Intervale mărginite și nemărginite de numere reale
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
Cu siguranță ați mai auzit cuvântul
interval în diferite contexte de
exemplu în intervalul de timp de
la 8:00 la 10:00 am lecție de tenis
asta înseamnă că de la ora 8 până
la ora 10:00 pe întreaga durată
a acestui interval de timp fac
tenis însă în această secvență
nu vom discuta despre intervale
de timp și despre intervale de
numere reale și avem aici o axă
a numerelor și vrem să găsim toate
numerele reale Deci x număr real
cu proprietatea că x este mai mare
sau egal cu 2 și mai mic sau egal
cu 3 acum ca să înțelegem mai bine
vom exprima geometric această relație
pentru că e o exprimare mai intuitivă
pentru aceasta considerăm punctul
A mare de 2 punctul b mare de coordonată
3 și vom reprezenta aceste două
puncte a și b iar pe axa numerelor
avem aici unitatea de măsură Deci
aici este numărul 1 numărul 2 este
aici trecem 2 punctul A mare de
coordonată 2 3 este aici 4 este
aici noi vrem să îl trecem pe 3
Deci la jumătatea distanței dintre
3 și 4 bun la întrecut aici 3 avem
punctul B acum noi vrem să găsim
toate numerele reale care sunt
situate între 2 și 3 cu altă cuvinte
vrem să găsim toate punctele și
tu care au coordonate 2 și 3 Deci
toate punctele situate între și
b Păi dacă Privim acest desen punctele
situate între a și b ce vom obține
Iată vom obține de fapt un segment
mai mult ca mine chiar un segment
închis segmentul închis a b bun
De ce se obține acest segment Păi
de nu se aude dreaptă știind că
axă a numerelor reale este în esență
o dreaptă dacă luăm pe o dreapta
două puncte de exemplu a și b atunci
oricâte apropiat ar fi cele două
puncte între ele Mai găsim un al
treilea punct de exemplu acesta
apoi între acest punct și punctul
A mai există încă un al treilea
punct care și el își mănâncă un
al patrulea de fac are și el este
între 2 și 3 și acest proces se
tot repetă și de fapt vom obține
o infinitate de puncte care au
coordonata între 2 și 3 și cum oricărui
punct care se află între a și b
îi corespunde o coordonată adică
un număr real situat între 2 și
3 înseamnă că vom obține de fapt
o infinitate de numere reale între
2 și 3 această mulțime reprezintă
de fapt un interval de numere reale
Cum îl notăm Păi fie înotăm geometric
Da Dar în general un interval de
numere reale îl notăm algebrică
astfel punctul a are coordonată
a2d și trecem 2 punctul b are coordonată
3 10 m punct și virgulă între coordonate
ca să le separăm și folosim aceeași
același timp de paranteze Deci
avem aici un interval închis 2
3 capetele intervalului sunt 2 și
3 virgulă cinci de ce El este un
interval închis pentru că Iată
x poate să ia și valoarea 2 și
valoarea 3 avem aici mai mic sau
egal la fel și aici mai mic sau
egal de fapt Orice număr real care
verifică această relație de pe
orice număr real x mai mare sau
egal cu 2 și mai mic sau egal cu
3 înseamnă că face parte din această
mulțime de ce echivalentă cu a
spune că x aparține acestei mulțimi
Haide să trecem mai sus să se vadă
clar bun Haideți să vedem acum
dacă numărul radical din 5 aparține
Oare acestui interval închis 2
3 Acesta este un interval mărginit
De ce spunem că este mărginit pentru
că îi cunoaștem marginile avem
aici numărul 2 și 3 m pentru a vedea
dacă radical din 5 aparține acestui
interval să folosim putem să folosim
o aproximarea lui radical din 5
și iată avem aici un calculator
dacă facem radical din 5 și am
obținut Aici este evidenta tu o
aproximare dacă vrem să îl aproxima
prin lipsă folosind două zecimale
obținem 2 radical din 5 a aproximativ
egale cu 2 și să vedem acum dacă
acest număr adică radical din 5
este mai mare sau egal cu 2 și
mai mic sau egal cu 3 și întradevăr
acest număr a cuprins între 2 și
3 Deci venim aici și Ștergem că
radical din 5 aparține acestui
interval Dar numărul 3 aparține
intervalului închis 2 3 Păi să vedem
dacă 3 49 pardon este mai mare sau
egal cu 2 și mai mic sau egal cu
3 este mai mare sau egal cu doi
și aici dacă vreți putem să mai
completăm cu o zecimală trecem
un zero nesemnificativ 3 este mai
mic sau egal cu 3 10 aparține acestui
interval Dar numărul 3 1 aparține
Oare intervalului închis 2 3 numărul
3 1 clari mai mare decât 2 însă
3 1 Cum este față de 3 pe aici avem
patru zecimale putem să completăm
cu încă trei zerouri nesemnificative
nu se schimbă cu nimic numărul
nostru și acum Haideți să comparăm
partea întreagă a gală cu partea
întreagă de aici prima zecimală
de aici egală cu de aici a doua
zecimală este egală cu a doua de
aici la fel și aceea de a treia
zecimală de aici egală cu aceasta
Însă a patra zecimală este mai
mare decât a patra zecimală de
aici Deci acest număr este strict
mai mare decât 3 Deci venim și stergem
ca acest număr dat nu aparține
acestui interval bun acum există
mai multe tipuri de intervale Următorul
tip de interval e dat de această
relație vrem să găsim toate numerele
reale x cu proprietatea că x este
mai mare strica doi și mai mic
strica 3 și am trecut aici pe axa
numerelor punctul a de coordonată
2 și b de coordonată 3 acum Care
sunt numerele reale strict mai
Marica 2 și strig mai mici ca 3
Păi dacă vom Reprezentați geometric
ce vom obține vom avea tot un segment
însă atenție avem acum un segment
deschis pentru că Iată x nu poate
să ia valoarea 2 asta înseamnă
că punctul A de coordonate 2 Nu
are ce să caute în această mulțime
la fel nici punctul B avem x este
strict mai mic ca 3 nu mai mic sau
egal cu Mera mai sus Deci am obținut
segmentul deschis a b la fel este
și intervalul nostru avem intervalul
deschis 2 3 este totul interval
mărginit Însă este interval deschis
pentru că numărul 2 nu aparține
acestei mulțimi chiar putem să
notăm Deci 2 nu aparține acestei
mulțimi la fel 3 nu apar ține acestui
interval deschis 2 3 dacă ni se
dă inegalitatea x mai mare sau
egal cu 2 și mai mic strict decât
3 când x este un număr real atunci
ce vom obține PA X poate să ia
și valoarea doi Dar nu poate să
ia și valoarea 3 de fapt avem tot
un segment însă pentru că aici
avem 2 mai mic sau egal cu x înseamnă
că vom avea un segment închis la
acest capăt și deschis la acesta
Pentru că x nu poate să ia valoarea
3 Deci avem acest segment închis
la a deschis la b și intervalul
este intervalul închis la acest
capăt și deschis la 3 Deci deschis
la dreapta putem să spunem că 2
aparține acestui interval însă
3 fiind un interval deschis la acest
capăt nu aparține intervalului
2 3 sau putem să avem această situație
în care Iată x este strict mai
mare ca 2 și mai mic sau egal cu
3 Și atunci vom obține un segment
deschis la acest capăt închis la
acesta Deci un interval deschis
la 2 și închis la 3 Evident cu aceste
condiții dacă avem acum această
din ecuație Deci vrem să găsim
toate numerele reale care sunt
mai mari sau egale cu 2 Păi ai
de să trecem aici și pe axa numerelor
punctul A mare de coordonată 2
Care sunt numerele mai mari sau
egale cu 2 Păi tot ce avem în această
parte axa numerelor reale și ce
obținem din punct de vedere geometric
Păi avem aici acest punct de la
care pornim și observăm că aici
nu avem nici o margine de fapt
obținem o semidreaptă Păi ca să
scriem semidreapta avem originea
în să mai avem nevoie de încă un
punct așa că Haideți să luăm aici
și vom avea numărul trei și aici
numărul 4 trecem punctul C de coordonate
4 și vom avea semidreapta AC cu
originea în A și acum cu Mix poate
să ia și valoarea A2 înseamnă Kapoor
a face parte din acest din această
semidreaptă Deci avem o semidreaptă
închisă banca să scriem intervalul
ne vom uita aici pe axa numerelor
Deci avem un interval închis la
stânga unde avem numărul 2 și ca
să arătăm faptul că avem acum atenție
un interval nemărginit în loc de
unul mărginit ca până acum aici
vom trece plus infinit Deci avem
intervalul închis la stânga 2 plus
infinit interval nemărginit Întotdeauna
când avem de a face cu acest simbol
semnul pe care îl vom trece va
fi o paranteză deschisă și atenție
plus infinit Nu este un număr real
Ce este un simbol pe care îl folosim
pentru a arăta nemărginirea dacă
avem acea situație Iată avem de
Determina toate numerele reale
care sunt strict mai mari ca 2
asta înseamnă că punctul A de coordonată
2 nu face parte din această mulțime
de ce avem o semidreaptă deschisă
în A și avem intervalul deschis
și nemărginit 2 plus infinit acum
dacă vrem să determinăm toate numerele
reale care sunt mai mici sau egale
cu doi ce vom obține Păi să trecem
punctul A de coordonată 2 pe axa
înainte de aceasta Haide să așezăm
tot si aici ceva mai sus bun și
am spus că vom trece punctul A
mare de coordonate 2 pe axa numerelor
care sunt numerele mai mici sau
egale cu 2 Păi vorbim De fapt de
aceste numere ia că care fac parte
din această zonă axa numerelor
numerelor reale ce obținem acum
Avem o semidreaptă închisă pentru
că Iată x poate să ia și valoare
a doi Deci punctul a face parte
din această semidreaptă o notăm
aici cu un ou originea axei numerelor
originea semidreptei Însă este
A deci avem semidreapta închisă
A8 Cum scriem acum intervalul Păi
dacă aici aveam plus infinit atunci
în partea stângă a avem minus infinit
și avem intervalul nemărginit minus
Infinit 2 aici trecem paranteză
rotundă când avem acest semn și
aici vând un interval închis la
dreapta a trece în paranteză pătrată
la fel minus infinit Haideți să
notăm aici nu este un număr real
al ne arată faptul că avem un interval
nemărginit intervin nemărginită
avem și în această situație în
care x este strict mai mic decât
doi singura diferență este că avem
acum o semidreaptă deschisă și
avem intervalul deschis în partea
dreaptă și nemărginit minus Infinit
2 Deci avem intervale nemărginite
Cum sunt aceste trei și haide să
îl vedem și pe cel dinainte Deci
intervale nemărginite corespunzătoare
unor semidrepte și intervale mărginite
Iată morfem istoric sample și încă
două exemple și ele sunt corespunzătoare
unor segmente Haideți să facem
acum două observații să facem prima
observație Deci notăm aici unu
dacă avem axei numerelor reale
Da putem să notăm aici minus infinit
așa cum am învățat și aici plus
infinit A bine mulțimea lor reale
poate fi scrisă și sub forma unui
interval și anume din intervalul
nemărginit minus infinit plus infinit
Deci mulțimea numerelor reale poate
fi scrisă și sub această formă
și a doua a observație este următoarea
orice interval este o submulțime
a lui R de exemplu intervalul minus
Infinit 2 este o mulțime de numere
reale și este o submulțime a mulțimii
numerelor reale sau un interval
mărginit cu mama avut să spunem
că avem un interval închis la stânga
și deschis la dreapta Deci intervalul
2 3 este tot așa o submulțime a
lui a ridici notăm este inclus
în mulțimea numerelor reale însă
nu orice submulțime a lui este
și interval de exemplu având aici
mulțimea A formată din elementele
1 și 2 este o submulțime a lui
R în săceanu tot aici nu este interval
ca să fie interval trebuia să avem
o altă notație care însemna că
în acea mulțime sunt toate numerele
reale cuprinse între unu și doi
însă cea notat aici reprezintă
o mulțime care are doar două elemente
și anume numerele 1 și 2