Inversiunile unei permutări. Semnul unei permutări

știm deja că o permutare de gradient

este o funcție bijectivă Sigma

definită pe mulțimea A cu valori

în mulțimea A unde mulțimea A este

formată din elementele 1 2 n iar

Sen este mulțimea permutărilor

de grad n ne vom concentra în acest

videoclip asupra unui concept important

în studiul permutărilor și anume

paritatea unei permutări o utilizare

a acestui concept o Vom regăsi

în Definirea determinanților dar

este de mare ajutor în analiza

solvabilității unei probleme avem

următorul șir de numere 1 2 3 4

5 ce ne propunem să scrie aceste

numere în următoarea ordine 5 4

2 3 1 respectând următoarea regulă

Se pot schimba doar două numere

în același timp Cum vei proceda

am plecat de la șirul 1 2 3 4 5

voi schimba numărul 1 cu numărul

5 mai obține șirul 5 2 3 4 1 voi

schimba acum numărul 4 cu numărul

2 și obțin șirul 5 4 3 2 1 și mai

avem de făcut o singură schimbare

și anume pe 3 cu 2 obținând șirul

5 4 2 3 1 întreb dacă ai putea

obține șirul cerut Deci plecând

de la acest șir 1 2 3 4 5 să ajungi

la șirul 5 4 2 3 1 exact patru

schimbări sau dacă poți să faci

acest lucru în cinci schimbări

Taci Tot cu rezolvare a problemei

în secțiunea comentarii fie o permutare

Sigma de gradient iar i și j două

elemente ale mulțimii 1 2 n mai

mic decât z perechea Asia poartă

numele de inversiune a permutarii

Sigma dacă Sigma de e este mai

mare decât Sigma deja numărul acestor

perechi se notează cu m de sârmă

sunt Considerăm acum o permutare

de grad 4 care are reprezentarea

1 2 3 4 4 3 1 2 perechi a12 este

inversiune deoarece Sigma de unul

este 4 Sigma de 2 este 3 Deci Sigma

de 1 mai mare decât suma de 2 perechea

1 3 este și ea o inversiune pentru

că Sima de 1 este 4 iar Sigma de

3 este un segment de 1 mai mare

decât Sigma de 3 perechea 1 4 este

inversiune pentru că Sigma de unul

este 4 iar Sigma de 4 este egal

cu 2 Sigma de 1 m mai mare decât

suma de 4 perechea 2 3 este și

o inversiune pentru că Sigma de

2 este egal cu 3 iar Sigma de 3

este egal cu 1 Așadar Sigma de

2 este mai mare decât suma de 3

perechea 2 4 este inversiune pentru

că Sigma de 2 este egal cu 3 iar

Sigma de 4 este egal cu 2 Așadar

Sigma de 2 este mai mare decât

Sigma de 4 în total numărul inversiunilor

este așa cum vedeți cinci Deci

în această situație m de Sigma

este egal cu 5 Care credeți că

este permutarea cu numărul minim

de inversiuni pe nu poate fi vorba

decât de permutarea identică care

are reprezentarea 1 2 1 2 n pentru

această permutare numărul de inversiuni

este zero dar permutarea cu numărul

maxim de inversiuni Păi va fi acea

permutare Alfa Sonata în care elementelor

1 2 n le corespund aceleași elemente

dar în ordine descrescătoare Adică

n n minus 1 respectiv 1 să calculăm

numărul de inversiuni Păi elementul

1 formează cu toate celelalte elemente

inversiuni pentru că toate celelalte

imagini să mai mici decât n Deci

perechea 1 2 este inversiune ca

și perechea 1 3 ca și perechea

unui an adică în total avem n minus

1 inversiuni doi va face cu toate

elementele mai mari decât al inversiuni

adică avem perechile 2 3 2 4 respectiv

2 n obținem Așadar n minus 2 inversiuni

și așa mai departe ultima emisiune

este cea făcută de elementele n

minus unu respectiv N Deci ultima

inversiune este ieri minus unu

e Adică o inversiune Ce sumă am

aceste inversiuni Deci eu de Sigma

este egal cu n minus 1 plus n minus

2 plus puncte puncte plus sun Păi

regăsim în această sumă suma lui

Gauss și în concluzie m de sârmă

este in minus 1 înmulțit cu consecutivul

lui adică el totul supra 2 Păi

rezultatul acesta nu reprezintă

altceva decât combinari de n luate

câte 2 ce am obținut am obținut

că numărul de inversiuni poate

să ia valoarea minimă 0 sau valoarea

maximă combinari de n luate câte

2 adică 0 este mai mic sau egal

decât m de sârmă Care e mai mic

sau egal decât combinari de n luate

câte 2 oricare ar fi Sigma o permutare

de grade Ian cu ajutorul noțiunii

de inversiune vom defini noțiunea

de semn sau ce natură a unei permutări

fie Sigma permutare de grădi numim

semnul sau signatura permutarii

Sigma numărul epsilon de Sigma

egal cu minus 1 totul la puterea

M de Sigma o permutare se numește

o permutare pară dacă ții natura

este egală cu 1 iar permutarea

Sigma se numește permutare impară

dacă si natura este egală cu minus

1 Să considerăm acum permutarea

Sigma de gradul al patrulea 1 2

3 4 imaginile 4 3 1 2 este exemplul

precedent ne amintim că m de Sigma

la am de terminat ca fiind egal

cu 5 dar să le vedem aceste lucruri

avem versiunea 1 2 1 3 1 4 2 3

și 2 4 3 4 nu formează o inversiune

atunci epsilon de Sigma este egal

cu minus 1 totul la puterea a cincea

adică minus unu și în concluzie

permutarea Sigma este o permutare

impar Dacă vom considera acum o

permutare Delta cu reprezentarea

1 2 3 4 1 4 2 3 numărul de inversiuni

Luca coulomb astfel 1 nu formează

inversiune cu nici un element cu

niciun alt element pentru că toate

imaginile sunt mai mari decât 1

2 Formează două inversiuni 2 cu

3 respectiv 2 cu 4 3 de asemenea

nu formează inversiune cu patru

pentru că 2 este mai mic decât

3 epsilon de Delta este egal cu

minus 1 totul la puterea a doua

adică 1 Deci Delta este o permutare

pară am văzut că permutarea identică

a 0 inversiuni signatura permutarii

identice este minus 1 la puterea

zero Adică 1 permutare identică

este o permutare pară Dar oare

transpoziția Ce paritate are avea

Păi dacă vom considera o transpoziție

Asia cu cântarea 1 2 minus 1 e

e plus 1 k j minus 1 j n cu imaginile

1 2 imns 1j e plus 1 k j minus

unu e en Niciunul dintre elementele

de la 1 până la minus 1 nu formează

inversiune cu elementele mai mari

decât ele cum e este mai mic decât

z obținem că e va forma inversiune

cu toate elementele e plus unu

până la j inclusiv Deci avem inversiunile

e e plus unu e e plus doi e k e

r minus unu E J numărul acestora

inversiuni este egal cu j minus

de asemenea elementele e plus 1

până la Z minus 1 inclusiv vor

forma inversiuni cu elementul z

adică mai avem inversiunile e plus

1 J e plus 2 j iar ultimul ar fi

j minus 1 j în total aceste inversiuni

sunt în număr de j minus minus

1 adică numărul de inversiuni al

acestei transpozitii este j minus

plus minus minus 1 adică 2 pe lângă

z minus de nu sunt signatura transpoziție

a i j este minus 1 la puterea M

de Sigma adică minus unu Deoarece

m de Sigma este un număr impar

orice transpoziție Este o permutare

impară