acum răspuns afirmativ la

ultima întrebare formulând a patra

proprietate proprietatea 4 Alpha

înmulțit cu a plus b este egal

cu alfa ori a plus Alfa ori b Oricare

ar fi a și b două Matrice de tipul

m n cu elemente în mulțimea numerelor

complexe și oricare ar fi Alfa

un număr complex fii acum o matrice

si de tipul m n cu elemente în

mulțimea numerelor complexe și

Alfa un număr complex produsul

Alfa orice este de fapt produsul

numărului Alfa cu fiecare element

al matricei c egal în produsul

el face cu matricea nulă de tipul

m n obținem egalitățile Alfa și

j egal cu zero ceea ce înseamnă

orca Alfa este 0 sau elementele

cheie ale matricei Ce sunt 0 acest

raționament ne oferă ultima proprietate

pe 5 matricea Alfa a este egală

cu matricea nulă de tipul MN Dacă

și numai dacă ori Alfa egal cu

0 ori matricea a e matricea nulă

de tipul Emir să rezolvăm acum

următorul exercițiu fi matricele

a b și c trei Matrice pătratice

de ordinul doi cu elemente numere

complexe se determina matricea

a plus doi ori b și apoi să determinăm

parametrul k număr real a astfel

încât matricea a plus k ori matricea

ce să fie egală cu matricea b pentru

primul subpunct Să calculăm întâi

matricea 2 ori b adică 2 înmulțit

cu matricea 7 3 minus 3 minus 2

adică 2 ori 7 2 ori 3 2 ori minus

3 2 ori minus 2 obținând matricea

14 6 din 6 minus 4 calculăm acum

suma a plus 2b înlocuind matricea

a 1 minus 1 3 2 plus matricea 2b

adică 14 șase din șase din patru

aduna elementele corespunzatoare

din cele două Matrice 1 plus 14

minus 1 plus 6 3 plus minus 6 2

plus minus 4 obținând matricea

15 5-a minus 3 minus 2 pentru rezolvarea

sub punctului b al acestui exercițiu

putem proceda în două moduri și

anume putem efectua întâi produsul

k orice obținând matricea i3 k2k

minus 3 k minus 2 k calculând suma

a plus k orice Adică 1 minus unu

trei doi adunată cu matricea 3

k2k minus 3 k minus 2 k obținând

matricea 1 plus 3 k minus 1 plus

2k 3 minus 3 k2 minus 2 k egal

Dar cum faci asta Matrice ca matricea

b obținem egalitățile 1 plus 3

k este egal cu 7 minus 3 k este

egal cu minus 3 minus 1 plus 2k

este egal cu 3 x 2 minus 2 k este

egal cu minus 2 ecuații care au

ca soluție pe k egal cu 2 sau putem

rezolva acest subpunct și în modul

următor pornind de la egalitatea

a plus k ori c egal cu b determină

matricea a k orice diferență dintre

matricele a și b adică 7 3 minus

3 minus 2 minus matricea 1 minus

unu trei doi adică matricea 7 minus

1 3 minus minus 1 minus 3 minus

3 minus 2 minus 2 adică Patricia

6 4 minus 6 minus 4 Dar înlocuind

acum în această egalitate și matricea

ce obținem egalitatea k ori 3 2

minus 3 minus 2 este egal cu matricea

6 4 minus 6 minus 4 observăm că

egalitatea celor două Matrice are

loc numai în cazul în care k este

egal cu 2

Înmulțirea matricelor cu scalariAscunde teorie X

begin mathsize 14px style D e f i n i ț i e. space F i e space A element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space k element of straight complex numbers. end style

Numim produsul matricei A cu scalarul k, matricea

begin mathsize 14px style B space element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space u n d e space b subscript i j end subscript equals k times a subscript i j end subscript comma space for all space i element of open curly brackets 1 comma 2 comma... comma m close curly brackets comma space for all space j element of open curly brackets 1 comma 2 comma... comma n close curly brackets end style.

Matricea B= k A.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

 begin mathsize 14px style 1. space 1 times A equals A comma space for all space A element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis. end style

begin mathsize 14px style 2. space alpha space left parenthesis beta space A right parenthesis equals space left parenthesis alpha beta right parenthesis space A comma space for all alpha comma beta element of straight complex numbers comma space for all space A element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis. end style

begin mathsize 14px style 3. space left parenthesis alpha plus beta right parenthesis space A equals space alpha space A plus beta space A comma space for all space alpha comma beta space element of straight complex numbers comma space for all space A element of calligraphic M subscript m comma n space end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis. end style

begin mathsize 14px style 4. space alpha space left parenthesis A plus B right parenthesis equals space alpha space A plus space alpha space B comma space for all space alpha space element of straight complex numbers comma space for all space A comma space B space element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis. end style

begin mathsize 14px style 5. space alpha space A equals O subscript m comma n end subscript left right double arrow alpha equals 0 space s a u space A equals O subscript m comma n end subscript. end style

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri