Inversa unei funcții

dacă avem o funcție f definită

pe a cu valori în b bijectivă înseamnă

că pentru fiecare element y10 tă

un unic element x în a astfel încât

f de x egal cu y în aceste condiții

Am putea construi o altă funcție

care duce elementele din b în mulțimea

a funcție care se va numi inversă

funcției f Am putea nota această

funcție cu jet de exemplu însă

notația consacrată pentru inversă

unei funcții este a fi la minus

1 este numește funcție directă

iar f la minus 1 este funcția inversă

astfel domeniul de definiție pentru

funcția inversă este codomeniul

funcției directe iar codomeniul

funcției inverse Este domeniul

funcției directe este foarte important

ca funcția f să fie bijectivă pentru

a putea construi inversă acesteia

dacă funcția f nu este injectivă

de exemplu atunci am fi în situația

în care două argumente distincte

din ei ar avea aceeași medgyn în

b iar dacă aș vrea să construiesc

o funcție de la b cu valori în

a aș fi în situația în care un

element din domeniu ar avea două

imagini încă o domeniu iar acesta

aspecte ar fi în contradicție cu

noțiunea de funcție nu știm pe

o funcție Asociază fiecărui element

din domeniu un singur element încă

o domeniu dacă funcția f nu ar

fi surjectivă aș avea elemente

în b care nu sunt imaginile niciunui

argument din a Iar acest lucru

ar fi de asemenea în contradicție

cu noțiunea de funcție de aceea

este foarte important ca o funcție

să fie bijectivă pentru a putea

construi inversa a Așadar o funcție

este inversabilă dacă și numai

dacă ai fost bijectivă am văzut

că la funcția inversă se inversează

domeniul cu codul meniul și acum

Haideți să vedem cum stabilim legea

de corespondență Să considerăm

funcția f definită pe r cu valori

in r f de x egal cu 2x minus 1

ne propunem să verificăm dacă această

funcție este bijectivă și să construim

inversă acesteia pentru studiul

bijectivitatea prin metoda grafică

a făcut un tabel de Valori Iată

am ales două valori arbitrare pentru

x pentru valoarea 0 f de 0 este

minus 1 iar pentru x egal cu 2

f de 2 este egal cu 3 să trasăm

și graficul acestea graficul este

o dreaptă observăm că oriunde aș

duce o paralelă la axa o x această

va intersecta graficul funcției

între un singur punct prin urmare

funcția este bijectivă de fapt

orice funcție de gradul întâi este

funcție bijectivă funcția inversă

f la minus unu va fi definită pe

r cu valori in R invers în domeniul

cu codomeniul însă în această situație

le coincid și să vedem ce lege

de corespondență va avea f la minus

1 dacă în funcția directă notez

cu y f de x obținem y1 2x minus

1 putem observa că pentru a obține

imaginea unui argument x din domeniul

trebuie să înmulțim numărul x cu

2 și apoi să scădem 1 în funcția

inversă va trebui mai întâi să

adunăm valoarea 1 și apoi să împărțim

rezultatul la 2 cu alte cuvinte

trebuie să le exprimăm pe x în

funcție de y10 fructe directă ys3d

si de x iar în inversor x va fi

o expresie de a obținem 2 x egal

cu y plus 1 x egal cu y plus 1

supra 2 aceasta va fi legea de

corespondență pentru inversă funcției

f avem f la minus 1 de yii2 plus

1 supra 2 în locul variabilei y

cu tem să punem o ceartă literă

însă Noi suntem obișnuiți ca variabila

funcției să fie notată cu X Așadar

vom scrie f la minus 1 de x egal

cu x plus 1 supra 2 aceasta va

fi legea de corespondență pentru

inversă funcției f f la minus 1

este Funcție definită pe r cu valori

in r f la minus 1 de x este egal

cu x plus 1 supra 2 să vedem și

graficul aceste funcții Iată tabelul

de Valori așa cum ne așteptam valoarea

minus unu are imaginea 0 iar 3

are imaginea 2 dacă trasăm și graficul

acestei funcții putem observa că

cele două grafice sunt si mie De

ce față de prima bisectoare prima

bisectoare fiind dreapta de ecuație

y egal cu x Aceasta este o proprietate

importantă a graficului funcției

inverse întotdeauna graficul funcției

directe și al funcției inverse

vor fie simetrice față de prima

bisectoare să vedem în continuare

Cum stabilim inversă unei funcții

având două forme rezolva următorul

exercițiu Să se arate că funcția

f este bijectivă și Să se calculeze

inversa a avem f definită pe r

cu valori in r f de x egal cu 3x

minus 7 Dacă x este mai mic sau

egal cu 3 și x minus 1 dacă x este

mai mare ca 3 pentru studiul bijectivitate

prin metoda grafică să facem tabelul

de Valori pentru x mai mic sau

egal cu 3 funcția este 3x minus

7 alegem pentru instalarea 3 și

obținem 3 3 9 minus 7 2 la dreapta

lui 3 pentru x egal cu 3 Avem 3

minus 1 egal cu 2 punctul de coordonate

3 2 nu aparține graficului funcției

Și atunci vom avea o paranteză

rotundă și mai ales în alte două

valori o valoare mai mică decât

3 de exemplu 2 f de 2 va fi 3 ori

2 6 minus 7 egal minus 1 și valoarea

4 mai mare decât 3 4 minus 1 este

egal cu 3 să vedem cum arată graficul

acestei funcții Iată observăm că

oriunde aș duci o paralelă la axa

o x aceasta intersectează graficul

funcției în exact un punct în consecință

funcția este bijectivă prin urmare

funcția este inversabilă Și acum

să determinăm inversă funcției

f și funcția inversă va fi o funcție

cu două forme mai întâi studiem

primul caz cazul în care x este

mai mic sau egal decât 3 funcția

directă f de x este egal cu 3x

minus 7 rezolvăm ecuația 3x minus

7 egal cu y x va fi egal cu y plus

7 supra 3 și acum să vedem În ce

interval este situat yx-1000a mic

sau egal cu 3 pentru a obține pe

y unitatea cu trei Avem 3 x mai

mic sau egal decât 9 acum scădem

7 și obținem 3x minus 7 este mai

mic sau egal decât 2 am obținut

astfel că ys3d mic sau egal decât

2 Așadar pentru yyy8 2x este yo7

supra 3 Deci la minus 1 de x Revenim

la notația cu x este x plus 7 supra

3 Dacă x este mai mic sau egal

decât 2 și vom completa imediat

și a doua formă a funcției să vedem

ce se întâmplă dacă x este mai

mare ca 3 funcția directă este

f de x egal cu x minus unu rezolvăm

ecuația x minus 1 egal cu y și

le exprimăm pe x funcție de a obține

x egal cu y plus 1 să vedem ce

valori poate lua y2 x este mai

mare ca 3 scădem 1 din ambii membri

și obținem x minus unu mai mare

ca el doi Deci y10a mai mare ca

2 am obținut astfel că pentru E

mai mare ca 2 x este egal cu 8

plus 1 Deci afla minus unu de yas-101

la notația cu X putem concluziona

că ies la minus 1 de x este egal

cu x plus 1 pentru x mai mare ca

2 aceasta este inversă funcției

f dacă trasăm și graficul acesteia

Iată putem observa că graficele

acestor două funcții sunt simetrice

față de prima bisectoare și la

final aș vrea să vedem cum determinăm

inversă unei funcții de gradul

al doilea Să se arate că funcția

f este inversabilă și apoi Determinați

inversă a nu am scris domeniul

și codomeniul aceste funcții pentru

că aș vrea să determinăm noi domeniul

și codomeniul astfel încât funcția

să fie inversabilă f de x este

egal cu x la a doua plus 2x minus

3 Dacă funcția ar fi definită pe

r cu valori in R atunci graficul

acesteia ar arăta așa iar dacă

aduci o paralelă la axa o x prin

această zonă aceasta a intersectat

graficul funcției în două puncte

în consecință funcția nu ar fi

bijectivă însă Dacă aș lua în considerare

doar o jumătate din această parabolă

de exemplu jumătatea din partea

dreaptă atunci ducând o paralelă

la axa o x aceasta a intersectat

graficul funcției într un singur

punct Deci funcția ar fi bijectivă

dar Cu condiția ca y1 fie mai mic

decât y vârf Deci cu domeniul va

cuprinde acele valori ale lui y

la mari sau egal decât y vârf pentru

început Haideți să stabilim coordonatele

Vârfului x vârf este minus b supra

2-a egal cu minus 2 supra 2 și

egal cu minus unu Așadar x trebuie

să ia valori mai mari sau egal

decât minus unu Deci domeniul de

definiție va fi intervalul minus

1 infinit și acum să calculăm y

v y vârf este minus Delta supra

4-a egal cu minus 2 la a doua minus

4 ori minus 3 supra 4 4 plus 12

este 16 supra 4 egal cu 4 Deci

yg3 fie minus 4 în consecință codomeniul

va fi intervalul minus 4 infinit

în aceste condiții funcția f este

bijectivă Deci inversabilă și acum

putem să determinăm inversă acesteia

avem relația x la a doua plus 2x

minus 3 egal cu y ne propunem să

le exprimăm pe x în funcție de

y.ro ma vrea a doua plus 2x minus

3 minus y egal cu 0 Delta este

2 la a doua minus 4 înmulțit cu

minus 3 minus y egal cu 4 plus

12 plus 4 y egal cu 16 plus 4 indicând

o factor comun pe patru și obținem

4 pe lângă 4 plus igrec X1 este

minus b adică minus 2 plus radical

din deltă avem 2 radical din 3

plus 4 supra 2 egal cu radical

din 4 minus 1 și x 2 va fi minus

radical din 200 obținute o vom

alege pe cea care face parte din

intervalul minus 1 infinit radical

din a plus patru este mai mare

sau egal cu 0 în consecință X1

la fie mai mare sau egal decât

minus 1 x 2 nu aparține intervalului

minus 1 plus infinit în consecință

avem afla minus 1 definită pe intervalul

minus 4 infinit cu valori în intervalul

minus 1 infinit is la minus 1 de

x va fi egal cu radical din x plus

4 minus 1 Iată și graficul funcției

inverse la final Este bine să rețineți

că atunci când compunem o funcție

cu inversă a se obține întotdeauna

funcția identică